1993年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若
M=
{(
x
，
y
)| |tan
? y
|+sin
?x=
0}，
N=
{(
x
，
y
)|
x
+
y
≤2}，则
M
∩
N
的元素个数是
（ ）
(
A
)4 (
B
)5 (
C
)8 (
D
)9
222
5．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边长分别为
a
，
b
，
c
，若
c
?
a
等于AC
边上的高
h
，则sin
+cos
C
－
A< br>2
C
+
A
2
的值是( )
11
(
A
)1 (
B
) (
C
) (
D
)?1
23

6． 设
m
，
n
为非零实数，
i
为虚数单位，
z
?
C
，则方程|
z
+
ni
|+|
z
?mi
|
=n
与
|
z
+
ni
|?|z
?
mi
|=?
m
在同一复平面内的图形(
F
1
，
F
2
为焦点)是( )
二、填空题（每小题5分，共30分）
1．二次方程(1?
i
)
x
+(
?
+
i
)
x
+(1+
i?
) =0(
i
为虚数单位，
?
?
R
)有两个虚根的充分必要条< br>2

件是
?
的取值范围为________．
2．实数
x
，
y
满足4
x
?5
xy
+4
y=
5，设
S=x
+
y
，则
3．若
z< br>?
C
，arg(
z
?4)
=
93
2
2222
1
S
max
S
min
+
1
=_______．

5ππ
2
，arg(
z
+4)< br>=
，则
z
的值是________.
63
[来源:学科网ZX XK]
10
?
4．整数
?
?
10
31
+3
?
的末两位数是_______.
??
三、（本题满分20分）
三棱锥
S
－
ABC
中，侧棱
SA
、
SB
、
SC
两两互相垂直，
M
为三角形
ABC
的重心，
D
为
AB
的中点，作与
SC
平行的直线
DP
．证明： (1)
DP
与
SM
相交；(2)设
DP
与
SM的交点为
D
?，则
D
?为三棱锥
S
－
ABC< br>的外接球球心．


四、（本题满分20分）
设0<
a< br><
b
，过两定点
A
(
a
，0)和
B
(
b
，0)分别引直线
l
和
m
，使与抛物线
y=x
有四个不
同的交点，当这四点共圆时，求这种直线
l
与
m
的 交点
P
的轨迹．
[来源:学科网]
2


五、（本题满分20分）
设正数列
a
0
，
a
1< br>，
a
2
，…，
a
n
，…满足
a
n< br>a
n
－2
－
a
n
－1
a
n
－2
=
2
a
n
－1
，(
n
≥2)且
a
0
=a
1
=
1，
求{
a
n
}的通项公式．

第二试
一、（35分）
设一凸四边形
ABCD
，它的内角中仅有 ?
D
是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成
n
个钝角三角形，但除去A
、
B
、
C
、
D
外，在该四边形的周界上，不 含分割出的钝角三角形顶
点．试证
n
应满足的充分必要条件是
n
≥4 ．



[来源:Z。xx。]



三、（35分）
水平直线
m
通过圆
O
的中心，直 线
l
?
m
，
l
与
m
相交于
M，点
M
在圆心的右侧，直线
l
上不同的三点
A,B,C
在圆外，且位于直线
m
上方，
A
点离
M
点最远，
C
点离
M
点最近，
AP,BQ,CR
为圆
O
的三条 切线，
P,Q,R
为切点．试证：(1)
l
与圆
O
相切时，
AB
?
CR
+
BC
?
AP=AC
?
BQ
；(2)
l
与圆
O
相交时，
AB
?
CR
+
BC
?
AP
＜
AC
?
BQ
；(3)
l
与圆
O
相离时，
AB
?
CR
+
BC
?
AP
＞
AC
?
BQ
.

