平台突破公式对数公式的运算

..
对数公式的运用
1．对数的概念
b
如果
a
(
a
>0，且
a
≠1)的
b
次幂等于
N
，即
a
=
N
，那么数
b
叫做以
a
为底
N
的对数，记作：
log
a
N
=
b
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数
．

由定义知：
①负数和零没有对数；
②
a
>0且
a
≠1，
N
>0；
log aN
=
Nb
③
log
a
1=0，
log
a
a
=1，
a
(对数恒等式)，
log
a
a
=
b
。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作
log
10
N
，简记为
lgN
；
以无理数
e
(
e
=2
．
718 28…)为底的对 数叫做自然对数，记作
log
e
N
，简记为
lnN．


2．对数式与指数式的互化
b
式子名称
a
=
N

b
指数式
a
=
N
(底数)(指数)(幂值)
对数式
log
a
N
=
b
(底数) (真数) (对数)

3．对数的运算性质
如果
a
>0，
a< br>≠1，
M
>0，
N
>0，那么
(1)
loga
(
MN
)=
log
a
M
+
log< br>a
N．

(2)
log
a
（
M
< br>N
）=
log
a
M
-
log
a
N．

n
(3)
log
a
M
=
nloga
M
(
n
∈
R
)
．
< br>问：①公式中为什么要加条件
a
>0，
a
≠1，
M
> 0，
N
>0?
n
②
log
a
a
=? (
n
∈
R
)
③对数式与指数式的比较
．
(学生填表)

b
式子
a< br>=
N
，
log
a
N
=
b
名称：
a
—幂的底数
b
—
N
—
a
—对数的底数
b
—
N
—

运算性质：
mnm
+
n
a
·
a
=
a

a
m
÷
a
n
=
a
m
-
n

(
a
>0且
a
≠1，
n
∈
R
)
log
a
MN
=
log
a
M
+
l og
a
N

log
a
MN
=
log
a
M
n
= (
n
∈
R
) (
a
>0，
a
≠1，
M
>0，
N
>0)

难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定
a
＞0，，且
a
≠1?
理由如下：
①
a
＜0，则
N
的某些值不存在，例如< br>log
-2
8=?
②若
a
=0，则
N
≠ 0时
b
不存在；
N
=0时
b
不惟一，可以为任何正数?
③若
a
=1时，则
N
≠1时
b
不存在；
N
=1时
b
也不惟一，可以为任何正数?
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

. 下载可编辑 .
..
解题方法技巧
1． (1)将下列指数式写成对数式：
46
xm①5=625；②2=64；③3=27；④13=5
．
73
．

(2)将下列对数式写成指数式：
①
log
2
16=4； ②
log
2
128=7；
③
log
3
27=
x
； ④
lg
0
．
01=-2；
⑤
ln
10=2．
303；⑥
lgπ
=
k．

b
解析由对数 定义：
a
=
N
，
log
a
N
=
b ．

解答(1)①
log
5
625=4
．
②log
2
64=6
．

③
log
3
27=
x．
④
log
13
5
．
73=
m．


解题方法
b
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓 住对数的定义：
a
=
N

log
a
N
=
b

47
x
(2)①2=16，②2=128，③3=27，
-22
．
303
k
④10=0
．
01，⑤
e
=10，⑥10 =
π．

2．根据下列条件分别求
x
的值：
(1)
log
8
x
= -23；(2)
log
2
(
log
5
x
)=0；
(3)
log
x
27=3×；(4)
log
x
(2 +)= -1
．

解析(1)对数式化指数式，得：
x
=
(2)
log
5
x
=2=1
．

x
=?
log
2?
(3)3×3
3
=?
．
27=
x

(4) 2+=
x
=1
x．

x
=?
-1
0
=?
解答(1)
x
=
0
=1
=2=14
．

-2
(2)
log
5x
=2=1，
x
=5=5
．

(3)
log
x
27=3×
∴
x
=27=3=(
(4) +
-1
636
=3×2=6，
)，故
x
=
．

)==
x
=1
x
，∴
x
=1(+
．


解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，
经常进行着 两种形式的相互转化
．

n
②熟练应用公式：
log
a< br>1=0，
log
a
a
=1，
alog
a
M< br>=
M
，
log
a
a
=
n．

512-13
3．已知
log
a
x
=4，
log
a
y
=5，求
A
=〔
x
·
y
〕的值
．

解析：
思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运
. 下载可编辑 .
..
算求值；
思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?
解答：
解法一∵
log
a
x
=4，
log
a
y
=5，
45
∴
x
=
a
，
y
=
a
，
(512)(-13)
∴
A
=xy
=(
a
4
)
512
(
a
5
)
-13
=
a
53
·
a

