excel公式不自动计算对数公式的运算84117复习进程

对数公式的
84117
算




运

对数公式的运用
1．对数的概念
如果a(a>0，且a≠ 1)的b次幂等于N，即a
b
=N，那么数b叫做以a为底N的对
数，记作：log< br>a
N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
．

由定义知：
①负数和零没有对数；
②a>0且a≠1，N>0；
③log
a1=0，log
a
a=1，a
logaN=N
(对数恒等式)，log< br>a
a
b
=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log
10
N，简记为lgN；
以无理数e(e=2
．
718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log
e
N，简
记为lnN
．


2．对数式与指数式的互化
式子名称a
b
=N
指数式a
b
=N(底数)(指数)(幂值)
对数式log
a
N=b(底数) (真数) (对数)

3．对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)lo g
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
．

(2)log
a
（MN）=log
a
M-log
a< br>N
．

(3)log
a
M
n
=nlog
a
M (n∈R)
．

问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?
②log
a
a
n
=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较
．
(学生填表)

式子a
b
=N，log
a
N=b 名称：a—幂的底数 b— N—
a—对数的底数 b— N—

运算性质：
a
m
·a
n
=a
m+n

a
m
÷a
n
= a
m-n

(a>0且a≠1，n∈R) log
a
MN=log
a
M+log
a
N
log
a
MN=
log
a
M
n
= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)

难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?
理由如下：
① a＜0，则N的某些值不存在，例如log
-2
8=?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

解题方法技巧
1． (1)将下列指数式写成对数式：
①5
4
=625；②2
6
=64；③3
x
=27；④13
m
=5
．
73
．

(2)将下列对数式写成指数式：
①log
2
16=4； ②log
2
128=7；
③log
3
27=x； ④lg0
．
01=-2；
⑤ln10=2
．
303；⑥lg
π
=k
．

解析由对数定义：a
b
=N，log
a
N=b
．

解答(1)①log
5
625=4
．
②log
2
6 4=6
．

③log
3
27=x
．
④log13
5
．
73=m
．


解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a
b
=N log
a
N=b
(2)①2
4
=16，②2
7
=128，③3
x
=27，
④10
-2
=0
．< br>01，⑤e
2
．
303
=10，⑥10
k
=
π．

2．根据下列条件分别求x的值：
(1)log
8
x= -23；(2)log
2
(log
5
x)=0；
(3)log
x
27=3×；(4)log
x
(2+)= -1
．

=? 解析(1)对数式化指数式，得：x=
(2)log5
x=2
0
=1
．
x=?
(3)3×3
log
3
2
=?
．
27=x
?

(4) 2+=x
-1
=1x
．
x=?
==2
-2
=14
．

解答(1)x=< br>(2)log
5
x=2
0
=1，x=5
1
=5
．

(3)log
x
27=3×
∴x
6
=27 =3
3
=(
(4) +

=3×2=6，
)
6
，故x=
．

)==x
-1
=1x，∴x=1(+
．

解题技巧 < br>①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解
决有关问题时，经常 进行着两种形式的相互转化
．

②熟练应用公式：log
a
1=0 ，log
a
a=1，alog
a
M=M，log
a
a
n
=n
．

3．已知log
a
x=4，log
a
y=5，求A=〔x
512
·y
-13
〕的值
．

解析：
思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利
用指数式的运算求值；
思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?
解答：
解法一∵log
a
x=4，log
a
y=5，
∴x=a
4
，y=a
5
，
∴A=x
(512)
y
(-13)
=(a
4
)
512
(a
5< br>)
-13
=a
53
·a
-53
=a
0
=1
．

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
log
a
A=log
a
(x
(512)
y
(-13)
)
=(512)lo g
a
x-(13)log
a
y=(512)×4-(13)×5=0，
∴A=1
．


解题技巧
有时对数运算比指数运算来 得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对
数的方法，把指数运算转化为对数运算
．
4
．
设x，y均为正数，且x·y
1+lgx
=1(x≠1 10)，求lg(xy)的取值范围
．

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一 个确定的正数x由等式都有惟一的正
数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数< br>．
因此求lg(xy)的取
值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函 数关系呢?能否对
已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0，y>0，x·y
1+lgx
=1，
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0
．

