高中数学用书名-一题多解高中数学
受中国数学会委托,2009年全国高中数学联赛由黑龙江
省数学会承办。中国数学会普
及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高
中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数
学教学大纲》中所规定的教学
要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对
基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和
灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道
大题,满分100分。答卷时间为80分钟。
全国
高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当
增加一些竞赛教学大纲
的内容。全卷包括4道大题,其中一道平面几何题,试卷满分200
分。答卷时问为150分钟。
一 试
x
2
y
2
5.椭圆
2?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
,
Q
,若
OP?OQ
,则乘积
OP?OQ
的最小值
ab
为 .
1. 若方程
lgkx?2lg
?
x?1<
br>?
仅有一个实根,那么
k
的取值范围是 .
[来源:21世纪教育网]
2. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均
等于其肩上的两
个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前
100
个正整数按从小到
大排成的行,则最后一
行的数是 (可以用指数表示)
3. 某车站每天
8
∶00~9∶00
,
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻
8∶10
9∶10
8∶30
9∶30
8∶50
9∶50
11
1
概率
62
3
一旅客
8∶20
到车站,则它候车时间的数学期望为
(精确到分).
二、解答题
[来源:21世纪教育网]
9、(14分)设直线
l:y?k?x
x
2
y
2
(其中
k
,
m
为整数)与椭圆
?
m
?1<
br>交于不同两
1612
x
2
y
2
点
A
,
B
,与双曲线
??1
交于不同两点
C
,
D
,问是否存在直线
l
,使得向量
412
AC?BD?0
,若存在,
指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
加试
一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)
12、如图,
M
,
N
分别为锐角三角形
?ABC
(
?A??B<
br>)的外接圆
?
上弧
BC
、
AC
的
中点.过点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点,
I
为
?ABC
的内心,连接
PI
并延长交圆
?
于<
br>T
.
⑴求证:
MP?MT?NP
;
?NT
⑵在弧
AB
(不含点
C
)上任取一点
Q
(
Q≠A
,
T
,
B
),记
?AQC
,
△QCB
的内
心分别为
I
1
,
I
2
,
求证
:
Q
,
I
1
,
I
2
,
T
四点共圆.
13、
P
N
I
T
A
Q
C
MB
求证不等式:
1
?
n
k
?
?1?
?
?
2
?lnn≤
,
n?1
,2,…
?
2
?
k?1
k?1
?
14、
互素.
设
k
,
l是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数
m≥k
,使得
C
k
m
与
l
2009全国高中数学联赛解答
一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)
x
99
?
f
?
ff
?
x
?
?1.若函数
f
?
x
?
?
且
f
(n)<
br>?
x
?
?f
?
,则
f
??
?
1
?
?
.
??
??
1?x
2
n
【答案】
1
10
【解析】
f
?
1?
?
x
?
?f
??
x?
……,
f?
99
?
?
x
?
?
x
1?99x2
x
1?x
2
,
f
?
2
?
?
x
?
?f
?
?
f
?
x
?
?
?
?
x
1?2x
2
,
.故
f
?
99
?
?
1
?
?
1
.
10
2.已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M:2x2
?2y
2
?8x?8y?1?0
,点
A
在直线
L
上,
B
,
C
为圆
M
上两点,在
?AB
C
中,
?BAC?45?
,
AB
过圆心
M
,则点<
br>A
横坐标范围为 .
【答案】
?
3,6
?
【解析】
9?a
设
A
?
a,
,由直线
A
C
?
,则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin
4?5
与圆
M
相交,得
d≤
34
.解得
3≤a≤6
.
2
xy
,则乘积
OP?OQ
的最小值
??1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
,
Q
,若
OP?OQ
22
ab
为 .
2a
2
b
2
【答案】
a
2
?b
2
π
?
π
?
?
??
s,OPs
?
in
n?
?
?
. 【解析】 设
P
?
OPco<
br>?
?
,
Q
?
?
?
?
?
,O
Qsi
?
?
?
OQcos
2
?
2
?
?
??
?
由
P
,
Q
在椭圆上,有
5.
椭圆
cos
2
?
sin
2
?
1sin
2<
br>?
cos
2
?
??
2
①
??
②
22
a
2
ba
2
b<
br>2
OPOQ
1
22
①+②
得
1
OP
2
?
1
OQ
2
?