-53
=
a
0
=1
．

解法二对所求指数式两边取以
a
为底的对数得
log
a
A
=
log
a
(
x
(512)
y
(-13 )
)
=(512)
log
a
x
-(13)
lo g
a
y
=(512)×4-(13)×5=0，
∴
A
=1
．


解题技巧
有时对数 运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把
指数运算转化为对数运 算
．

1+
lgx
4
．
设
x
，
y
均为正数，且
x
·
y
=1(
x
≠110 )，求
lg
(
xy
)的取值范围
．

解析一个等 式中含两个变量
x
、
y
，对每一个确定的正数
x
由等式都有 惟一的正数
y
与之对
应，故
y
是
x
的函数，从而< br>lg
(
xy
)也是
x
的函数
．
因此求
lg
(
xy
)的取值范围实际上是一个
求函数值域的问题，怎样才能建立这 种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
1+
lgx
解答∵
x< br>>0，
y
>0，
x
·
y
=1，
两边取对 数得：
lgx
+(1+
lgx
)
lgy
=0
．
即
lgy
=-
lgx
(1+
lgx
) (
x
≠110，
lgx
≠-1)
．

令
lgx
=
t
，则
lgy
=-
t
(1+
t< br>) (
t
≠-1)
．

2
∴
lg(
xy
)=
lgx
+
lgy
=
t
-< br>t
(1+
t
)=
t
(1+
t
) (
t
≠-1)
．

(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有 指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把
较复杂问题转化为较简单的问题
．)
设
S
=
t
(1+
t
)，得关于
t
的方程
t
2-
St
-
S
=0因为它一定有实数解< br>．

2
∴
Δ
=
S
+4
S
≥0，得
S
≤-4或
S
≥0，
故
lg
(
xy
)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)
．

5
．
求值：
2
(1)
lg
25+
lg
2 ·
lg
50+(
lg
2)；
2
log
53(2)2
log
3
2-
log
3
(329)+
log
3
8-5；
(3)设
lga
+
lgb
= 2
lg
(
a
-2
b
)，求
log
2
a
-
log
2
b
的值；
lg
20
l g
0
.
7
(4)求7·(12)的值
．

解析：
2
(1)25=5，50=5×10。都化成
lg
2与
lg
5的关系式
．

(2)转化为
log
3
2的关系式
．

(3)所 求
log
2
a
-
log
2
b
=
l og
2
(
a

b
)，由已知等式给出了
a
，
b
之间的关系，能否从中求出
a

b
的值呢?
l g
20
lg
0
.
7
lg
20
lg
0
.
7
(4)7·(12)是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设
x< br>=7·(12)能否先求
出
lgx
，再求
x
?

22
解答(1)原式=
lg
5+
lg
2·
lg(10×5)+(
lg
2)
2
=2
lg
5+
lg
2·(1+
lg
5)+(
lg
2)
2
=
lg
5·(2+
lg
2)+
lg
2+(
lg
2)
. 下载可编辑 .
2
..
=（
lg
(102)）·(2+
lg
2)+
lg
2 +(
lg
2)
2
=(1-
lg
2)(2+
lg
2)+
lg
2+(
lg
2)
22
=2-
lg
2-(
lg
2)+
lg
2+(
lg
2)=2
．

523
log
9
(2)原式=2
log3
2-(
log
3
2-
log
3
3)+
log
3
2-5
5

=2
log
3
2 -5
log
3
2+2+3
log
3
2-9
= -7
．

2
(3)由已知
lgab
=
lg
(
a
-2
b
) (
a
-2
b
>0)，
222
∴
ab
=(
a
-2
b
)， 即
a
-5
ab
+4
b
=0
．