1993年全国高中数学联合竞赛解答
第一试
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若
M=
{(
x
，
y
)| |tan
? y
|+sin
?x
=0}，
N=
{(
x
，
y
)|
x
+
y
≤2}，则
M
∩
N
的元素个数是
（ ）
(
A
)4 (
B
)5 (
C
)8 (
D
)9
222

3．集 合
A
，
B
的并集
A
∪
B=
{
a< br>1
，
a
2
，
a
3
}，当
A
?
B
时，(
A
，
B
)与(
B
，
A
)视为不同的对，
则这样的(
A
，
B
)对的个数是（ ）
（
A
）8 （
B
）9 （
C
）26 （
D
）27
【答案】D
【解析 】
a
1
∈
A
或?
A
，有2种可能，同样
a
1
∈
B
或?
B
，有2种可能，但
a
1?
A
与
a
1
?
B
不
能同时成立，故有 2－1种安排方式，同样
a
2
、
a
3
也各有2－1种安排方 式，故共有(2－1)
种安排方式．选
D
．





2223

5．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边长分别为
a，
b
，
c
，若
c
?
a
等于
A C
边上的高
h
，则
sin
C
－
A
2
+cos
C
+
A
2
的值是( )
11
(
A
)1 (
B
) (
C
) (
D
)?1
23

< br>6．设
m
，
n
为非零实数，
i
为虚数单位，
z
?
C
，则方程|
z
+
ni
|+|
z?
mi
|
=n
与|
z
+
ni
|?|< br>z
?
mi
|
?
?
m
在同一复平面内的图形(
F
1
，
F
2
为焦点)是( )
【答案】B
[来源:学。科。网]

【解析】方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为 (－
ni
，
mi
)，由①
n
>0，

故否定
A
，
由于
n
为椭圆的长轴，而
C
中两个焦点与原点距离(分别表示|
n
|、|
m
|)均小于椭圆长
轴 ，故否定
C
．
由
B
与
D
知，椭圆的两个个焦点都 在
y
轴负半轴上，由
n
为长轴，知|
OF
1
|=n
，于是
m
<0，
|
OF
2
|
=< br>－
m
．曲线上一点到－
ni
距离大，否定
D
，故选< br>B
．

二、填空题（每小题5分，共30分）
1．二次方程(1?
i
)
x
+(
?
+
i
)
x
+(1+
i?
)=0(
i
为虚数单位，
?
?
R)有两个虚根的充分必要条
件是
?
的取值范围为________．
2

2．实数
x
，
y
满足4
x
? 5
xy
+4
y=
5，设
S=x
+
y
，则
【答案】
2222
1
S
max
S
min
+
1
=
_______．
8

5
22
【解 析】令
x=r
cosθ，
y=r
sinθ，则
S=r
得r
(4－5sinθcosθ)
=
5．
S=
5
5
4－sin2θ
2
．
55
4－
22
811
∴+
=
+
=
．
S
max
S
min
555
4+

3．若< br>z
?
C
，arg(
z
?4)
=
【答案】±( 1+3
i
)
2
y
z
2
5ππ
2
，arg(
z
+4)
=
，则
z
的值是________.
63
-4
O
4
x
【解析】如图，可知
z
表 示复数4(cos120°+
i
sin120°)．∴
z=
±
2( cos60°+
i
sin60°)
=
±(1+3
i
)．
[来源:]
2

10
?
4．整数
?
?
10
31
+3
?
的末两位数是_______ .
??
【答案】08
93
x
3
x
3
+ 27－27
2
2727
【解析】令
x=
10，则得
==x< br>－3
x
+9－．由于0<<1，故所求末两位
x
+3
x
+3
x
+3
x
+3
31
数字为09－1
=
08．

5．设任意实数
x
0
>
x
1
>
x
2
>
x
3
>0，要使log
x
01993+log
x
1
1993+log
x
2
1993 ≥
k
?log
x
0
1993恒
x
1
成立， 则
k
的最大值是_______.
x
2
x
3
x
3

6．三位数(100，1 01，?，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打
印一个三位数，有的卡片所印 的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片
则不然，如531倒过来看是，因此， 有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____
张卡片．
【答案】34
【 解析】首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，
共有4?5?4
=
80种选择．
但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0 ，1，8时，倒后不变；
共有2?3+2?3
=
12个，故共有(80－12)÷2< br>=
34个．

三、（本题满分20分）
三棱锥
S
-
ABC
中，侧棱
SA
、
SB
、
SC
两两 互相垂直，
M
为三角形
ABC
的重心，
D
为
AB< br>的
中点，作与
SC
平行的直线
DP
．证明：(1)
D P
与
SM
相交；(2)设
DP
与
SM
的交点为D
?
，则
D
?
为三棱锥
S
—
ABC< br>的外接球球心．