11
?
.
a<
br>2
b
2
2a
2
b
2
2a
2
b
2
于是当
OP?OQ?
时,
OPOQ
达到最小值
22
.
a
2
?b
2
a?b
?
6.若方程
lgkx?2l
?
gx1
k
的取值范围是 .
?
仅有一个实根,那么
【答案】
k?0
或
k?4
【解析】 当且仅当
kx?0
①
x?1?0
②
x
2
?
?
2?k
?
x?1?0
③ 1
对③由求根公式得
x
1
,
x
2
?
?
k?2?k
2
?4k
?
④
?
2
?
或
k≥4
.
??k
2
?
4k≥0?k≤0
?
x?x?k?2?0
(ⅰ)当
k?0
时,由③得
?
12
,所以
x
1
,
x
2
同为负
根.
xx?1?0
?
12
?
x
1
?1?0
又由④知
?
,所以原方程有一个解
x
1
.
x?1?0
?
2
k
?1?1
.
2
?x
1
?x
2
?k?2?0
(ⅲ)当
k?4
时,
由③得
?
,
xx?1?0
?
12
(ⅱ)当
k?4
时,原方程有一个解
x?
所以
x
1
,
x
2
同为正根,且
x
1
?x
2
,不合题意,舍去.
综上可得
k?0
或
k?4
为所求.
8.某车站每天
8
,
∶00~∶9009∶00~∶10
都恰有一辆
客车到站,但到站的时刻是随机的,
00
且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
8∶108∶308∶50
9∶109∶309∶50
11
1
概率
62
3
一旅客
8
到车站,则它候车时间的数学期望为
(精确到分).
∶20
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为
到站时刻
候车时间(分)
概率
10
1
2
30
1
3
50
11
?
66
21世纪教育网
70
11
?
26
90
11
?
36
候车时间的数学期望为
11111
10??30??50??70??90??27
23361218
二、解答题 9.(本小题满分14分)设直线
l:y?k?x
x
2
y
2(其中
k
,
m
为整数)与椭圆
?
m
?1
交
1612
x
2
y
2
于不同两点
A
,<
br>B
,与双曲线
??1
交于不同两点
C
,
D
,
问是否存在直线
l
,使
412
?0
,若存在,指出这样的直线有多少
条?若不存在,请说明理由. 得向量
AC?BD
0
有两个实根
?
,
?
,数10.(本小题15分)已知
p
,
q
?
q?
0
?
是实数,方程
x?px?q?
2
4,
列?
a
n
?
满足
a
1
?p
,
a
2
?p
2
?q
,
a
n
?pa
n?
1
?qa
n?2
?
n?3,
?
(Ⅰ)求数列?
a
n
?
的通项公式(用
?
,
?
表示
);
1
,求
?
a
n
?
的前
n
项和.
4
【解析】 方法一:(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
,又
?
?
?
?p
,所以
(Ⅱ)若
p?1
,
q?
a
n
?pxx
?
?
?
?<
br>?
n?1
?q
n?2
?a
??
a,5,
,<
br>n?1
?
n?2
?
n?3,4
?
整理得
a
n
?
?
a
n
?
?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n
?2
?
.所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列.
2
数列
?
b
n
?
的首项为:b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>2
.
1
2,
?
.
a
n?1
?<
br>?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
所以
b
n
?
?
2
?
?
n?1
?
?
n?
,即
2,
?
. 所以
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
2
,
令
b
n
?a
n
,则
b
n?1
?
?
b
n
?
n?1,
?1
?
?
a<
br>n
2,
①当
??p
2
?4q?0
时,
?
?
?
?0
,
a
1?p?
?
?
?
?2
?
,
a
n?1?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,2,
变为
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
?
整理得,
?
.
a
n?1
n?1
?
?
a
n
?
n
?1
,
?
n?1,2,
?
所以,数列
?
?
.<
br>a
n
?
n
?
?
?
?
成公差为
1
的等差数列,其首项为
a
1
?
?
2
?
?
?2
.所以
a
n
?
n
?2?11
?
n?1
?
?n?
.
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
?
n
;
②当
??p
2
?4q?0
时,
?
?
?
,
?
?
?
n?1
??
2,
a
n
?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?<
br>a
n
?
?
?
?
a
n
?
?<
br>n?1
?