即lgy=-lgx(1+lgx) (x≠110，lgx≠-1)
．

令lgx=t，则lgy=-t(1+t) (t≠-1)
．

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t(1+t)= t
2
(1+t) (t≠-1)
．

(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问 题的常用的有效方法；而变量替换可把
较复杂问题转化为较简单的问题
．
)
设S=t
2
(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解
．< br>
∴
Δ
=S
2
+4S≥0，得S≤-4或S≥0，
故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)
．

5
．
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)
2
；
(2)2log
3
2-log
3
(329)+log
38-5
2log53
；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求l og
2
a-log
2
b的值；
(4)求7
lg20
·(12)
lg0.7
的值
．

解析：
(1)25=5
2
，50=5×10。都化成lg2与lg5的关系 式
．

(2)转化为log
3
2的关系式
．

(3)所求log
2
a-log
2
b=log
2
( ab)，由已知等式给出了a，b之间的关系，能否从中求
出ab的值呢?
(4)7
lg20
·(12)
lg0.7
是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7
lg20
·(12)
lg0.7
能
否先求出lgx，再求x?

解答(1)原式=lg5
2
+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)
2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)
2

=（lg(102)）·(2+lg2)+lg2+(lg2)
2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)
2

=2-lg2 -(lg2)
2
+lg2+(lg2)
2
=2
．

(2)原式=2log
3
2-(log
3
2
5
-log< br>3
3
2
)+log
3
2
3
-5
lo g
5
9

=2log
3
2-5log
3
2+2+3log
3
2-9
= -7
．

(3)由已知lgab=lg(a-2b)
2
(a-2b>0)，
∴ab=(a-2b)
2
， 即a
2
-5ab+4b
2
=0
．

∴ab=1或ab=4，这里a>0，b>0
．

若ab=1，则a-2b<0， ∴ab=1（ 舍去）
．

∴ab=4，
∴log
2
a-log
2
b=log
2
(ab)= log
2
4=2
．

(4)设x=7
lg20
· (12)
lg0
．
7
，则
lgx=lg20×lg7+lg0
．
7×lg(12)
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=lg14，
∴x=14， 故原式=14
．


解题规律
①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等 式两边
都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改
变，为防止 增根所以需要检验，如(3)
．

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值 是代数运算中常用的方法，
如(4)
．

6
．
证明(1)l og
a
N=log
c
Nlog
c
a (a>0，a≠1，c>0，c≠1，N>0)；
(2)log
a
b·log
b
c=log
a
c；
(3)log
a
b=1log
b
a(b>0，b≠1)；
(4)log
an
b
m
=(mn)log
a
b
．

解析:
(1)设log
a
N=b得a
b
=N ，两边取以c为底的对数求出b就可能得证
．

(2)中log
b
c能否也换成以a为底的对数
．

(3)应用(1)将log
a
b换成以b为底的对数
．

(4)应用(1)将log
an
b
m
换成以a为底的对数
．


解答:
(1)设log
a
N=b，则a
b
=N ，两边取以c为底的对数得：b·log
c
a=log
c
N，
∴ b=log
c
Nlog
c
a
．
∴log
a
N=log
c
Nlog
c
a
．

(2)由(1) log
b
c=log
a
clog
a
b
．

所以 log
a
b·log
b
c=log
a
b·l og
a
clog
a
b=log
a
c
．

(3)由(1)log
a
b=log
b
blog
b
a=1log
b
a
．


解题规律
(1)中 log
a
N=log
c
Nlog
c
a叫做对数换底公式，
(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用
．
对于
对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用
．

(4)由(1) log
an
b
m
=log
a
b
m
log< br>a
a
n
=mlog
a
bnlog
a
a= (mn)log
a
b
．

7
．
已知log6
7=a，3
b
=4，求log
12
7
．

解析依题意a，b是常数，求log
12
7就是要用a，b表示log
12< br>7，又3
b
=4即
log
3
4=b，能否将log
1 2
7转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?
解答已知log
6
7=a，log
3
4=b，
∴log
12
7=log
6
7log
6
12=a(1+log
6
2)
．