∴
a

b
=1或
a

b
=4，这里
a
>0，
b
>0
．

若
a

b
=1，则
a
-2
b
<0， ∴
a

b
=1（ 舍去）
．

∴
a

b
=4，
∴
log
2
a
-
log
2
b
=
log
2
(
a< br>
b
)=
log
2
4=2
．

lg
20
lg
0
．
7
(4)设
x
=7·(12 )，则
lgx
=
lg
20×
lg
7+
lg0
．
7×
lg
(12)
=(1+
lg
2) ·
lg
7+(
lg
7-1)·(-
lg
2)
=
lg
7+
lg
2=
lg
14，
∴
x
=14， 故原式=14
．


解题规律
①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒
等式 ，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检
验，如(3)．

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4 )
．

6
．
证明(1)
log
a
N
=
log
c
N

log
c
a
(a
>0，
a
≠1，
c
>0，
c
≠1，
N
>0)；
(2)
log
a
b
·
log
b
c
=
log
a
c
；
(3)
log
a
b
=1
log
b
a
(
b
>0，
b
≠1)；
m
(4)
log
an
b
= (
m

n
)
log
a
b．

解析:
b
(1)设
log
a
N
=
b得
a
=
N
，两边取以
c
为底的对数求出
b就可能得证
．

(2)中
log
b
c
能否也 换成以
a
为底的对数
．

(3)应用(1)将
loga
b
换成以
b
为底的对数
．

m
( 4)应用(1)将
log
an
b
换成以
a
为底的对数
．


解答:
b
(1)设
log
a
N
=
b
，则
a
=
N
，两边取以
c
为底的对数得：
b
·
log
c
a
=
log
c
N
，
∴
b
=
log
c
N
< br>log
c
a．
∴
log
a
N
=
lo g
c
N

log
c
a．

(2)由(1)
log
b
c
=
log
a
c

log
a
b．

所以
log
a
b
·
log
b
c
=
log
a
b
·
log
a
c

log
a
b
=
log
a
c ．

(3)由(1)
log
a
b
=
log
b
b

log
b
a
=1
log
b
a．


解题规律
(1)中
log
a
N=
log
c
N

log
c
a
叫做对数换 底公式，
(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用
．
对于对数的换
底公式，既要善于正用，也要善于逆用
．

. 下载可编辑 .
2
..
(4)由(1)
log
an
b
=
log
a
b

log
a
a
=
mlog
a
b
< br>nlog
a
a
= (
m

n
)
log
a
b．

b
7
．
已知
log
6
7=
a
， 3=4，求
log
12
7
．

b
解析依题意a
，
b
是常数，求
log
12
7就是要用
a< br>，
b
表示
log
12
7，又3=4即
log
3
4=
b
，能否将
log
12
7转化为以6为底的对数，进 而转化为以3为底呢?
解答已知
log
6
7=
a
，log
3
4=
b
，
∴
log
12
7=
log
6
7
log
6
12=
a
(1+
log
6
2)
．

又
log
6
2=
log
3
2
log
3
6=
log
3< br>2(1+
log
3
2)，
由
log
3
4 =
b
，得2
log
3
2=
b．

∴log
3
2=
b
2，∴
log
6
2=(
b
2)(1+
b
2)=
b
(2+
b
)
．

∴
log
12
7=
a
(1+
b
(2+
b
))=
a
(2+
b
)(2+2
b
)
．


解题技巧
利用已知条件求对数的值，一般运用换底 公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，
这是常用的方法技巧。
xyz
8 ．已知
x
，
y
，
z
∈
R
+，且3=4=6
．

