楼梯面积计算公式完全平方公式教学设计13-人教版〔优秀篇〕

8．3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式

1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)
2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)

一、情境导入
计算：
(1)(x＋1)
2;
(2)(x－1)
2
；
(3)(a＋b)
2;
(4)(a－b)
2
.
由上述计算，你发现了什么结论
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)
2
；
(2)(－3m－4n)
2
；
(3)(－3a＋b)
2
.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)
2
＝25－10a＋a
2
；
(2) (－3m－4n)
2
＝9m
2
＋24mn＋16n
2
； < br>(3)(－3a＋b)
2
＝9a
2
－6ab＋b
2
.
方法总结：完全平方公式：(a±b)
2
＝a
2
±2ab＋b
2
.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中
间放”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
【类型二】 构造完全平方式
如果36x
2
＋(m＋1)xy＋25y
2
是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2
＋(m＋1)xy＋25y
2
＝(6x)
2
＋(m＋1)xy ＋(5y)
2
，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1
＝±60，∴m＝5 9或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积< br>的2倍的符号，避免漏解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算：
(1)99
2;
(2)102
2
.
解析：(1)把9 9写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分
成100＋2，然 后根据完全平方公式计算．
解：(1)99
2
＝(100－1)
2
＝100
2
－2×100＋1
2
＝10000－200＋1＝9801； < br>(2)102
2
＝(100＋2)
2
＝100
2
＋2 ×100×2＋4＝10404.
方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成 整十或整百的数与
另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题
【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值
若(x＋y)
2
＝9，且(x－y)
2
＝1.
11
(1)求
2
＋
2
的值；
xy
(2)求(x
2
＋1)(y
2
＋1)的值．
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答
案． 解：(1)∵(x＋y)
2
＝9，(x－y)
2
＝1，∴x
2< br>＋2xy＋y
2
＝9，x
2
－2xy＋y
2
＝1，4 xy＝9－1＝8，
2
511
x
2
＋y
2
（x＋y ）
2
－2xy
9－2×
∴xy＝2，∴
2
＋
2＝
22
＝＝＝；
xyxyx
2
y
2
2
2
4
(2)∵(x＋y)
2
＝9，xy＝2，∴(x
2
＋ 1)(y
2
＋1)＝x
2
y
2
＋y
2
＋x
2
＋1＝x
2
y
2
＋(x＋y)
2
－2x y＋1＝2
2
＋9－2×2＋1＝10.
方法总结：所求的展开式中都含有xy或x ＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到
需要求值的代数式中，整体求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型五】 完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来 解释
一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)
2
－(a－b)
2< br>＝4ab.那么通过图乙面积的计算，
验证了一个恒等式，此等式是( )

A．a
2
－b
2
＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a
2
＋ab－2b
2

C．(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2

D．(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2

解析：空白部分的面积为(a－b)
2
，还可以表示为a
2
－2ab＋b< br>2
，所以，此等式是(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2
.故选C.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋ b)
n
(n为正整数)
展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)< br>6
展开式中所缺的系数．

(a＋b)
1
＝a＋b，
(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
，
(a＋b)
3
＝a
3
＋3a
2
b＋3ab
2
＋b
3
，
则(a＋b)
6
＝a
6
＋6a
5
b＋15a
4
b
2
＋________a
3
b
3
＋15a
2
b
4
＋6ab
5
＋b
6
.
解析：由(a＋b)
1
＝a＋b，(a＋b)
2
＝ a
2
＋2ab＋b
2
，(a＋b)
3
＝a
3
＋3a
2
b＋3ab
2
＋b
3
可得(a＋
－b)
n
的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)
n
1
的相邻两个系
数的和，由此可得(a＋b)
4
的各项系数依次为 1、4、6、4、1；(a＋b)
5
的各项系数依次为1、
5、10、10、5、1； 因此(a＋b)
6
的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.
方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
1．完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋ b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
；(a－b)
2＝a
2
－2ab＋b
2
.
2．完全平方公式的运用

本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意
不要 出现如下错误：(a＋b)
2
＝a
2
＋b
2
，(a－b)< br>2
＝a
2
－b
2
.为帮助学生记忆完全平方公式，可采
用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化
学生对完全 平方公式的理解记忆