又log
6
2=log
3
2log
3
6=log
3
2(1+log
3
2)，
由log
3
4=b，得2log
3
2=b
．
< br>∴log
3
2=b2，∴log
6
2=(b2)(1+b2)=b(2 +b)
．

∴log
12
7=a(1+b(2+b))=a(2+ b)(2+2b)
．


解题技巧
利用已知条件求对数的值， 一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知
条件表示出来，这是常用的方法技巧。
8． 已知x，y，z∈R+，且3
x
=4
y
=6
z
．

(1)求满足2x=py的p值；
(2)求与p最接近的整数值；
(3)求证：(12)y=1z-1x
．

解析：已知条件中给出了指数幂 的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表
示x，y，z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答 ?
解答：
（1）解法一3
x
=4
y
，log
3
3
x
=log
3
4
y
，x=ylog
3
4，2x=2ylog
3
4=ylog
3
16，
∴p=log
3
16
．

解法二设3
x
=4
y
=m，取对数得：
x·lg3=lgm，ylg4=lgm，
∴x=lgmlg3，y=lgmlg4，2x =2lgmlg3，py=plgmlg4
．

由2x=py， 得 2lgmlg3=plgmlg4，
∴p=2lg4lg3=lg4
2
lg3=l og
3
16
．

(2)∵2=log
3
9， ∴ 3-p=log
3
27-log
3
16=log
3
(271 6)，
p-2=log
3
16-log
3
9=log
3
(169)，
而2716<169， 又3>1真数大则对数大
∴p-2>3-p， p>2.5
∴与p最接近的整数是3
．


解题思想
①提倡一题多解
．
不同的思路，不同的方法，应用了 不同的知识或者是相同知
识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而< br>不为呢?
②(2)中涉及比较两个对数的大小
．
这是同底的两个对数比大小
．
因为底3>1，
所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前 应用了对
数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性
．

(3)解法一令3
x
=4
y
=6
z
=m，由于x，y，z∈ R+，
∴k>1，则 x=lgmlg3，y=lgmlg4，z=lgmlg6，
所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=(lg6-lg3)lgm=lg2lgm，
(12)y=(12)·lg4lgm=lg2lgm，
故(12)y=1z-1x
．

解法二3
x
=4
y
=6
z
=m，
则有 3=m
1x
①，4=m
1y
②，6=m
1z
③，
③①，得m
1z-1x
=63=2=m
(12)y
．

∴1z-1x=(12)y
．

9．已知正数a，b满足a
2+b
2
=7ab
．
求证：log
m
(a+b)3=(1 2)(log
m
a+log
m
b)(m>0
且m≠1)
．< br>
解析：
①已知a>0，b>0，a
2
+b
2
= 7ab
．
求证式中真数都只含a，b的一次式，想：能否
将真数中的一次式也转化为二 次，进而应用a
2
+b
2
=7ab；
解题技巧
② ( a+b)3向二次转化以利于应用a
2
+b
2
=7ab是技巧之一
．

③应用a
2
+b
2
=7ab将真数的和式转化为ab的 乘积式，以便于应用对数运算性质
是技巧之二
．

解答：
log< br>m
(a+b)3=log
m
((a+b)3)
22
= (12)log
m
((a+b)3)2=(12)log
m
(a
2
+b
2
+2ab)9
．

∵a
2
+b
2
=7ab，
∴log
m
(a+b)3=(12)log
m
(7ab+2ab)9=(12)log
m
ab=(12)(log
m
a+log
m
b)，
即log
m
(a+b)3=(12)(log
m
a+log
m
b)
．


思维拓展发散
1．数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对 数间的关系
．
设真数N=a×
10
n
。其中N>0。1≤a<10， n∈Z
．
这就是用科学记数法表示真数N
．
其科学性
体现在哪里?我 们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘。
解析：由已知，对N=a×10
n取常用对数得，lgN=n+lga
．
真数与对数有何联
系?
解答l gN=lg(a×10
n
)=n+lga
．
n∈Z，1≤a<10，
∴lga∈(0，1)
．

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lg a叫做N的常用对数的尾
数，它是正的纯小数或0
．

小结：①lgN的首数就是N中10
n
的指数，尾数就是lga，0≤lga<1；
②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不
同；
③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN
的首数n是负整数， |n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个
数相同
．