四、（本题满分20分）
设0 <
a
<
b
，过两定点
A
(
a
，0)和B
(
b
，0)分别引直线
l
和
m
，使与抛物线
y=x
有四个不
同的交点，当这四点共圆时，求这种直线
l
与
m
的交点
P
的轨迹．
2

五、（本题满分20分） < br>设正数列
a
0
、
a
1
、
a
2
、…、
a
n
、…满足
a
n
a
n
－2< br>－
a
n
－1
a
n
－2
=
2
a
n
－1
，(
n
≥2)
且
a
0
=a
1
=
1，求{
a
n
}的通项公式．
【解析】 变形，同除以
a
n
－1
a
n
－2
得：
令< br>a
n
=
2
a
n
－1
a
n
－ 1
+1，
a
n
－2
a
n
+1
=b
n
，则得
b
n
=
2
b
n
－1
．
a
n
－1

即{
b
n
}是以
b
1
=
∴
b
n
=
2
．

∴
n
1
+1
=
2为首项，2为公比的等比数列
．
< br>1
a
n
=
(2
n
－1)
2
．
故
a
n
－1
a
0
=
1，

n
2
n
－1212
?
a
n
=
(2－1)(2－1)…(2－1)
．
(
n
≥1)
?
∴
?



一、（35分）
设一凸四边形
A BCD
，它的内角中仅有?
D
是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成
n< br>个钝角三角形，但除去
A
、
B
、
C
、
D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶
点．试证
n
应满足的充分必 要条件是
n
≥4．
第二试
n=
2时，连1条对角线把四边形分成了2个三角形，但其中最多只能有1个钝角三角形． < br>n=
3时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成3个三角形，现连了1条对角线
AC
后，再连
B
与
AC
上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都 是钝角三角形．
∴当
n=
2，3时无法得到满足题目要求的解．只有当
n< br>≥4时才有解．

二、（35分）
设
A
是一个有
n
个元素的集合，
A
的
m
个子 集
A
1
,A
2
,
?
,A
m
两两互 不包含．
试证：(1)
Σ
m
1
|
A
|
≤1；
i=
1< br>C
n
m
2
|
A
i
|
表示
n
个不同元素取|
A
|
i
|
(2)
Σ
C< br>|
A
≥
m
．其中|
A
i
|表示
A< br>i
所含元素的个数，
C
i
nn
i=
1
个的组 合数．

三、（35分）
水平直线
m
通过圆
O
的中心，直线
l
?
m
，
l
与
m
相 交于
M
，点
M
在圆心的右侧，直线
l
上不同的三点
A,B,C
在圆外，且位于直线
m
上方，
A
点离
M
点最远，
C
点离
M
点最近，
AP,BQ,CR
为圆
O
的三条切线，
P,Q,R
为切点．试证：(1)
l
与圆
O
相切时，
l
AB
?
CR
+
BC
?
AP=AC
?
BQ
；(2)
l
与圆
O
相交时，< br>AB
?
CR
+
BC
?
AP
＜
AC< br>?
BQ
；(3)
l
与圆
O
相离时，
AB?
CR
+
BC
?
AP
＞
AC
?
BQ
.
【解析】证明：设
MA=a
，
MB=b
，
MC=c
，
OM=d
，⊙
O
的半径
=r
． 且设
k=d
－
r
．则当
k
>0时，点
M
在⊙
O
外，此时，直线
l
与⊙
O
相离；
当
k=
0时，点
M
在⊙
O
上，此时，直线
l
与⊙
O
相切；
当
k
<0时， 点
M
在⊙
O
内，此时，直线
l
与⊙
O
相交 ．
∴
AP=a
+
d
－
r=a
+
k，同理，
BQ=b
+
k
，
CR=c
+
k
．
则
AB
?
CR
+
BC
?
AP
－
AC
?
BQ= AB
?
CR
+
BC
?
AP
－(
AB
+
BC
)?
BQ=BC
?(
AP
－
BQ
)－
AB
?(
BQ
－
CR
)
222222
22
A
P
r
Q
R< br>d
B
C
M
m
O
AP
2
－
B Q
2
BQ
2
－
CR
2
=BC
?－
AB
?
AP
+
BQBQ
+
CR