(1)求满足2
x
=
py
的
p
值；
(2)求与
p
最接近的整数值；
(3)求证：(12)
y
=1
z
-1
x．
解析：已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量
m
，再用
m
分 别表示
x
，
y
，
z
?
又想，对于指数式能否用对数 的方法去解答?
解答：
xyxy
（1）解法一3=4，
log
3
3=
log
3
4，
x
=
ylog
34，2
x
=2
ylog
3
4=
ylog
316，
∴
p
=
log
3
16
．

xy
解法二设3=4=
m
，取对数得：
x
·
l g
3=
lgm
，
ylg
4=
lgm
，
∴
x
=
lgm

lg
3，
y
=
lg m

lg
4，2
x
=2
lgm

lg
3，
py
=
plgm

lg
4
．

由2
x
=
py
， 得 2
lgm

lg
3=
plgm

lg
4，
2
∴
p
=2
lg
4
lg
3=
lg
4
lg
3=
log
3
16
．

(2)∵2=
log
3
9， ∴ 3-
p
=
log
3
27-
log
3
16=
log
3
(27 16)，
p
-2=
log
3
16-
log
3< br>9=
log
3
(169)，
而2716<169， 又3>1真数大则对数大
∴
p
-2>3-
p
，
p
>2.5
∴与
p
最接近的整数是3
．


解题思想
①提倡一题多解
．
不同的思路，不同的方法，应用了 不同的知识或者是相同知识的灵活运用，
既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不 为呢?
②(2)中涉及比较两个对数的大小
．
这是同底的两个对数比大小
．
因为底3>1，所以真数大
的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对 数函数的单调性，以鼓励
学生超前学习，自觉学习的学习积极性
．

xyz< br>(3)解法一令3=4=6=
m
，由于
x
，
y
，z
∈
R
+，
∴
k
>1，则
x
=
lgm

lg
3，
y
=
lgm

lg
4，
z
=
lgm

lg
6，
所以1z
-1
x
=
lg
6
lgm
-
lg3
lgm
=(
lg
6-
lg
3)
lgm
=
lg
2
lgm
，
(12)
y
=(12)·lg
4
lgm
=
lg
2
lgm
，
. 下载可编辑 .
mmn
..
故(12)
y
=1
z
-1
x．

xyz
解法二3=4=6=
m
，
1
x
1
y
1
z
则有3=
m
①，4=
m
②，6=
m
③，
1
z
-1
x
(12)
y
③①， 得
m
=63=2=
m．

∴1
z
-1
x
=(12)
y．

22< br>9．已知正数
a
，
b
满足
a
+
b
= 7
ab．
求证：
log
m
(
a
+
b
)3=(12)(
log
m
a
+
log
m
b)(
m
>0且
m
≠1)
．

解析：
22
①已知
a
>0，
b
>0，
a
+
b< br>=7
ab．
求证式中真数都只含
a
，
b
的一次式，想 ：能否将真数中的一
22
次式也转化为二次，进而应用
a
+
b
=7
ab
；
解题技巧
22
② (
a
+b
)3向二次转化以利于应用
a
+
b
=7
ab
是技巧之一
．

22
③应用
a
+
b
=7
ab
将真数的和式转化为
ab
的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二
．

解答：
log
m
(
a
+
b
)3=
log
m
((
a
+
b
)3)
22
=
22
(12)
log
m
((
a
+
b
)3)2=(12)
log
m
(
a
+
b
+2
ab
)9
．

22
∵
a
+
b
=7
ab
，
∴
log
m
(
a
+
b
)3=(12)
log
m
(7
ab
+2
ab
)9=(12)
log
m
ab
=(12)(
log
m
a
+
log
m
b
)，
即
log
m
(
a
+
b
)3=(12)(
log
m
a
+
log
mb
)
．


思维拓展发散
n
1．数学兴 趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系
．
设真数
N
=
a< br>×10。其中
N
>0。
1≤
a
<10，
n
∈
Z．
这就是用科学记数法表示真数
N．
其科学性体现在哪里?我们只要研究数
N
的常用对数，就能揭示其中的奥秘。
n
解析：由已知，对
N< br>=
a
×10取常用对数得，
lgN
=
n
+
l ga．
真数与对数有何联系?
n
解答
lgN
=
lg(
a
×10)=
n
+
lga．n
∈
Z
，1≤
a
<10，
∴
lga
∈(0，1)
．

我们把整数
n
叫做
N
的常用对数的首数，把
lga
叫做
N
的常用对数的尾数，它是正的纯
小数或0
．

n< br>小结：①
lgN
的首数就是
N
中10的指数，尾数就是
lga
，0≤
lga
<1；
②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；
③当
N
≥1时，
lgN
的首数
n
比它的整数位数少1，当< br>N
∈(0，1)时，
lgN
的首数
n
是负整数，|
n
|-1与
N
的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同
．


