向心力公式的推导8.3完全平方公式

8.3 完全平方公式与平方差公式
(第一课时)
教学目标
知识与技能目标
1.完全平方公式的推导及其应用。
2.完全平方公式的几何解释。
过程与方法目标
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力。
2.重视学生对算理的理解,有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
情感、态度与价值观目标
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创新能力和探索精神。

教学重难点
教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释及灵活应用。
教学难点:理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。

教学过程
一、创设情境,导入新知
【问题1】我校有一个边长为a的正方形广场, 现要扩建该广场,要求将其边长增加b,试
问扩建后这个正方形广场的面积有多大?
要求:(1)分别写出每一块的面积;
(2)用不同的形式表示广场的总面积,并进行比较。
④
分析:
(1)四块面积分别为: a
2
、 ab 、 b
2
、 ab ；
(2)两种形式表示广场的总面积:
2
整体看:边长为a+b的大正方形,S=(a+b);
22
①
部分看:四块面积的和,S=a+2ab+b。
222
由面积相等法可得结论:(a+b)=a+2ab+b。

a
【问题2】如果将该正方形广场的边长缩减b,
则其边长又为多少？面积呢？
分析:边长为a-b。
2
整体看,广场总面积为(a-b)；
22
部分看,广场总面积为a-2ab+b.
222
由面积相等法可得结论:(a-b)=a-2ab+b

222222
【问题3】你能 用多项式乘多项式法则说明(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b吗？

b







a
③
②
b

1
二、探索新知,得出结论
222222
【问题4】观察(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b。
(1) 式子的左边具有什么共同特征？
(2) 式子的右边具有什么共同特征？
分析:
公式
222
(a+b)=a+2ab+b
222
(a-b)=a-2ab+b
相同点
左边 右边
都是三项式,包括左边两
项的平方和,另一项是前面两
项的乘积的两倍。
两项乘积两倍前面的符号不
同
都是二项式的平方
不同点

两项式中间的运算符号不同
【问题5】你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
完全 平方公式:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘
积的2倍。
222222
完全平方公式:(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b。
口诀:首尾平方和,乘积两倍放中间,中间符号同左边。

三、学以致用
(一)例题讲解,公式应用
例1 下列计算是否正确？如何改正？
222
(1)(a+b)=a+b;
222
(2)(a-b)=a-b;
222
(3)(a+2b)=a+2ab+2b
分析:
(1) 没有加上两数乘积的两倍。
(2) 一是:首尾平方和写成了首尾平方差;二是:没有减去两数乘积两倍。
(3) 一是:两数乘积没有乘 以2;二是:第二项的单项式是两个数的乘积,应是一个整体,
要用括号括起来,再利用积的乘方法则来 计算。

例2 利用完全平方公式计算:
22
(1)(2x+y); (2)(3a-2b).
22
分析:在第(1)题中的两项是:2x、y。首平方为(2x) ,尾平方为y,乘积两倍为2·2x·y。
22222
即 (2x+y)=(2x)+2·2x·y + y=4x+4xy+y
22
在第(2)题中的两项是:3a,2b。首平方为(3a),尾平方为(2b),乘积两倍为2·3a·(2b)
22222
即 (3a-2b)=(3a)-2·3a·(2b)+(2b)=9a-12ab+4b

222
解:(1) (2x+y)=(2x)+2·2x·y + y
22
=4x+4xy+y

(3a-2b)=(3a)-2 ·3a·(2b)+(2b)
22
=9a-12ab+4b

222
2
例3 用完全平方公式计算:
22 3
(1)99 (2)(a+b+c) (3)(a-b)
22
解:(1)99=(100-1)
22
=100-2×100×1+1
=9801

22
(2)(a+b+c)=[(a+b)+c]
22
=(a+b)+2(a+b)c+c
222
=a+2ab+b+2ac+2bc+c

(3)(a-b)=(a-b)(a-b)
22
=( a-2ab+b)(a-b)
3322
=a-b+3ab-3ab

(二)学生小试牛刀
1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x+
32
y
22
) (2)(-2x+3y)
2

(三)巩固提升,形成能力
22
1.若使x-6x+m成为形如(x-a)的完全平方式,则m,a的值为( B )
A.m=9,a=9 B.m=9,a=3 C.m=3,a=3 D.m=-3,a=-2
2222
[分析] x-6x+m=(x-a)=x-2ax+a
故而 -2a=-6,a=3
22
m=a=3=9

22
2.已知x-y=9,xy=5,求x+y的值。
222
解: (x-y)=x-2xy+y
222
x+y=(x-y)+2xy
222
x+ y=9+2×5=91

四、画龙点睛,完善认知
1.完全平方公式:
两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍。
222222
公式: (a+b)=a+2ab+b,(a-b) = a-2ab+b
2.方法总结:观察、猜想、归纳等学习方法。
3.思想提炼:一般化与特殊化思想、数形结合的思想。

五、课堂作业
课后必做题 课本71页 习题8.3 第1题

课后选做题
222
1.若(x-y)+M=x+xy+y,则M为( )
B.0 C.2xy D.3xy

3
2.若x+y=2,x+y=4,求10xy的值。

22
3.如果x+axy+y是完全平方式,则a的值为

课后思考:
222 222
由这两个完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,(a-b)=a-2ab+b,你可以变形 得到那些等量
关系。

六、课后反思


七、板书设计
22
完全平方公式

222
完全平方公式: (a+b)=a+2ab+b
222
(a-b)=a-2ab+b

4