全国高中数学联合竞赛代数题汇总

2009：
二、求证不等式：
?1?(
k1
，
n?1,2,?

)?lnn?
?
2
2
k?1
k?1
n





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2008：
三、（本题满分50分）
2008
设
a
k
?0
，
k?1,2,?,2008
。证明：当且仅当
?
a
k
?1
时，存在数列
?
x
n
?
满足以下条件：
k?1
（ⅰ）
0?x
0
?x
n
? x
n?1
，
n?1,2,3,?
；
（ⅱ）
lim
n??
x
n
存在；
2008200 7
（ⅲ）
x
n
?x
n?1
?
?
a
k
x
n?k
?a
k?1
x
n?k
，
n?1 ,2,3,?
。
k?1
?
k?0




[证] 必要性：假设存在
{x
n
}
满足（ⅰ），（ⅱ），（ii i）．注意到（ⅲ）中式子可化为

2008
x
n?x
n?1
?
?
a
k
(x
n?k
?x
n?k?1
)
，
n?N
*
， 其中
x
0
?0
．
k?1
将上式从第1项加到第
n
项，并注意到
x
0
?0
得

xn
?a
1
(x
n?1
?x
1
)?a
2
(x
n?2
?x
2
)??a
2008
(x
n?2008
?x
2008
)
． …10分
由（ⅱ）可设
b?
n
lim
??
x
n
，将 上式取极限得

b?a
20082008
1
(b?
1
x)?a
2
(b?
2
x)??
2
a
00
(
8
b?x
2
?
0
)
b?
?a
k
?(a
1
x
1
?a
2
x
2
??a
2008
x
2008
)?b?
k?1
?< br>a
k
，
k?1
因此
2008
?
a
k
?1
． …20分
k?1
充分性：假设
?
20082008
a
k< br>?1
．定义多项式函数如下：
f(s)??1?
?
a
k
s
k
，
s?[0,1]
，
k?1k?1
则
f( s)
在[0,1]上是递增函数，且
f(0)??1?0
，
2008
f(1)??1?
?
a
k
?0
．
k?1
因此方程
f(s)?0
在[0,1]内有唯一的根
s?s
0
，且
0? s
0
?1
，即
f(s
0
)?0
． …30分
下取数列
{x
n
k
n
}
为
x
n< br>?
?
s
0
，
n?1,2,
，则明显地
{x< br>n
}
满足题设条件（ⅰ），且
k?1

n< br>x
k
s
n?1
0
?s
0
n
?
?
s
0
?
k?1
1?s
．
0
因
0?s
故
l
s
0
?s
n?1
0
s
n??
ims
n?1
0
?1
，
0
?0
， 因此
lim
0
，即
{
n??
x
n
?lim
n??
1?s
?
x
n
}
的极限存在，
0< br>1?s
0
（ⅱ）． …40分
最后验证
{x}
满足（ⅲ），因
f(s)?0
，即
?
2008
a
k
n
0
k
s
0
? 1
，从而
k?1

2
x
nknn?kn
?x
n?1
?s
0
?(
?
a
ks
0
)s
0
?
?
a
k
s
0< br>?
?
a
k
(x
n?k
?x
n?k?1
)
．
k?1k?1k?1
综上，存在数列
{x
n
}满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分

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满足

2006：
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在此记号系统下，原方程组的第一个方程为
p?s?2
（3.1） 于是
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2005：







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2004：



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2002： 二、（本题满分50分）实数
a,b,c
和正数
?
使得
f(x) ?x
3
?ax
2
?bx?c
有三个实根
x
1
,x
2
,x
3
，且满足：
1
2a
3
?2 7c?9ab33
①
x
2
?x
1
?
?
；②
x
3
?(x
1
?x
2
)
。求证：。
?
3
2
2
?