师生互动
什么叫做科学记数法？
N
>0，
lgN
的首数和尾数与
a
×10
n
有什么联系？
有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

2．若
l gx
的首数比
lg
(1
x
)的首数大9，
lgx
的 尾数比
lg
(1
x
)的尾数小0
.
380 4，且
lg
0
.
203
4=1
.
308 3，求
lgx
，
x
，
lg
(1
x
)的值
．

解析①
lg
0
.
203 4=1
.
308 3，即
lg
0
．
203 4=1+0
.
308 3，1是对数的首数，0
.
308 3是对数
的尾数，是正的纯小数；②若设
lgx
=
n
+
lga
，则< br>lg
(1
x
)也可表出
．

解答设
lgx
=
n
+
lga
，依题意
lg
(1
x
)=(
n
-9)+(
lga
+0
．
380 4)
．

又
lg
(1
x
)= -
lgx
=-(
n
+
lga
)，
. 下载可编辑 .
..
∴(
n
-9)+(
lga
+0
.
380 4)= -
n
-
lga
，其中
n
-9是首数，
lga
+0
.
380 4是尾数，
-
n
-
lga
=-(
n
+1)+(1-
lga
)，-(
n
+1)是首数1-lga
是尾数，所以：
n
-9=-(
n
+1) ，
lga
+0
.
380 4=1-
lga
，
∴
n
=4，
lga
=0
.
308 3
．

∴
lgx
=4+0.308 3=4
.
308 3，
4
∵
lg
0
.
203 4=1
.
308 3，∴
x
=2
.
034×10
．

∴
lg
(1
x
)=-(4+0
.
308 3)=5
.
691 7
．
注：(10-4
.
3083=5
.
6917)

解题规律
把
lgx
的首数和尾数，
lg
(1
x
)的首数和尾 数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程
．
再
由同一对数的首数等于首数，尾数等 于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法
．

3．计算：
(1)
(2)2
lg
(
lga
)(2+
lg(
lga
))
．

解析(1)中
．
2+与2-有何关系?+双重根号，如何化简?
100
；
(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?
解题方法 < br>认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒
．解
答(1)原式= +
=
= -1+
log
6
6 =
．

(2)原式
=2
lg
(100
lga)(2+
lg
(
lga
))=2(
lg
100+
lg
(
lga
))(2+
lg
(
lga
))=2 (2+
lg
(
lga
))(2+
lg
(
lga))=
2
．

4．已知
log
2
x
=
log
3
y
=
log
5
z
<0，比较， ，的大小
．

解析：已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂， 所以，对数等式应设
法转化为指数式
．

解答：设
log
2
x
=
log
3
y
=
log
5
z
=
m
<0
．
则
x
=2
m
，< br>y
=3
m
，
z
=5
m
．

=()，
m
=(
与
)，
，
m
=()
．< br>
m
下面只需比较的大小：
. 下载可编辑 .
..
(
又(
)=2=8，(
105
63
)=3=9，所以
102
62
<
．

>
x
)=2=32，()=5=25，∴
)，
y
=(
x
．
∴
x
<<
．
又
m
<0，
考查指数函数
y
=()，
y
=()在第二象限的图像，如图：
1.4
1.2
1
f
(
x
)
= 2
x
h
(
x
)
= 5
5
()
1x
0.8
g
(
x
)
=
(
3
)
1
3
x
0.6
0.4
0.2
21.510.50.51

解题规律
⑴转化的思想是一个重要的 数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充
分注意这种关系及对数式与指数式的相互 转化
．

⑵比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函 数在同一坐标系中
第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?
① 是
y
=()，②是
y
=(
)<(
m
x
)， ③是
y
=(
)<(
m
x
)
．
指数
m
<0时，图像在第二象限从下到上，底