师生互动
什么叫做科学记数法？
N>0，lgN的首数和尾数与a×10
n
有什么联系？
有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

2．若lgx的首数比lg(1x)的首数大9，lgx的尾数比lg(1x)的尾数小0.380 4，且
lg0.203 4=1.308 3，求lgx，x，lg(1x)的值
．

解析①lg0.203 4=1.308 3，即lg0
．
203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3
是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lg x=n+lga，则lg(1x)也可表出
．

解答设lgx=n+lga，依题意 lg(1x)=(n-9)+(lga+0
．
380 4)
．

又lg(1x)= -lgx=-(n+lga)，
∴(n-9)+(lga+0.380 4)= -n-lga，其中n-9是首数，lga+0.380 4是尾数，-n-lga=-
(n+ 1)+(1-lga)，-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：
n-9=-(n+1) ，lga+0.380 4=1-lga，
∴n=4，lga=0.308 3
．

∴lgx=4+0.308 3=4.308 3，
∵lg0.203 4=1.308 3，∴x=2.034×10
4
．

∴lg(1x)=-(4+0.308 3)=5.691 7
．
注：(10-4.3083=5.6917)

解题规律
把lgx的首数和尾数，lg(1x)的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等 量关系
列方程
．
再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是< br>解决这类问题的常用方法
．

3．计算：
(1)
(2)2lg(lga
100
)(2+lg(lga))
．

解析(1)中
．
2+与2-有何关系?+双重根号，如何化简?
；
(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?
解题方法
认真审题、理解题意、抓 住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的
繁、难所吓倒
．
解答(1)原式=
=
= -1+log
6
6 =
(2)原式
=2lg(100 lga)(2+lg(lga))=2(lg100+lg(lga))(2+lg(lga))=2(2+lg (lga))(2+lg(lga))=2
．

4．已知log
2
x=log
3
y=log
5
z<0，比较，，的大小
．


+
．

解析：已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能 转化成指数幂，所以，
对数等式应设法转化为指数式
．

解答：设log< br>2
x=log
3
y=log
5
z=m<0
．
则
x=2
m
，y=3
m
，z=5
m
．

=()
m
，=(
与
)
m
，
，
=( )
m
．

下面只需比较
(
又(
)
6=2
3
=8，(
的大小：
<)
6
=3
2
=9，所以
．

>
)
10
=2
5
=32，()
10
=5
2
=25，∴
)
x
，y=(
．
∴<<
．
又m<0，
考查指数函数y=()
x
，y=()
x
在第二象限的图像，如图：
1.4
1.2
1
f
(
x
)
= 2
h
(
x
)
=
(
5
)
15
x
x
0.8
g
(
x
)
=
(
3
)
1
3
x
0.6
0.4
0.221.510.50.51

解题规律
⑴转化的思想是一个重要的数学思想， 对数与指数有着密切的关系，在解决有
关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化
．

⑵比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?
①是y=()
x
，②是y=()
x
，③是y=(
)
m
<()m
<(
)
x
．
指数m<0时，图像在第二象限从下
)< br>m
，故
<<
到上，底从大到小
．
所以(

潜能挑战测试

1.(1)将下列指数式化为对数式:
①7
3
=343；②(14)
-2
=16；③e
-5
=m
．
(2)将下列对数式化为指数式：
①log
12
8=-3；②l g10000=4；③ln3.5=p
．

2.计算：
(1)；(2)；(3)
．

； 3. (1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg
(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27
．

4.已知a≠0，则下列各式中与log
2
a
2
总相等的是( )
A. 2log
2
|a| B. 2log
2
a C. (log
2
a)
2
D. log
2
a+log
2
a
5.若log
x+1
(x+1)=1 ，则x的取值范围是( )
6.已知a
b
=M(a>0，b>0，M≠1)，且log
M
b=x，则lo g
M
a的值为( )
7.若log
6
3=0.673 1，log
6
x=-0.326 9， 则x为( )
8.若log
5
(log
3
(log
2
x))=0，则x=( )
．

9. =( )
．

10.如果方程 lg
2
x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x
1
、 x
2
，那么x
1
·x
2
的值为
( )
．

