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2020-09-16 22:00
tags:平方公式

sit的过去式-在校生证明


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解析完全平方公式

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识点重点是对完全 平方公式的熟记
及应用.难点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系数的理解).我 在教学完全平方公式后反
思学生中常见错误有:①学生难于跳出原有的定式
思维,如典型错误; (错因:在公式的基础上类
推,随意“创造”)②混淆公式与;③运算结果中符
号错误;④变式 应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析:
一、理解公式左右边特征
(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方
的意义与多项式的 乘法法则得到的),真实体会随意
“创造”的不正确性;
(二)学会用文字概述公式的含义:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,
加上(或减去)它们的积的2倍.
与 都 叫做完全平方公式.为了区别,我们把
前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差
的完全 平方公式.
(三)这两个公式的结构特征是:
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1、左边是两个相 同的二项式相乘,右边是三项
式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这
两项乘积的2倍 ;
2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”
号连接;左边两项符号相反时,右边平 方项用“+”
号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项
时未包括其符号在内);
3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负
数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
(四)两个公式的统一:
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式:两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲:
1、“察”:计算时,要先观察题目特点是否符合
公式的条件 ,若不符合,应先变形为符合公式的条
件的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合
公式条 件的形式,则应运用相应乘法法则进行计算.
2、“导”:正确地选用完全平方公式,关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式.
3、“算”:注意每步的运算依据,即各个环节的
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算理。
4、“验”:完成运算后学会检验,既回过头来再
反思每步的计算依据和 符号等各方面是否正确无误,
又可通过多项式的乘法法则进行验算,确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
(一)、变符号:
例1:运用完全平方公式计算:
(1) (2)


分析:本例改变了公式中a 、b的符号,处理方
法之一:把两式分别变形为再用公式计算(反思得:);
方法二:把两式分 别变形为:后直接用公式计算;
方法三:把两式分别变形为:后直接用公式计算(此
法是在把两 个公式统一的基础上进行,易于理解不
会混淆);
(二)、变项数:
例2:计算:
分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘,而本例中出现了三项 ,故应考虑将其中两
项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所
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以在运用公式时,可先变形为 或 或者 ,再进行计
算.
(三)、变结构
例3:运用公式计算:
(1)(x+y)·(2x+2y);
(2)(a+b)·(-a-b);
(3)(a-b)·(b-a)
分析;本例中 所给的均是二项式乘以二项式,
表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发
现,只要将其 中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)(x+y)·(2x+2y)=2(x+y)?;
(2)(a+b)·(-a-b)= -(a+b)?;
(3)(a-b)·(b-a)=-(a-b)?
(四)、简便运算
例4:计算:(1)9992 (2)100.12
分析:本例中的999接近1000,1 00.1接近100,
故可化成两个数的和或差,从而运用完全平方公式
计算。即:(1)。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5:计算: (l)(x+y+z)(x+y-z) (2)
(2x-y+3z)(y-3z-2x)
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分析:此例是三项 式乘以三项式,特点是:有
些项相同,另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数 的项分别结合构造成平方差公式
计算后,再运用完全平方公式等计算。即:(1)(x+y+z)
(x+y-z)=[(x+y)+z] [(x+y)-z]=…
(2)(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x
+(y-3z)]=…
2、公式的变形:


熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换
求知值的关键。
例6:已知实数a、b满足(a+b)2=10,ab=1。
求下列各式的值:
(1)a2+b2; (2)(a-b)2
分析:此例是典型的整式求值问题,若按常规
思维把a、b的值分别求出来,非常困难;仔细探究
易把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即:
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab =…
(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=…
3、公式的逆用:
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例7:计算:
分析:本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐,
仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的 右边,
不妨把公式倒过来用可得:==4
总之,在学习完全平方公式时关键是记住公式< br>形式,把握公式特征,运用合理的算法,注重勤练
习,适时积累典例,定能收到良好的效果。


完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识 点重点是对完全平方公式的熟记
及应用.难点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系 数的理解).我在教学完全平方公式后反
思学生中常见错误有:①学生难于跳出原有的定式
思维 ,如典型错误; (错因:在公式的基础上类
推,随意“创造”)②混淆公式与;③运算结果中符号错误;④变式应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析:
一、理解公式左右边特征
(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方
的意 义与多项式的乘法法则得到的),真实体会随意
“创造”的不正确性;
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(二)学会用文字概述公式的含义:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,
加上(或减去)它们的积的2倍.
与 都 叫做完全平方公式.为了区别,我们把
前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差
的完全 平方公式.
(三)这两个公式的结构特征是:
1、左边是两个相同的二项式相乘, 右边是三项
式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这
两项乘积的2倍;
2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”
号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项
时未包括其符号在内);
3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负
数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
(四)两个公式的统一:
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式:两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲:
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1、“察”:计算 时,要先观察题目特点是否符合
公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的条
件的形式,再 利用公式进行计算,若不能变为符合
公式条件的形式,则应运用相应乘法法则进行计算.
2、“导”:正确地选用完全平方公式,关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式.
3、“算”:注意每步的运算依据,即各个环节的
算理。
4、“验”:完成运算后学会检 验,既回过头来再
反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误,
又可通过多项式的乘法法 则进行验算,确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
(一)、变符号:
例1:运用完全平方公式计算:
(1) (2)


