高中数学竞赛网站-高中数学第一章测试
十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分
一、选择题
22
2000、已知点
A
为双曲线
x
?
y
=1的左顶点,点
B
和点
C
在双曲线的右分支上,△
ABC
是等边
三角形,则△
ABC
的面积是
【答】( )
(A)
333
(B)
(C) 3
3
(D) 6
3
32
22
答案:C 。解析:如图所示,设BD=t,则OD=
3
t
-1,从而B(
3
t-1,t)满足方程
x?y?1
,
可以得到t=
3
,所以等边三角形,ΔABC的面积是
33
.
200
2.直线+
=
1与椭圆+
=
1相交于
A
、
B
两点,该椭圆上点
P
,使得Δ
PAB
面积等于3.这
43169<
br>样的点
P
共有
xyx
2
y
2
A
.1个
B
.2个
C
.3个
D
.4个
解:直线与椭
圆的交线长
=
5.直线方程3
x
+4
y
-12
=<
br>0.
12|cos
θ
+sin
θ
-1|
设点
P
(4cos
θ
,3sin
θ
).
点
P
与直线的距离
d=
,
5
π
12
当
0≤
θ
≤时,
d
≤(2-1),
S
ABC
≤6(2
-1)<3.即此时没有三角形面积
=
3;
25
当
π
12
<
θ
<2
π
时,
d
≤(2+1),
SABC
≤6(2+1).即此时有2个三角形面积
=
3.选
B
.
25
22
2003. 2设
a,b?R,ab?0,
那么直线
ax?y?b?0
和曲线
bx?ay?ab
的图形是【答】( )
x
2
y
2
??1
,观察图形可知;
题设方程可化为
y?ax?b
和
ab
2003.3 过抛物线
y2
?8
?
x?2
?
的焦点F作倾斜角为
60
的
直线. 若此直线与抛物线交于A,B
?
两点,弦AB的中垂线与
x
轴交于P
点,则线段PF的长等于 【答】( )
(A)
16816
(B)
(C)
3
(D)
83
333<
br>3x
,因此A,B两点的横坐标满足方程
3x
2
?8x?16?0,从而弦AB易知直线AB的方程为
y?
中点的横坐标为
x
0
?
标即PF=
4
4
,纵坐标
y
0
?
,进而求
得中垂线方程之后,令y=0,得点P的横坐
3
3
16
;
3
2
(x,y)|x
2004、已知M=
?
?2y
2
?3<
br>,N=
?
(x,y)|y?mx?b
?
,若对于所有的
m?R
,均有
?
M?N?
?
,
则
b
的取值范围是
A.[
?
23232323
6666
?,?,
,?,
3333
]
22
] B。
22
()C。()
D。[
答:[ ]
22
x?2y?3
上或它的内部
M
IN??
解:相当于点(0,b)在椭圆
2b
2
66
??1,???
b?
322
。 故选A。
x
2
y
2
??1
表示的曲线是 2005.
方程
sin2?sin3cos2?cos3
A. 焦点在
x
轴上的椭圆
C. 焦点在
y
轴上的椭圆
解:
?
B.
焦点在
x
轴上的双曲线
D. 焦点在
y
轴上的双曲线
2
?3?
?
,?0?
?
2
?2?3?
?
2
?
?
,?cos(?2)?cos(3?),
即
222
??
sin2?sin3.
又
0?2?
?
?
22
,?3?
?
,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3
?0,
方程表
示的曲线是椭圆。
?(sin2?sin3)?(co
s2?cos3)?22sin
2?32?3
?
sin(?)??(?)
22
4
2?32?3
?
?0,?sin?0,?
2222
2?3
?
?sin(?)?0,?(?)式?0.
24
??
?
2?33?
3
?
?,??
244
2?3
?
??
?
.
24
即
sin2?sin3?cos2?cos3.?
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆,选C。
2007. 设圆
O
1<
br>和圆
O
2
是两个定圆,动圆
P
与这两个定圆都相切,则圆P
的圆心轨迹不可能是
( )
解:设圆
O
1
和圆
O
2
的半径分别是
r
1
、
r
2
,|
O
1
O
2
|=2
c
,则一般地,圆
P
的圆心轨迹是焦点为
O
1
、
O
2
,且离
心率分别是
2c2c
和的圆锥曲线(当
r
1
=
r
2
时,
O
1
O
2
的中垂线是轨迹的一部份,
r
1
?r
2
|r
1
?r
2
|
当
c
=
0时,轨迹是两个同心圆)。
当
r
1
=
r
2<
br>且
r
1
+
r
2
<2
c
时,圆
P
的圆心轨迹如选项B;当0<2
c
<|
r
1
?
r
2
|时,圆
P
的圆心轨迹如选项
C;当
r
1≠
r
2
且
r
1
+
r
2
<2<
br>c
时,圆
P
的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点
不重合,因此圆
P
的圆心轨迹不可能是选项A。
二、填空题
x
2
y
2
2000、在椭圆
2
?