?
n?1
?
n?1,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n?2
?<
br>n?1
?
2,
?
?
?
a
n
?
整理得
a
n?1
?
?
,
?
n?1,
?<
br>?
??
?
?
??
?
.
?
. ?
?
n?1
?
所以,数列
?
a
n
?<
br>?
成公比为
?
的等比数列,其首项为
?
?
?
??
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?
2
n?1
?
?
.
a
1
??
?<
br>?
?
??
.所以
a
n
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
.
?
?
?
11.(本小题满分15分)求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值.
【解析】 函数的定义域为
?
0,13
?
.因为
y?x?x?27?13?x?x?27?13?2
?
x
13
.
1
?
3
≥
?x
27?13?33?
13
当
x?0
时等号成立.故
y
的最小值为
33?
又由
柯西不等式得
y
2
?
21世纪教育网
2
1
??
1
x?27?13?x
≤
?
?1?
?
?
2x?
?
x?27
?
?3?
13?x
?
?
?121
3
??
2
所以
y≤11
.
?
x
?
?
?x
?
?x?2
,解得
7
由柯西不等式等号成
立的条件,得
4x?9
?
13
x?9
.故当
x?9
时等
号成立.因此
y
的最大值为
11
.
2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答
不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本
评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不
要增加其他中间档次.
⌒
一、如图,
M
,
N
分别为锐角三
角形
?ABC
(
?A??B
)的外接圆
?
上弧
⌒<
br>BC 、AC的中点.过
点
C
作
PC∥MN
交圆
?<
br>于
P
点,
I
为
?ABC
的内心,连接
PI<
br>并延长交圆
?
于
T
.
⑴求证:
MP?MT?NP
;
?NT
⑵在弧
⌒
A
B(不含点
C
)上任取一点
Q
(
Q≠A
,
T
,
B
),记
?AQC
,
△QCB
的内心
分别为<
br>I
1
,
I
2
,
P
N
I
T
A
Q
C
M
B
求证:
Q
,
I
1
,
I
2
,
T
四点共圆.
【解析】⑴连
NI
,
MI
.由于
PC∥MN
,
P
,
C
,
M
,
N
共
圆,故
PCMN
是等腰梯
形.因此
NP?MC
,
PM?NC
.
P
N
I
T
A
C
M
B
连
AM
,
CI
,则
AM
与
CI
交
于
I
,因为
.同理
NC?NI
.
?MIC??MAC?
?ACI??MC?B?BC?I?
,所以
MC?MI
于是
NP?MI
,
PM?N
.
I
故四边形
MPNI
为平行四边
形.因此
S
△PMT
?S
△PN
(同底,等高).
T
又
P
,
N
,<
br>T
,
M
四点共圆,故
?TNP??PMT?180?
,由三角
形面积公式
111
TS
△PMT
?PM?MsTin?PM?T
S
△PNT
?PN?NTsin?PNT?PN?NTsin?PM
222
于
是
PM?MT?PN
.
?NT
⑵因为
?NC
1
I??NCA
IN??A
1
CI??NQC??
1
QC?I?
1
,
C
1
?
n
k
?
?lnn≤
二、求证不等式:?1?
?
?
2
,
n?1
,2,…
?
2
?
k?1
k?1
?
三、设
k
,
l
是给定的两个正整数.证明:有
无穷多个正整数
m≥k
,使得
C
与
l
互素.
【解析】 证法一:对任意正整数
t
,令
m?k?t?l(?!
.我
们证明
C
k
k)
l?1
.
m
,
k
m
??
设
p
是
l
的任一素因子,只要证明:p
/
∣
C
k
m
.
四、在非负数构成的
3?9
数表
?
x
11
x12
x
13
x
14
x
?
P?
?
x
21
x
22
x
23
x
2
4
x
?
xxxxx
?
31323334
15
x8
?
1
?
x
2
xx
825
x
267
?
2
x
3
xx
7
?
35
6338
?
x
1617
xxx
29
39
中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,
x
17<
br>?x
28
?x
3
?
9
0
,
x
27
,
x
37
,
x
18
,
x
3
8
,
x
19
,
x
29
均大于.如果
P的前三列构成的数表
?
x
11
x
12
x
1<
br>?
3
??
xx
S?
?
x
21222
3
?
?
x
xx
?
33
?
3132
?
