2010年全国高中数学联赛试题及详细解析

2010年全国高中数学联赛
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是 .
2
2. 已 知函数
y?(acosx?3)sinx
的最小值为
?3
，则实数
a
的取值范围是 .

4.函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8，则它在这个
区间上的最小值是 .
3. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，
否 则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
4. 正三棱柱
ABC? A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，
P
是< br>CC
1
的中点，二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,则
sin
?
?
.
5. 方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解（
x
,< br>y
,
z
）的个数是 .
[来源:Z+xx+]

二、解答题（本题满分56分）
9. （16分） 已知函数
f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)
，当
0?x?1
时，< br>f
?
(x)?1
，
32
试求
a
的最大值.

10.（20分）已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
，其中
x
1
?x
2
且
2
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
?ABC
面积的最大值.

3
11.（20分）证 明：方程
2x?5x?2?0
恰有一个实数根
r
，且存在唯一的严格递增正整数数列
{a
n
}
，使得
2
?r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
??
.
5

加 试

2. （40分）设
k
是给定的正整数，
r?k?
1
(1)
．记
f(r)?f(r)?r
?
，
r
?< br>??
2
f
(l)
(r)?f(f
(l?1)
(r)) ,l?2
．证明：存在正整数
m
，使得
f
(m)
(r)为一个整数．这里，
?
?
x
?
?
表示不小于实数
x
的最小整数，例如：
??
?1
，
?
1
?
?1
．
??
2


3. （50分）给定整数
n?2
，设正实数
a
1
,a
2
,
?
1< br>?
??
,a
n
满足
a
k
?1,k?1,2, ,n
，记
A
k
?
求证：

[来源:学§科§网 ]
a
1
?a
2
?
k
?a
k
,k? 1,2,,n
．
?
a
k
?
?
A
k
?
k?1k?1
nn
n?1
．
2

4. （ 50分）一种密码锁的密码设置是在正
n
边形
A
1
A
2A
n
的每个顶点处赋值0和1
两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种 颜色之一，使得任意相邻的两个顶点
的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的 密码设置？

一试解答

1.【答案】
[?3,3]

【解析】易知
f( x)
的定义域是
?
5,8
?
，且
f(x)
在
?
5,8
?
上是增函数，从而可知
f(x)
的
值域为[?3,3]
.


3. 【答案】 9800
【解析 】提示：由对称性知，只要先考虑
x
轴上方的情况，设
y?k(k?1,2,?,99 )
与双曲线右半支于
A
k
,交直线
x?100
于
B
k
，则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?k
，从
而在
x
轴上方区域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99
又
x
轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.

4. 【答案】
3
3?3

【解析】提示 ： 设
{a
n
}
的公差为
d,{b
n
}
的公比 为
q
，则
3?d?q,
（1）
3(3?4d)?q
2
， （2）

（1）代入（2）得
9?12d?d
2
?6d?9
，求得
d?6,q?9
. < br>从而有
3?6(n?1)?log
?
9
n?1
?
?< br> 对一切正整数
n
都成立，即
6n?3?(n?1)log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
，求得
?
?
3
3,
?
?3
，
?
?
?
?
3
3?3
.


6.【答案】
12

17
217
?
，从而先投掷人
3612
z
A
1
C
1
B
1
P
A
O
C
B
x
y
【解析】提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为< br>的获胜概率为
75757
?
()
2
??
()
4
???
1212121212
7112
.
???
25
1217
1?
144
10
7. 【答案】
4
【解析】提示：解法一：如图，以
AB
所在直线
为< br>x
轴， 线段
AB
中点
O
为原点，
OC
所 在直线为
y
轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，
则
B(1,0 ,0),B
1
(1,0,2),A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)< br>，从而，
BA
1
?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
.

设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量是
m?(x
1
,y
1< br>,z
1
)
、
n?(x
2
,y
2
,z
2
)
，
则
?
?
m?BA
1
?? 2x
1
?2z
1
?0,

?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0,
< br>?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
在直角
?PA
1
O
中，< br>A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.
又
B
1< br>O?2,?B
1
E?B
1
O
2
?OE
2?2?
645
?
.
55
sin
?
?sin? B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
8. 【答案】336675

【解析】提示：首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
2
C
2009
?2009?1004
.
[来源:学科网ZX XK]

?
f
?
(0)?c,
?
13
2< br>?
9.【解析】 解法一：
f
?
(x)?3ax?2bx?c,
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1< br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时，
0?h(z)?2 ,0?h(?z)?2
. 从而当
?1?z?1
时，
0?
h(z)? h(?z)3a
2
3a
?2
， 即
0?z??b?c?1?2
，
244
3a3a8
从而
?b?c?1?0
,
z
2
?2
，由
0?z
2
?1
知
a?
.
4
43

又易知当
f(x)?
8
3
8
满足题设条件，所以
a
最大值为.
x?4x
2
?x?m
（
m
为常数）
3
3

由（1）知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(x?2)
，即
y
0
x?
2
y
0
( y?y
0
)?2
. （2）
3
2
（2）代 入
y?6x
得
y?2y
0
(y?y
0
)?12，即
2
y
2
?2y
0
y?2y
0
? 12?0
. （3）
依题意，
y
1
,y
2< br>是方程（3）的两个实根，且
y
1
?y
2
，所以
2 22
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y

AB?