<<

x
从大到小
．
所以()，故
m

潜能挑战测试
1.(1)将下列指数式化为对数式:
3-2-5
①7=343；②(14)=16；③
e
=
m．

(2)将下列对数式化为指数式：
①
log
12
8=-3；②< br>lg
10000=4；③
ln
3
.
5=
p．

2.计算：
(1)；(2)；(3)
．

； 3. (1)已知
lg
2=0
.
301 0，
lg
3=0
.
477 1，求
lg
(2)若
l g
3
.
127=
a
，求
lg
0
.
031 27
．

2
4.已知
a
≠0，则下列各式中与< br>log
2
a
总相等的是( )
2

A
. 2
log
2
|
a
|
B
. 2
log
2
a

C
. (
log
2
a
)
D
.
log
2
a
+
log
2
a

5.若
log
x
+1
(
x
+1)=1 ，则
x
的取值范围是( )
. 下载可编辑 .
..
6.已知
a
=
M(
a
>0，
b
>0，
M
≠1)，且
logM
b
=
x
，则
log
M
a
的值为( )
7.若
log
6
3=0
.
673 1，
log
6
x
=-0
.
326 9， 则
x
为( )
8.若
log
5
(
log
3
(
log
2
x
))=0，则
x
=( )
．

9.
2
b
=( )
．

10.如果方程
lgx
+(
lg
2+lg
3)
lgx
+
lg
2·
lg
3=0的两根 为
x
1
、
x
2
，那么
x
1
·x
2
的值为( )
．

11.生态学指出：生物系统 中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个
营养级
．H
1
→
H
2
→
H
3
→
H
4
→
H
5
→
H
6
这条生物链中 (
H
n
表示 第
n
个营养级，
n
=1，2，3，4，5，
6
6)
．
已知对
H
1
输入了10千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能 量?
xyz
12.已知
x
，
y
，
z
∈
R
+且3=4=6，比较3
x
，4
y
，6
z
的大小
．

xyyx
22
13.已知
a
，b
均为不等于1的正数，且
ab
=
ab
=1，求证
x< br>=
y．

abcd
14.已知2·5=2·5=10，证明(
a
-1)(
d
-1)=(
b
-1)(
c
-1)< br>．

15.设集合
M
=｛
x
|
lg
(
ax
-2(
a
+1)
x
-1)>0｝，若
M< br>≠空集，
M
=｛
x
|
x
<0｝，求实数
a
的取值范
围
．


16.在张江高科技园区的上海超级计 算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒
钟384 000 000 000次
．
用科学记数法表示这个数为
N
=3.84，若已知
lg
3
.
840=0
．
584
2
3，则
lgN
=
．

17.某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试 问经过几年，生
产成本降低为原来的40%?(
lg
2=0
.
3，
lg
3=0
.
48)
18.某厂为适应改革开放，完善管理机制 ，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度
增长10
.
4%，那么经过
y
季度增长到原来的
x
倍，则函数
y
=
f
(
x
)的解析式
f
(
x
)=
．


名师助你成长
1．(1)①
log
7
343=3
．②
log
(14)
16=-2
．
③
lnm
=- 5
．

-34
p
(2)①(12)=8
．
②10=10 000
．
③
e
=3
.
5
．

2
．
(1)48 点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式
．

(2)98 点拨：应用商的乘方和对数恒等式
．

(3)144 点拨：应用对数运算性质和积的乘方
．

3
．
(1)0
.
826 6 点拨：
lg
=(12)
lg
45=12
lg
(902)=(12)(
lg
3+
lg
10-
lg
2)
．

-2
2
(2)
lg
0
.
031 27=
lg
(3
.
127×10)= -2+
lg
3
.
127= -2+
a

4
．C
点拨：
a
≠0，
a
可能是负数，应用 对数运算性质要注意对数都有意义
．

5
．B
点拨：底x
+1>0且
x
+1≠1；真数
x
+1>0
．

b
6
．A
点拨：对
a
=
M
取以M
为底的对数
．

7
．C
点拨：注意0
.
673 1+0
.
326 9=1，
log
6
(1
x
)=0
.
326 9，
所以
log
6
3+
log
6
(1
x
)=
log
6
3
x
=1
．
∴3
x
=6，
x
=2
．

