买入必涨公式解析完全平方公式

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解析完全平方公式

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识点重点是对完全 平方公式的熟记
及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系数的理解)．我 在教学完全平方公式后反
思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式
思维，如典型错误； （错因：在公式的基础上类
推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符
号错误；④变式 应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：
一、理解公式左右边特征
（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方
的意义与多项式的 乘法法则得到的），真实体会随意
“创造”的不正确性；
（二）学会用文字概述公式的含义：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们的积的2倍．
与 都 叫做完全平方公式．为了区别，我们把
前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差
的完全 平方公式．
（三）这两个公式的结构特征是：
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1、左边是两个相 同的二项式相乘，右边是三项
式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这
两项乘积的2倍 ；
2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”
号连接；左边两项符号相反时，右边平 方项用“＋”
号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项
时未包括其符号在内）；
3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负
数），也可以表示单项式或多项式等数学式．
（四）两个公式的统一：
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲：
1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合
公式的条件 ，若不符合，应先变形为符合公式的条
件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合
公式条 件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．
2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式．
3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的
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算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再
反思每步的计算依据和 符号等各方面是否正确无误，
又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
（一）、变符号：
例1：运用完全平方公式计算：
（1） （2）


分析：本例改变了公式中a 、b的符号，处理方
法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；
方法二：把两式分 别变形为：后直接用公式计算；
方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此
法是在把两 个公式统一的基础上进行，易于理解不
会混淆）；
（二）、变项数：
例2：计算：
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘，而本例中出现了三项 ，故应考虑将其中两
项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所
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以在运用公式时，可先变形为 或 或者 ，再进行计
算．
（三）、变结构
例3：运用公式计算：
（1）（x＋y）·（2x＋2y）；
（2）（a＋b）·（－a－b）；
（3）（a－b）·（b－a）
分析；本例中 所给的均是二项式乘以二项式，
表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发
现，只要将其 中一个因式作适当变形就可以了，即
（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；
（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；
（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?
（四）、简便运算
例4：计算：（1）9992 （2）100.12
分析：本例中的999接近1000，1 00.1接近100，
故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式
计算。即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5：计算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）
（2x-y+3z）（y-3z-2x）
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分析：此例是三项 式乘以三项式，特点是：有
些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数 的项分别结合构造成平方差公式
计算后，再运用完全平方公式等计算。即：（1）（x+y+z）
（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=…
（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x
+（y-3z）]=…
2、公式的变形：


熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换
求知值的关键。
例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。
求下列各式的值：
（1）a2+b2； （2）（a－b）2
分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规
思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究
易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即：
（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab =…
（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…
3、公式的逆用：
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例7：计算：
分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，
仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的 右边，
不妨把公式倒过来用可得：==4
总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式< br>形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练
习，适时积累典例，定能收到良好的效果。


完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识 点重点是对完全平方公式的熟记
及应用．难点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系 数的理解)．我在教学完全平方公式后反
思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式
思维 ，如典型错误； （错因：在公式的基础上类
推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：
一、理解公式左右边特征
（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方
的意 义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意
“创造”的不正确性；
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（二）学会用文字概述公式的含义：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们的积的2倍．
与 都 叫做完全平方公式．为了区别，我们把
前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差
的完全 平方公式．
（三）这两个公式的结构特征是：
1、左边是两个相同的二项式相乘， 右边是三项
式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这
两项乘积的2倍；
2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”
号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项
时未包括其符号在内）；
3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负
数），也可以表示单项式或多项式等数学式．
（四）两个公式的统一：
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲：
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1、“察”：计算 时，要先观察题目特点是否符合
公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条
件的形式，再 利用公式进行计算，若不能变为符合
公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．
2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式．
3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的
算理。
4、“验”：完成运算后学会检 验，既回过头来再
反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，
又可通过多项式的乘法法 则进行验算，确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
（一）、变符号：
例1：运用完全平方公式计算：
（1） （2）