2
?1
(a
>
b
>0)中,记左焦点为
F
,右顶点为
A
,短轴上方的端点为
B
.若
ab
该椭圆的离心率是
5?1
,
则∠
ABF
=_________.
2
答案:90° 如图所示,由
c
?
a
5?1
?
c
2
+ac-a
2
=0,
2
?
a
cos?ABF?2
?b
2
?
?a
2
?
?
c?a
?
2?a?a?b
22
2
=0
?
则∠ABF=90°.
x
2
y
2
??1
的两个焦点,P是椭圆上的点,且
PF
1
:PF
2
?2:1
,则2003.设
F
1<
br>,F
2
是椭圆
94
?PF
1
F
2
的
面积等于_____________.
?PF
1
F
2
是直角三角
形,故
?PF
1
F
2
的面积为
S?
11
|
PF
1
|?|PF
2
|??2?4?4
;
22
2
2005.若正方形ABCD的一条边在直线
y?2x?17
上,另外两个顶点在抛物
线
y?x
上.则该
正方形面积的最小值为 80 .
解:设正方形的边
AB在直线
y?2x?17
上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1<
br>,y
1
)
、
D(x
2
,y
2
),则CD所在直线
l
的方程
y?2x?b,
将直线
l
的
方程与抛物线方程联
立,得
x?2x?b?x
1,2
?1?b?1.
令正方形边长为
a,
则
a?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?5(x
1
?x
2
)
?20(b?1).
①
在
y?2x?17
上任取一点(6,,5),它到直
线
y?2x?b
的距离为
a,?a?
2222
2
|17?b
|
5
②.
①、②联立解得
b
1
?3,b
2
?63.?a?80,
或
a?1280.?a
min
?80.
<
br>222
x
2
y
2
x?3y?8?23?0
??1的左右焦点分别为
F
1
与
F
2
,2006.
已知椭圆点
P
在直线
l
:
164
上. 当
?F1
PF
2
取最大值时,比
PF
1
的值为
.
PF
2
【解】 由平面几何知,要使
?F
1
PF
2
最大,则过
F
1
,F
2
,
P
三点的圆
必定和直线
l
相切于
P
点。
设直线
l
交
x
轴于
A
(?8?23,0)
,则
?APF
1
??A
F
2
P
,即
?APF
1
:?AF
2
P,即
PF
1
AP
(1),
?
PF
2
AF
2
(?8?23,0)
,又由圆幂定理,<
br>AP?AF
1
?AF
2
(2),而
F
1
(?
23,0)
,
F
2
(23,0)
,
A
从而有
AF
1
?8
,
AF
2
?8?43
。
2
代入(1),(2)得
x
2
a
2
PF
1
PF
2
?
AF
1
AF
2
?
8
?4?23?3?1
。
8?43
2009.椭圆
+
y2
b
2
=1
(
a>b>0
)上任意两点
P,
Q
,若
OP^OQ
,则乘积
OP×OQ
的最小
值为_____________.
三、解答题
x
2
y2
2000、已知
C
0
:
x
+
y
=1
和
C
1
:
2
?
2
?1
(
a
>
b
>0)。试问:当且仅当
a
,
b
满足什么条件时,<
br>ab
对
C
1
上任意一点
P
,均存在以
P为项点,与
C
0
外切,与
C
1
内接的平行四边形?并证
明你的结论。
22
答案:所求条件为
11
+
2
=1.
2
ab
证明:必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心.
假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0
)为项点的菱形与C
1
内接,与C
o
外切. ( a, 0
)的相
对顶点为( - a, 0
),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和
(0, -b)
.菱形一条边的方程为
x
y
+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C
O<
br>外切,
a
b
故必有
ab
a
2
?b
2
=1,整理得
11
+=1. 必要性得证.
a
2<
br>b
2
充分性:设
11
+=1,P是C
1
上任意一点,
过P、O作C
1
的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS,
a
2
b<
br>2
则PQRS为与C
1
内接菱形.设 OP = r
1,
OQ =r
2
, 则点O的坐标为(r
1
cos
?
, r<
br>1
sin
?
),点Q的坐
标为(r
2
cos(
?