解：∵ f(x)=f( x)?f(x
3
)=(x?x
3
)[x
2
+(a+x
3
)x+x
3
2
+ax
3
+b]
∴ x
1
,x
2
是方程x
2
+(a+x
3
)x +x
3
2
+ax
3
+b的两个根
∵ x
2
?x
1
=?
∴ (a+x)
2
?4(x3
2
+ax
3
+b)=??
?
?
?
3 x
3
2
+2ax
3
+?
2
+4b?a
2< br>=0
∵x
3
>
11
22
(x
1
+ x
2
) ∴
x
3
?[?a?4a?12b?3
?
]
(Ⅰ)
23
且 4a
2
?12b-3?
2
≥0 (Ⅱ) …………10分
∵ f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c
a
3
a2
a2
3
1
?b)(x?)?a?c?ab
…………20分 =
(x?)?(
333273
12
3
a
3
a
2
a
a?c??(x
3
?)?(?b)( x
3
?)
(Ⅲ) ∵ f(x
3
)=0 ∴ ab?
327333
a123a
2
?
2
22
由(Ⅰ)得
x
3
??

4a?12b?3
?
]? ?b?
33334
a
2
?
2
1223
?b
，由(Ⅱ) 和(Ⅲ)可知p≥且
ab?a
3
?c??
记p=
4
3
3279
令 y=
p?
?
2
4
(p?
?
2
)

p?
?
2
4
，则y≥0且
ab?
1
32
3
233
a?c??y(y
2
?
?
2
)
…………30分
2794
?
3
?
2
?< br>2
3
?
2
?
3
3
?
2
?< br>3
y?y?()??
=
(y?)
2
(y?
?
)
≥0 ∵
y?
=
y?
2
444242
32a
3
?27c?9ab33
12
3
3
3
?< br>a?c??
?
?
∴
ab?
…………40分
3
2
32718
?
∴取a=2
3
,b=2,c=0,?=2，则f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c有根< br>?3?1
，
?3?1
，0
显然假设条件成立，且
2a3
?27c?9ab
?
3
的最大值是
133
?(483 ?363)?

82
33
…………50分
2
综上所述，
2a
3
?27c?9ab
?
3
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2001：
二、 设
x
i
?0
（
i?1,2,?,n
），且


解：先求最小值，因为
(
?
x
i?1
n
2
i
?2
1?k?j?n
?
n
k
x
kx
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与最小值。 < br>j
i?1
?
x)?
?
2
i
i?1i?1nn
x
i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x
k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
n
i
≥1
等号成立当且仅当存在i使得x
i
＝1，x
j
＝0，j＝i ∴
?
x
i?1
n
i
最小值为1． ……… 10分
再求最大值，令
x
k
?ky
k
∴
?ky
k?1
n
2
k
?2
1?k?j?n
?ky
k
y
j
?1
①
设
M?
?
x?
?
k
k?1k?1
nn
?
y< br>1
?y
2
?
?
?y
n
?a
1
?
y
2
?
?
?y
n
?a
2
?< br>
ky
k
， 令
?
??
?
?
yn
?a
n
?
222
则①?
a
1
?a
2
???a
n
?1
………………………………………………………… 30分
n
令
a
n?1
＝0，则
M?
nn
?
k?1
k(a
k?a
k?1
)

nnn

?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
ka
k?1
?< br>?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
k? 1a
k
?
n
?
(
k?1
1
k?k?1)a
k

n
由柯西不等式得：
M?[
?
k?1
(k?k?1)](
2
1
2
?
k?1
2
2
a
k
)?[
?
k?1
(k?k?1)
2
]
2

1
22
2
a
k
a
n
a
1
?
?
??
?
?
等号成立?

22
1
(k?k?1)(n?n?1)
222
a
1
?a
2
?
?
?a
n
2
a
k

?
1?(2?1)?
?
?(n?n?1)
22
?
( k?k?1)
2
?a
k
?
[
k?k?1
?
(
k?1
n

1
2
k?k?1)
2
]由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
，从而
y
k
?a
k
?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
?
(
k?1
n
k?k?1)
2
]
12
?0
，即x
k
≥0
所求最大值为
[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
………………………………………………… 50分
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