分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方
法之一：把 两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；
方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；
方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此
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法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不
会混淆）；
（二）、变项数：
例2：计算：
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘，而本例 中出现了三项，故应考虑将其中两
项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所
以在运用公 式时，可先变形为 或 或者 ，再进行计
算．
（三）、变结构
例3：运用公式计算：
（1）（x＋y）·（2x＋2y）；
（2）（a＋b）·（－a－b）；
（3）（a－b）·（b－a）
分析；本例中 所给的均是二项式乘以二项式，
表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发
现，只要将其 中一个因式作适当变形就可以了，即
（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；
（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；
（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?
（四）、简便运算
例4：计算：（1）9992 （2）100.12
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分析：本例中的9 99接近1000，100.1接近100，
故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式
计算。即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5：计算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）
（2x-y+3z）（y-3z-2x）
分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有< br>些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公 式
计算后，再运用完全平方公式等计算。即：（1）（x+y+z）
（x+y-z）=[（x+ y）+z] [（x+y）-z]=…
（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x
+（y-3z）]=…
2、公式的变形：


熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换
求知值的关键。
例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。
求下列各式的值：
（1）a2+b2； （2）（a－b）2
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分析：此例是典型 的整式求值问题，若按常规
思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究
易把这些条件同 完全平方公式结合起来，运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即：
（1）a 2＋b2=（a＋b）2－2ab=…
（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…
3、公式的逆用：
例7：计算：
分析：本题若直接运用乘法公式和法 则较繁琐，
仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，
不妨把公式倒过来用可得：==4
总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式
形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重 勤练
习，适时积累典例，定能收到良好的效果。


完全平方公 式是进行代数运算与变形的重要的
知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记
及应用．难 点是对公式特征的理解 (如对公式中积
的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反
思 学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式
思维，如典型错误； （错因：在公式的基础上类
11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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推，随意“创造”）② 混淆公式与；③运算结果中符
号错误；④变式应用难于掌握。现我结合教授完全
平方公式的实践 经验对完全平方公式作如下解析：
一、理解公式左右边特征
（一）学会推导公式（ 这两个公式是根据乘方
的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意
“创造”的不正确性 ；
（二）学会用文字概述公式的含义：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们的积的2倍．
与 都 叫做完全平方公式．为了区别，我们把
前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差
的完全 平方公式．
（三）这两个公式的结构特征是：
1、左边是两个相同的二项式相乘， 右边是三项
式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这
两项乘积的2倍；
2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”
号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项
时未包括其符号在内）；
3、公式 中的字母可以表示具体的数（正数或负
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数），也可以表示单项式或多项式等数学式．
（四）两个公式的统一：
因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数
和的完全平方公式。这样可以既可以防 止公式的混
淆又杜绝了运算符号的出错。
二、把握运用公式四步曲：
1、 “察”：计算时，要先观察题目特点是否符合
公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条
件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合
公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．
2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确
定式子中a、b分别表示什么数或式．
3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的
算理。
4、“验”：完成 运算后学会检验，既回过头来再
反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，
又可通过多 项式的乘法法则进行验算，确保万无一
失。
三、掌握运用公式常规四变
（一）、变符号：
例1：运用完全平方公式计算：
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（1） （2）


分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方
法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；
方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计 算；
方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此
法是在把两个公式统一的基础上进行， 易于理解不
会混淆）；
（二）、变项数：
例2：计算：
分 析：完全平方公式的左边是两个相同的二项
式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两
项 结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所
以在运用公式时，可先变形为 或 或者 ，再进行计
算．
（三）、变结构
例3：运用公式计算：
（1）（x＋y）·（2x＋2y）；
（2）（a＋b）·（－a－b）；
（3）（a－b）·（b－a）
分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，
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表面看外观结构不符合 公式特征，但仔细观察易发
现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即
（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；
（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；
（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?
（四）、简便运算
例4：计算：（1）9992 （2）100.12
分析： 本例中的999接近1000，100.1接近100，
故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公 式
计算。即：（1）。
四、学会公式运用中三拓展
1、公式的混用
例5：计算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）
（2x-y+3z）（y-3z-2x）
分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有< br>些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同
的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公 式
计算后，再运用完全平方公式等计算。即：（1）（x+y+z）
（x+y-z）=[（x+ y）+z] [（x+y）-z]=…
（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x
+（y-3z）]=…
2、公式的变形：
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熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换
求知值的关键。
例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。
求下列各式的值：
（1）a2+b2； （2）（a－b）2
分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规
思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究
易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全
平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。即：
（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab =…
（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…
3、公式的逆用：
例7：计算：
分析：本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，
仔细分析可发 现其结构恰似完全平方公式的右边，
不妨把公式倒过来用可得：==4
总之，在学习完全 平方公式时关键是记住公式
形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练
习，适时积累典例 ，定能收到良好的效果。

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