+
?
?
),r
2
sin(
?
+)),
代入椭圆方程,得
22
?
r
1
cos<
br>?
?
a
2
2
+
?
r
1
si
n
?
?
b
2
2
[r
2
cos(
?
?
=1,
?
a
2
2
)]
2
[r
2
sin(
?
?)]
2
2
+
2
=
1,
2
b
?
cos
2
(
?
?)sin<
br>2
(
?
?)
cos
?
sin
?
11
1
1
2
+
2
]
?
?
于是,+==()+
[
222
22
2
22
R
1
R
2
a
b
OP
OQ
ab
2
?
?
=
11
+
=1.
a
2
b
2
1
11
=+=1,故得h=1
h
OP
2
OQ
2
又在Rt△POQ中,设点O到PQ的距离
为h,则
同理,点O到QR,RS,SP的距离也为1,故菱形PQRS与C
0
外切.
充分性得证.
[注]对于给出
a?b?ab
,
2
2222
ab
a?b
22
=1等条件者,应同样给分.
2002.已知点
A
(0,2)和抛物线
y=x
+4上两点
B
,
C
,使得
AB
⊥
BC
,求点
C
的纵坐标的取值
范围.
解:设
B
(
y
0
-4,
y
0
),
C
(
y
1
-
4,
y
1
).则
22
y
0
-21
y1
-
y
0
1
k
AB
=
2
=<
br>.
k
BC
=
22
=
.
y
0
-4
y
0
+2
y
1
-
y
0
y<
br>1
+
y
0
由
k
AB
·
k
B
C
=
-1,得(
y
1
+
y
0
)(
y
0
+2)
=
-1.
∴
y
0<
br>+(
y
1
+2)
y
0
+(2
y
1<
br>+1)
=
0.
22
∴ △
=
(
y
1
+2)-4(2
y
1
+1)
=y
1
-4
y
1
≥0,
∴
y
1
≤0,
y
1
≥4.
当
y
1
=
0时,得
B
(-3,-1),当
y
1
=
4时,得
B
(5,-3)均满足要求,故点
C
的纵坐标的
取值范围是
(-∞,0]∪[4,+∞).
2005.过抛物线
y?x
上的一点A(1,1)作
抛物线的切线,分别交
x
轴于D,交
y
轴于B.点C
在抛物线上,点
E在线段AC上,满足
2
2
AEBF
?
?
1
;点F
在线段BC上,满足
?
?
2
,且
ECFC
?
1?
?
2
?1
,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点
P的轨迹方程.
解一:过抛物线上点A的切线斜率为:
y
?
?2
x|
x?1
?2,?
切线AB的方程为
1
y?2x?1.?B、D<
br>的坐标为
B(0,?1),D(,0),?D
是线段AB的中点. ………………5分
2
AE
2
设
P(x,y)
、
C(x
0,x
0
)
、
E(x
1
,y
1
)
、
F(x
2
,y
2
)
,则由
?
?
1
知,
EC
22
1?
?
1
x
0
1?
?
1
x
0
?
2
x
0
?1?
?
2
x
0
BE
?
?
2
,
得
x
2
?x
1
?,y
1
?;,y
2
?.
1?
?
1
1?
?
1
FC
1?
?
2
1?
?
2
2
1?
?
1<
br>x
0
1?
?
1
x
0
y?x?
1?<
br>?
1
1?
?
1
∴EF所在直线方程为:
?,
22
?1?
?
2
x
0
1?
?
1<
br>x
0
?
2
x
0
1?
?
1
x
0
??
1?
?
2
1?
?
1
1?<
br>?
2
1?
?
1
22
化简得
[(
?<
br>2
?
?
1
)x
0
?(1?
?
2)]y?[(
?
2
?
?
1
)x
0
?3
]x?1?x
0
?
?
2
x
0
.
…①………
…10分
22
2x
0
x?x
0
1
当
x<
br>0
?
时,直线CD的方程为:
y?
…②
2
2x0
?1
x
0
?1
?
x?
?
1
?
3
x
y?(3x?1)
2
.
………15联立①、②解得<
br>?
,消去,得P点轨迹方程为:
0
2
3
?
y?
x
0
?
3
?
分
当
x
0
?
1311311
时,EF方程为:
?y?(
?
2
?
?
1
?3)x??
?
2
,CD
方程为:
x?
,
2244242
1
??
x?,
??
2
?
2
?
联立解得
?
也在P点轨迹上.因C与A不能重合,∴
x?1,?x?.
?
0
1
3
?
y?.
?
?
12
?
??