?
x
1k
?
??
满足下面的性质
(O)
:对于数表
P
中的任意一列
?
x
2k
?
(
k?1
,2,…,9)均存在某个<
br>?
x
?
?
3k
?
i?
?
1,2,<
br>?
3
使得
xx
⑶
x
ik
≤u
i<
br>?min
?
x
?
1
,
i2
,
i3i
.
求证:
(ⅰ)最小值
u
i
?min
?
x
1i
,x
i2
,x
?
3i
,
i?1<
br>,2,3一定自数表
S
的不同列.
?
x
1k
*?
??
(ⅱ)存在数表
P
中唯一的一列
?
x
2
k
*
?
,
k
*
≠1
,2,3使得
3?3<
br>数表
?
?
x
?
?
?
3k
*
?
?
x
11
x
12
1
?
x
k<
br>*
??
S
?
?
?
xxx
2122
2
k
*
?
?
?
x
31
x
32x
?
?
3k
*
??
仍然具有性质
(O)
.
【解析】 (ⅰ)假设最小值
u
i
?min
?
x1i
,x
i2
,x
?
3i
,
i?1
,
2,3不是取自数表
S
的
不同列.则存在一列不含任何
u
i
.不妨设
u
i
≠x
i2
,
i?1
,2,3.由于数
表
P
中同一行中的
任何两个元素都不等,于是
u
i
?xi2
,
i?1
,2,3.另一方面,由于数表
S
具有性质
(O)
,在
3
使得
x
i
0
2
≤u
i
0
.矛盾. ⑶中取
k?2
,则存在某个
i
0
?
?
1,2,
?
(ⅱ)由抽届原理知,
min
?
x
11
,x
同一列.不妨设
min
?
x
21
,x
2
?
2
?
?
,
min
?
x<
br>21
,x
2
?
2
,
min
?
x31
,x
3
?
2
中至少有两个值取在
x
,S
的第一列
?
x
31
,x
3
?
2?x
.由前面的结论知数表
22
min
32
12
一定含
有某个
u
i
,所以只能是
x
11
?u
1
.
同样,第二列中也必含某个
u
i
,
i?1
,2.不妨设
.于
是
u
3
?x
33
,即
u
i
是数表
S
中的对角线上数字.
x
22
?u
2
?
x
11
x
12
x
1
?
3
??
S?
?
x
21
x
22
x
?
23
?
xxx
?
33
?
3132
?
下证唯一性.设有
k?M
使得数表
?
x
11
x
12
x
?
k1
??
S?
?
x
21
x
22
x
k
?2
?
xxx
?
?
3132k3
?
具
有性质
(O)
,不失一般性,我们假定
x
?
1
?
u
1
?min
?
x
11
,x
1
,
23
x
?
2
?
⑷
u
2
?min
?
x
21
,x
2
,
23x
11
x
22
x
?
3
?
u3
?min
?
x
31
,x
3
,
23<
br>x
33
x
.又由(ⅰ)知:或者
11
x
32
?x
3
.
1
u
1
?minx
?
由于
x
32
?x
3
,
?<
br>x
11
,x
1
,
2k1
?
1
x22
?x
2
及(ⅰ),有
1
(b)u
2
?mi
?
nx
21
,x
2
,
(a)
u
3
?min
?
x
31
,x
3
,
2
x
k
?
3
?x
k
,或者
32
x
k2
?
?x
k
.
2
如果
(a)
成立,由数表
S
具有性质
(O)
,则
x
?
u
1
?min
?
x
11
,x
1
,
2k1
?x
,
11
x
⑸
u
2
?min
?
x
21
,x
2
,
2k
?
2
?x<
br>,
22
u
3
?min
?
x
31
,x
3
,
2
x
k
?
3
?x
k
.
3
3
使得
u<
br>i
≥x
ik
*
.由数表
S
满足性质
(O)<
br>,则对于
3?M
至少存在一个
i?
?
1,2,
?由
k
*
?I
及⑷和⑹式知,
x
1k
*
?x
11
?u
1
,
x
3k
*
?x
32
?u
3
.于是只能有
x
2k
*
≤u
2
?
2
x
k
.类似地,由
S
?
满
?
?x
2k
*
.从而
k
*
?k
. 足性质<
br>(O)
及
k?M
可推得
x
2k
≤u
2
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