11.生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10% 的能量
流到下一个营养级
．
H
1
→H
2
→H
3
→H
4
→H
5
→H
6
这条生物链中 (Hn
表示第n个营
养级，n=1，2，3，4，5，6)
．
已知对H
1
输入了10
6
千焦的能量，问第几个营养
级能获得100千焦的能量?
12.已知x，y，z∈R+且3
x
=4
y
=6
z
，比较3x，4y，6z的大小
．

13.已知a，b均为不等于1的正数，且a< br>x
b
y
=a
y
b
x
=1，求证x
2
=y
2
．

14.已知2
a
·5
b=2
c
·5
d
=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1 )
．

15.设集合M=｛x|lg(ax
2
-2(a+1)x- 1)>0｝，若M≠空集，M =｛x|x<0｝，求实数
a的取值范围
．


16.在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速
度为每秒钟384 000 000 000次
．
用科学记数法表示这个数为N=3.84已知lg3.840=0
．
584 3，则lgN=
．

，若
17.某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降 低10%，试问经
过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3， lg3=0.48)
18.某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均
比上一季度增 长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解
析式f(x)=
．


名师助你成长
1．(1)①log
7
343=3
．
②log
(14)
16=-2
．
③lnm=-5
．

(2)①(12)
-3
=8
．
②10
4
=10 000
．
③e
p
=3.5
．

2
．
(1)48 点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式
．

(2)98 点拨：应用商的乘方和对数恒等式
．

(3)144 点拨：应用对数运算性质和积的乘方
．

3
．
(1)0.826 6 点拨：lg=(12)lg45=12lg(902)=(12)(lg3
2
+l g10-lg2)
．

(2)lg0.031 27=lg(3.127×10
-2
)= -2+lg3.127= -2+a
4
．
C 点拨：a≠0，a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义
．

5
．
B 点拨：底x+1>0且x+1≠1；真数x+1>0
．

6
．
A 点拨：对a
b
=M取以M为底的对数
．

7
．
C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1，log
6
(1x)=0.326 9，
所以log
6
3+log
6
(1x)=log
6
3 x=1
．
∴3x=6， x=2
．

8
．
x=8 点拨：由外向内
．
log3(log2x)=1， log2x=3， x=2
3
．

9
．
5 点拨：log
8
7·log
7
6·log
6
5=log
8
5，
5
=5
．

10
．
16 点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx
1
，lgx
2
．

由lgx
1
= -lg2，lgx
2
= -lg3，得x
1
=12，x
2
=13
．
x
1
·x
2
= 16
11
．
设第n个营养级能获得100千焦的能量，
依题意:10
6
·(10100)
n-1
=100，
化简得:10
7-n
=10
2
，利用同底幂相等，得7-n=2，
或者两边取常用对数也得7-n=2
．

∴n=5，即第5个营养级能获能量100千焦
．

12
．
设3
x
=4
y
=6
z
=k，因为x，y，z∈R+，
所以k>1
．
取以k为底的对数，得：
x=1log
k
3，y=1log
k
4，z=1log
k
6
．

∴3x=3log
k
3=
同理得：4y=1log
k
而=，
>log
k
>
>log
k
=
>log
k< br>>
=1log
k
，
，6z=1log
k
， =
．

，
∴log
k
又k>1，
∴log
k
．

>1，
>0，∴3x<4y<6z
．
>log
k
1 3
．
∵a
x
b
y
=a
y
b
x=1，∴lg(a
x
b
y
)=lg(a
y
b
x
)=0，
即xlga+ylgb=0，ylga+xlgb=0
．
(※)
两式相加，得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0
．

即(lga+lgb)(x+y)=0
．
∴lga+lgb=0 或x+y=0
．

当lga+lgb=0时，即lgb=-lga，代入xlga+ylgb=0，得: (x-y)lga=0，
a是不为1的正数∴lga≠0，∴x-y=0
．

∴x+y=0或x-y=0，即(x+y)(x-y)=0 ∴x
2
=y
2
．

14
．
∵2
a
5
b
=10，∴2
a-1
=5
1-b
．
两边取以2为底的对数，得：a-1=(1-b)log
2
5
．

∴log
2
5= (b≠1)
．
同理得log
2
5=
=
(d≠1)
．

即b≠1，d≠1时，
．

∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b)，
∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
．