?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(1? (
y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2

3
O
B
A
2
y
0

?(1?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

9
C(5,0)
x

2
y
0
22

?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9

?
2
22
(9?y
0
)(1 2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离

h?CM?

S
?ABC
?

?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2?9?y
0
.
11
222

AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)

32
222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0

?()
3

323

?
14
7
.
3

解法二：同解法 一，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，且点< br>C
坐标
为
(5,0)
.
[来源:]

设
x
1
?t
1
,x
2
?t
2
,t
1
?t
2
,t
1< br>?t
2
?4
，则
S
?ABC
?
22221
2
t
1
2
2
t
2
501
6 t
1
1
的绝对值,
6t
2
1
2222

S
?ABC
? ((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t< br>2
?56t
2
))?
1
2
3
(t
1
?t
2
)
2
(t
1
t
2
?5)< br>2

2

?
3314
(4?2t
1
t
2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)

?()
3
,
223
14< br>2
?4
，即所以
S
?ABC
?7
, 当且仅当
(t
1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5
且
t
1
2
?t
2
3

< br>t
1
?
7?5
6
,

t
2
??
7?5
6
,
A(
6?356?35
,5?7),B(, 5?7)
或
33
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(, ?5?7)
时等号成立.
33
所以，
?ABC
面积的最大值是

14
7
.
3

二试解答

1. 【解析】 用反 证法．若
A
，
B
，
D
，
C
不四点共圆，设 三角形
ABC
的外接圆与
AD
交于
点
E
，连接BE
并延长交直线
AN
于点
Q
，连接
CE
并延 长交直线
AM
于点
P
，连接
PQ
．
因为
PK
2
?
P
的幂（关于⊙
O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）

?
?PO
2
?r
2
?
?
?
KO
2
?r
2
?
，
同理

QK< br>2
?
?
QO
2
?r
2
?
?
?
KO
2
?r
2
?
，
所以
PO
2
?PK
2
?QO
2
?QK
2
，
故
OK
⊥
PQ
． 由题设，
OK
⊥
MN
，所以
PQ
∥
MN
，于是
AQAP
QN
?
PM
．
A
O
B
E
K
C
D
P
Q
N
M
①

⑤-④，得

PK
2
?PE?PC?AK?KE
?
P
的幂（关 于⊙
O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）．
注2：若点
E
在线段
AD
的延长线上，完全类似．

3. 【解析】 由
0?a
k
?1
知，对
1?k?n?1
，有
0?
?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k?1
?
a
n
i
?n?k
．
注意到当
x,y?0
时，有
x?y?max?
x,y
?
，于是对
1?k?n?1
，有
1
n
1
n
?
11
?
k
?
11
?k
A
n
?A
k
?
?
?
?
?< br>a
i
?
?
a
i
?
?
a
i< br>?
?
?
?
?
a
i

n
i? k?1
n
i?k?1
?
nk
?
i?1
?
k n
?
i?1
?1
n
?max
?
?
a
i
,
?
n
i?k?1
故
?1
?
11?
k
?
?a?max
?
(n?k),
??
?< br>i
?
kn
??
i?1
??
n
k
?< br>11
?
?
，
?1 ?
?k
??
?
n
kn
??
?
?
a ?
?
A
k
k?1k?1
nn
k
?nA
n< br>?
?
A
k

k?1
n

??
?
A
n
?A
k
?
?
?
A< br>n
?A
k
k?1k?1
n?1n?1
?
k
?
n?1
．
?
?
?
1?
?
?
n
?
2
k?1
?n?1


当
n
为奇数时，
n?2i?0
，此时
?
n
?
?
2
?
??
i?0
?
n?2i
?
?
2
?
??
j?0
?
C
2j
n?2i< br>?2
n?2i?1
． ②
代 入①式中，得
4
?
n?2i
??
n
??
n
?
?
?
?
?
2
??
2
??
2?
????
?
2i
??
2j
?
2in?2i? 1
?
?2
?
?
C
n
2i
2
n?2 i
?
?
C
n
?
C
n?2i
?
?4
?
?
C
n
2
j?0i?0i?0
??
??
[来源:]

?
?
C2
k
n
k?0
n
n?kkn?k
?
?
C
n
2(?1)
k
?(2?1)
n
?(2?1)
n
?3
n
?1
．
k?0
n