3
8
．x
=8 点拨：由外向内
．log
3(
log
2
x
)=1，
log
2
x
=3，
x
=2
．

9
．
5 点拨：
log
8
7·
log< br>7
6·
log
6
5=
log
8
5，
5
=5
．

10
．
16 点拨：关于
lgx
的一元二次方程的两根是
lgx
1
，
lgx
2．

由
lgx
1
= -
lg
2，
lgx
2
= -
lg
3，得
x
1
=12，
x
2
=13
．x
1
·
x
2
= 16
. 下载可编辑 .
..
11
．
设第
n
个营养级能获得100千焦的能量，
6
n
-1
依题意:10·(10100)=100，
7-
n
2
化简得:10=10，利用同底幂相等，得7-
n
=2，
或者两边取常用对数也得7-
n
=2
．

∴
n
=5，即第5个营养级能获能量100千焦
．

xy z
12
．
设3=4=6=
k
，因为
x
，
y
，
z
∈
R
+，
所以
k
>1
．
取以
k
为底的对数，得：
x
=1
log
k
3，
y
=1
log
k< br>4，
z
=1
log
k
6
．

∴3
x
=3
log
k
3==1
log
k
，
同理得：4
y
=1
log
k
而=，
>
l og
k
>
>
log
k
xyyx
，6
z=1
log
k
， =
．

， =
>
log
k
>
∴
log
k
又
k
>1，∴
log
k
．

>1，
>
log
k
>0，∴3
x
<4
y
<6
z．

x yyx
13
．
∵
ab
=
ab
=1，∴
lg
(
ab
)=
lg
(
ab
)=0，
即< br>xlga
+
ylgb
=0，
ylga
+
xlgb=0
．
(※)
两式相加，得
x
(
lga
+
lgb
)+
y
(
lga
+
lgb
)=0< br>．

即(
lga
+
lgb
)(
x
+
y
)=0
．
∴
lga
+
lgb
=0 或
x
+
y
=0
．

当
lga
+
lgb
=0时，即
lgb=-lga
，代入
xlga
+ylgb
=0，得: (
x
-
y
)
lga
=0，

a
是不为1的正数∴
lga
≠0，∴
x
-
y
=0
．< br>
22
∴
x
+
y
=0或
x
-y
=0，即(
x
+
y
)(
x
-
y)=0 ∴
x
=
y．

aba
-11-
b
14
．
∵25=10，∴2=5
．
两边取以2为底的对数，得：a
-1=(1-
b
)
log
2
5
．

∴
log
2
5= (
b
≠1)
．
同理得
log
2
5= (
d
≠1)
．

即
b
≠1，
d
≠1时，=
．

∴(a
-1)(1-
d
)=(
c
-1)(1-
b
) ，
∴(
a
-1)(
d
-1)=(
b
-1)(< br>c
-1)
．

当
b
=1，
c
=1时显然成立
．

2< br>15
．
设
lg
(
ax
-2(
a
+1 )
x
-1)=
t
(
t
>0)，则
ax
2
-2(
a
+1)
x
-1=10
t
(
t
>0)
．

t
22
∴10>1 ，
ax
-2(
a
+1)
x
-1>1，∴
ax
-2(
a+1)
x
-2>0
．

①
a
=0时，解集 ｛
x
|
x
<-1｝｛
x
|
x
<0｝；
当
a
≠0时，
M
≠{}且
M
=｛
x
|
x
<0｝
．

. 下载可编辑 .
..
∴方程
ax
-2(
a
+1)
x
-2=0 必有两不 等实根，设为
x
1
，
x
2
且
x
1
<
x
2

②当
a
>0时，
M
=｛
x
|
x>x
2
｝，显然不是｛
x
|
x
< 0｝的子集；
③当
a
<0时，
M
=｛
x
|x1
｝，
2
Δ
=4(
a
+1)+8
a
>0，
x
1
+
x
2
=2(
a
+1)
a
>0 ，
x
1
·
x
2
=-2
a
>0
．

解得
a
<-2-
2
2
依题意，不等式< br>ax
-2(
a
+1)
x
-1>1, 有解，且只有正数解。
a
=0时，不等式为-2
x
-2>0, 得：
x
<-1, 不符。
a
0时，为使解只为正数，则需
a
<0, 且
ax
2
-2(
a
+1)
x
-2=0的相异两根都为正根