分析:本例改变了公式中a、b的符号,处理方
法之一:把 两式分别变形为再用公式计算(反思得:);
方法二:把两式分别变形为:后直接用公式计算;
方法三:把两式分别变形为:后直接用公式计算(此
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法是在把两个公式统一的基础上进行,易于理解不
会混淆);
(二)、变项数:
例2:计算:
分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘,而本例 中出现了三项,故应考虑将其中两
项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所
以在运用公 式时,可先变形为 或 或者 ,再进行计
算.
(三)、变结构
例3:运用公式计算:
(1)(x+y)·(2x+2y);
(2)(a+b)·(-a-b);
(3)(a-b)·(b-a)
分析;本例中 所给的均是二项式乘以二项式,
表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发
现,只要将其 中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)(x+y)·(2x+2y)=2(x+y)?;
(2)(a+b)·(-a-b)= -(a+b)?;
(3)(a-b)·(b-a)=-(a-b)?
(四)、简便运算
例4:计算:(1)9992 (2)100.12
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分析:本例中的9 99接近1000,100.1接近100,
故可化成两个数的和或差,从而运用完全平方公式
计算。即:(1)。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5:计算: (l)(x+y+z)(x+y-z) (2)
(2x-y+3z)(y-3z-2x)
分析:此例是三项式乘以三项式,特点是:有< br>些项相同,另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公 式
计算后,再运用完全平方公式等计算。即:(1)(x+y+z)
(x+y-z)=[(x+ y)+z] [(x+y)-z]=…
(2)(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x
+(y-3z)]=…
2、公式的变形:


熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换
求知值的关键。
例6:已知实数a、b满足(a+b)2=10,ab=1。
求下列各式的值:
(1)a2+b2; (2)(a-b)2
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分析:此例是典型 的整式求值问题,若按常规
思维把a、b的值分别求出来,非常困难;仔细探究
易把这些条件同 完全平方公式结合起来,运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即:
(1)a 2+b2=(a+b)2-2ab=…
(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=…
3、公式的逆用:
例7:计算:
分析:本题若直接运用乘法公式和法 则较繁琐,
仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边,
不妨把公式倒过来用可得:==4
总之,在学习完全平方公式时关键是记住公式
形式,把握公式特征,运用合理的算法,注重 勤练
习,适时积累典例,定能收到良好的效果。


完全平方公 式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记
及应用.难 点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系数的理解).我在教学完全平方公式后反
思 学生中常见错误有:①学生难于跳出原有的定式
思维,如典型错误; (错因:在公式的基础上类
11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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推,随意“创造”)② 混淆公式与;③运算结果中符
号错误;④变式应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践 经验对完全平方公式作如下解析:
一、理解公式左右边特征
(一)学会推导公式( 这两个公式是根据乘方
的意义与多项式的乘法法则得到的),真实体会随意
“创造”的不正确性 ;
(二)学会用文字概述公式的含义:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,
加上(或减去)它们的积的2倍.
与 都 叫做完全平方公式.为了区别,我们把
前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差
的完全 平方公式.
(三)这两个公式的结构特征是:
1、左边是两个相同的二项式相乘, 右边是三项
式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这
两项乘积的2倍;
2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”
号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注:这里说项
时未包括其符号在内);
3、公式 中的字母可以表示具体的数(正数或负
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数),也可以表示单项式或多项式等数学式.
(四)两个公式的统一:
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式:两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防 止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲:
1、 “察”:计算时,要先观察题目特点是否符合
公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的条
件的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合
公式条件的形式,则应运用相应乘法法则进行计算.
2、“导”:正确地选用完全平方公式,关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式.
3、“算”:注意每步的运算依据,即各个环节的
算理。
4、“验”:完成 运算后学会检验,既回过头来再
反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误,
又可通过多 项式的乘法法则进行验算,确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
(一)、变符号:
例1:运用完全平方公式计算:
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(1) (2)


分析:本例改变了公式中a、b的符号,处理方
法之一:把两式分别变形为再用公式计算(反思得:);
方法二:把两式分别变形为:后直接用公式计 算;
方法三:把两式分别变形为:后直接用公式计算(此
法是在把两个公式统一的基础上进行, 易于理解不
会混淆);
(二)、变项数:
例2:计算:
分 析:完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两
项 结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾。所
以在运用公式时,可先变形为 或 或者 ,再进行计
算.
(三)、变结构
例3:运用公式计算:
(1)(x+y)·(2x+2y);
(2)(a+b)·(-a-b);
(3)(a-b)·(b-a)
分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式,
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表面看外观结构不符合 公式特征,但仔细观察易发
现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了,即
(1)(x+y)·(2x+2y)=2(x+y)?;
(2)(a+b)·(-a-b)= -(a+b)?;
(3)(a-b)·(b-a)=-(a-b)?
(四)、简便运算
例4:计算:(1)9992 (2)100.12
分析: 本例中的999接近1000,100.1接近100,
故可化成两个数的和或差,从而运用完全平方公 式
计算。即:(1)。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5:计算: (l)(x+y+z)(x+y-z) (2)
(2x-y+3z)(y-3z-2x)
分析:此例是三项式乘以三项式,特点是:有< br>些项相同,另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公 式
计算后,再运用完全平方公式等计算。即:(1)(x+y+z)
(x+y-z)=[(x+ y)+z] [(x+y)-z]=…
(2)(2x-y+3z)(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x
+(y-3z)]=…
2、公式的变形:
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熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换
求知值的关键。
例6:已知实数a、b满足(a+b)2=10,ab=1。
求下列各式的值:
(1)a2+b2; (2)(a-b)2
分析:此例是典型的整式求值问题,若按常规
思维把a、b的值分别求出来,非常困难;仔细探究
易把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即:
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab =…
(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=…
3、公式的逆用:
例7:计算:
分析:本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐,
仔细分析可发 现其结构恰似完全平方公式的右边,
不妨把公式倒过来用可得:==4
总之,在学习完全 平方公式时关键是记住公式
形式,把握公式特征,运用合理的算法,注重勤练
习,适时积累典例 ,定能收到良好的效果。

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