当b=1，c=1时显然成立
．

15
．
设lg(ax
2
-2(a+1)x-1)=t (t>0)，则
ax
2
-2(a+1)x-1=10
t
(t>0 )
．

∴10
t
>1 ，ax
2
-2(a+1) x-1>1，∴ax
2
-2(a+1)x-2>0
．

① a=0时，解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝；
当a≠0时，M≠{}且M=｛x|x<0｝
．

∴方程ax
2
-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x
1
，x
2
且x
1
< x
2

②当a>0时，M=｛x|x>x
2
｝，显然不是｛x|x<0｝的子集；
③当a<0时，M=｛x|x1
｝，
Δ
=4(a+1)
2
+8a>0，
x
1
+x
2
=2(a+1)a>0，
x
1
·x
2
=-2a>0
．

解得a<-2-
依题意，不等式ax
2
-2(a+1)x-1>1, 有解，且只有正数解。
a=0时，不等式为-2x-2>0, 得：x<-1, 不符。
a0时，为使解只为正数，则需a<0, 且ax
2
-2(a+1)x-2=0的相异两根都为正根
), or a>(-2+)
Δ
=4(a+1)
2
+8a=4( a
2
+4a+1)>0,得：a<(-2-
两根和x
1
+x
2
=2(a+1)a>0, 即a<-2
两根积x
1
·x
2
=-2a>0，即a<0
综合得：a<(-2-

)
16
．
N=3.840×10
11
， lgN=11.584 3
．

17
．
设经过x年，成本降为原来的40%
．
则
(1-10%)
x
=40%，两边取常用对数，得：
x·lg(1-10%)=lg40% ，
即x=lg0.4lg0.9=(lg4-1) (lg9-1)=(2lg2-1)(2lg3-1)=
所以经过10年成本降低为原来的40%
．

18
．
f(x)=log
1.104
x〔或f(x )=lgxlg1.104〕
．

点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10 .4%)
y
=xa，∴y=log
1.104
x
．


12
．
设3^x=4^y=6^z=k,则x=log（3）k，y=lo g（4）k，z=log(6)k.
很显然k>1,由上面可知x=1log(k)3,y=1log(k)4,z=1log(k)6.
所以3x=3log(k)3，4y=4log(k)4，6z=6log(k)6.
3x4 y=[3log(k)4][4log(k)3]=log(k)4^3log(k)3^4=log(k)64 log(k)81<1,
所以，
3x<4y.同样有，4y6z=[4log(k)6][ 6log(k)4]=log(k)1296log(k)4096<1,
所以4y<6z.
所以3x<4y<6z.
对于这种连等的式子，大多数都可以设一个k，使得这个式子等于k ，那么就可
以得到几个关于k的式子，那么题目就好解决了，记得我读书的时候就是这么
做的， 而且效果不错

10
．

19
．
已知集合M= {x|ax-(a+1)x-1>0满足φ属于M的真子集，M?R+}，求a
的取值范围
2
空集是M的真子集,M?R+
空集是M的真子集, ∴ax?-(a+1)x-1>0有解
M?R, ∴ax?-(a+1)x-1>0的解是正数
设ax?-(a+1)x-1=0的解为x
1
，x
2
(x
1
>=x
2
)
a>0时,M的解为x>x
1
,或x2
,不都是正数(舍)
a=0时,不等式为-x-1>0, ∴x<-1无正数解(舍)
a<0时,M的解为x
2
1
,要使全是正数解, 则x1>x2>0
∴△=(a+1)?+4a=a?+6a+1=(a+3)?-8>0, ∴a>2√2-3,或a<-2√2-3①
x
1
x
2
=-1a>0, ∴a<0②
x
1
+x
2
=(a+1)a>0, ∴a>0或a<-1③
结合①②③得 a<-2√2-3
ax?-(a+1)x-1与x轴一定有交点，就是ax?-(a+1)x-1=0有实数解:
空集是M的真子集说明M不是空集,就是说ax?-(a+1)x-1>0有解
若ax?-(a+1)x-1与x轴一定无交点
则ax?-(a+1)x-1恒大于0,或恒小于0
ax?-(a+1)x-1>0的解集不是空集就是实数集R
而M?R+,显然和这两个都矛盾