∴所求轨迹方程为
y?
分
解二:由解一知,AB的方程为
y?2x?1,B(0,?1),D(,0),
故D是AB的
中点. ……5分
令
?
?
12
(3x?1)
2
(
x?).
………………………………………………20
33
1
2
CD
CACB
,t
1
??1?
?
1
,t
2
??
1?
?
2
,
则
t
1
?t
2
?3.
因为CD为
?ABC
的中线,
CPCECF
?S
?CAB
?2S
?CAD
?2S
?CBD
.
而
S
S
t?t
1CE?CF
S
?CEF
11133
???
?CEP
?
?CFP
?(?)?
12
?,?
?
?
,
t
1
t
2
CA?CBS
?CAB
2S
?
CAD
2S
?CBD
2t
1
?
t
2
?2t
1
t
2
?
2t
1
t
2
?
2
?P
是
?ABC
的重心.
………………………………………………………………………10分
设
P(x,y),C(x
0
,x
0
),
因点C异于A,则
x
0
?1
,
故重心P的坐标为
22
0?1?x
0
1?x
0
?1?1?x
0
x
0
2
1
x??,(x?),y??,消去
x
0
,
得
y?(3x?1)
2
.
33333
3
2
故所求轨迹方程为
y?
12
(3x
?1)
2
(x?).
………………………………………………20分
33
2
2006. 给定整数
n?2
,设
M
0<
br>(x
0
,y
0
)
是抛物线
y?nx?1
与直
线
y?x
的一个交点. 试证
明对于任意正整数
m
,必存在整数k?2
,使
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
mm
2
y?x
的一个交点.
n?n
2
?4
【证明】 因为
y?nx?1
与
y?
x
的交点为
x
0
?y
0
?
.
2
2
显然有
x
0
?
1
?n
。…(5分)
x
0
2
m
若
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
y?x
的一个交点,则
k?x
0
?
…(10分)
mm
1
.
m
x0
记
k
m
?x
0
?
(13.1
)
m
11
k?k(x?)?k
m?1
?nk
m
?
k
m?1
,
(m?2)
,则
m?1m0
x
0
m
x
0
由于
k
1
?n
是整数,
k
2
?x
0
?
2
11
22
?(x?)?
2?n?2
也是整数,所以根据数学归纳法,
0
2
x
0
x<
br>0
m
k
m
?x
0
?
通过(13.1)式可证
明对于一切正整数
m
,
1
是正整数. 现在对于任意正整数
m
,
x
0
m
取
k?x
0
?
m
1<
br>mm
2
y?kx?1
,使得与的交点为
y?x
(x,y
00
)
. …………… (20分)
x
0
m
2008.如图,
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点,点
B,C
在
y
轴上,圆
(x?1)2
?y
2
?1
内切于
?PBC
,
求
?
PBC
面积的最小值.
[解] 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
,不妨设
b?c
.
直线PB
的方程:
y?b?
y
0
?b
x
,
x
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
.
又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1,
y
0?b?x
0
b
(y
0
?b)?x
22
0
?1
, …5分
222
故
(y
0
?b)
2
?x
0
?(y
0
?b)
2
?2
x
0
b(y
0
?b)?x
0
b
,
易知<
br>x
0
?2
,上式化简得
(x
0
?2)b
2<
br>?2y
0
b?x
0
?0
,
同理有
(x<
br>0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
. …10分
所
以
b?c?
?x
0
?2y
0
,
bc?
,则
x
0
?2
x
0
?2
2
22
4x<
br>0
?4y
0
?8x
0
.
(b?c)?
(x
0
?2)
2
2
因
P(x
0
,y
0
)
是抛物线上的点,有
y
0
?2x
0
,则
2
2x
0
4x
0
,
b?c?
.
…15分
(b?c)?
x
0
?2
(x
0
?2)<
br>2
2
所以
S
?PBC
?
x
14
(b
?c)?x
0
?
0
?x
0
?(x
0
?2)
??4
2x
0
?2x
0
?2
?24?4?8
.
当
(x
0
?2)
2
?
4
时,上式取等号,此时
x
0
?4,y
0
??22
.
因此
S
?PBC
的最小值为8.
…20分
2009.(本小题满分14分)设直线
l
:
y=kx+
m
(其中
k
,
m
为整数)与椭圆
x
2
y<
br>2
+=1
交于
1612
x
2
y
2
不
同两点
A
,
B
,与双曲线
-=1
交于不同两点
C<
br>,
D
,问是否存在直线
l
,使得向量
412
uuuu
ruuurr
AC+BD=0
,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
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