Δ
=4(
a
+1)+8
a
=4(
a
+4< br>a
+1)>0,得：
a
<(-2-
两根和x
1
+
x
2
=2(
a
+1)
a
>0, 即
a
<-2
两根积
x
1
·
x
2
=-2
a
>0，即
a
<0
综合得：
a
<(-2-)
22
),
or

a
>(-2+)

11
16
．N
=3
.
840×10，
lgN
=11
.
584 3
．

17
．
设经过
x
年，成本降为原来的40%
．
则
x
(1-10%)=40%，两边取常用对数，得：
x
·
lg
(1-10%)=
lg
40% ，
即
x
=
lg
0
.
4
lg
0
.
9=(
lg
4-1)(
lg
9-1)=(2
lg
2-1) (2
lg
3-1)=10
．

所以经过10年成本降低为原来的40%
．

18
．f
(
x
)=
log
1
.
104
x
〔或
f
(
x
)=
lgx

lg
1
.
10 4〕
．

y
点拨：设原来一个季度产品为
a
，则
a
(1+10.4%)=
xa
，∴
y
=
log
1< br>.
104
x．


12
．
设3^
x
=4^
y
=6^
z
=
k
,则
x
=
log
（3）
k
，
y
=
log
（4）k
，
z
=
log
(6)
k
.
很显然
k
>1,由上面可知
x
=1
log
(
k
) 3,
y
=1
log
(
k
)4,
z
=1log
(
k
)6.
所以3
x
=3
log(
k
)3，4
y
=4
log
(
k
)4 ，6
z
=6
log
(
k
)6.
3
x4
y
=[3
log
(
k
)4][4
log(
k
)3]=
log
(
k
)4^3
log(
k
)3^4=
log
(
k
)64
log(
k
)81<1,
所以，
3
x
<4
y.同样有，4
y
6
z
=[4
log
(
k
)6][6
log
(
k
)4]=
log
(
k)1296
log
(
k
)4096<1,
所以4
y
<6
z
.
所以3
x
<4
y
<6
z
.
对于这种连等 的式子，大多数都可以设一个
k
，使得这个式子等于
k
，那么就可以得到几个
关于
k
的式子，那么题目就好解决了，记得我读书的时候就是这么做的，而且效果不错

19
．
已知集合
M
={
x
|
a x
-(
a
+1)
x
-1>0满足
φ
属于
M
的真子集，
M
?
R
+}，求
a
的取值范围
2
. 下载可编辑 .
..
空集是
M
的真子集,
M
?
R
+
空集是
M
的真子集, ∴
ax
?-(
a
+1)
x
-1>0有解
M
?
R
, ∴
ax
?-(
a
+1)
x
-1>0的解是正数
设
ax
?-(
a
+1)
x
-1=0的解为
x
1
，
x
2
(
x
1
>=
x
2
)
a
>0时,
M
的解为
x
>
x
1
,或
x
<
x< br>2
,不都是正数(舍)
a
=0时,不等式为-
x
-1>0, ∴
x
<-1无正数解(舍)
a
<0时,
M
的解为
x
2
<
x
<
x
1
,要使全是正数解, 则
x
1>
x
2>0
∴△=(
a
+1)?+4a
=
a
?+6
a
+1=(
a
+3)?-8>0 , ∴
a
>2√2-3,或
a
<-2√2-3①
x
1
x
2
=-1
a
>0, ∴
a
<0②
x
1
+
x
2
=(
a
+1)
a
>0, ∴
a
>0或
a
<-1③
结合①②③得
a
<-2√2-3
ax
?-(
a
+1)
x
-1与
x
轴一定有交点，就是
ax
?-(
a
+1)
x
-1=0有实数解:
空集是
M
的真子集说明< br>M
不是空集,就是说
ax
?-(
a
+1)
x
-1>0有解
若
ax
?-(
a
+1)
x
-1与< br>x
轴一定无交点
则
ax
?-(
a
+1)
x
-1恒大于0,或恒小于0
ax
?-(
a
+1)
x
-1>0的解集不是空集就是实数集
R

而
M
?
R
+,显然和这两个都矛盾

. 下载可编辑 .