李雨青选股公式七年级数学下册 第一章 整式的乘除 6 完全平方公式教案 (新版)北师大版

1.6 完全平方公式 （第1课时）
一、教学目标
(一)知识目标
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力目标
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感目标
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
二、教学重难点
(一)教学重难点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
(二)教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
三、教学方法
引导学生从面积入手发现并猜测完全平方公式，通过合作探索讨论用所学的知识 对公式进
行验证.
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去 年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为
a
米的正方形农
田改 成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活
动，使老农铁了心 ，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加
b
米，形成
四块试验田， 种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
(学生思考面积的表示方法)
法一：改造后的试验田变成了边长为(
a
+
b
)的大正方形，因此， 试验田的总面积应为(
a
+
b
).
法二：也可以把试验田的总面积 看成四部分的面积和即边长为
a
的正方形面积，边长为
b
的
正方形的 面积和两块长和宽分别为
a
和
b
的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为
2
a
2
+2
ab
+
b
2
.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什
么？ < br>［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab< br>+
b
2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完 全平方公式(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
.其实，据有关
资料表明，古埃及、古巴比 伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.
我们姑且把这种方法看作对完全平方公式 的一个几何解释.能不能从代表运算的角度利用多
项式的乘法运算推导出这样的公式呢？
想一想：
(1)(
a
+
b
)
2
等于什么 ？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
用多项式乘法法则可得
(
a
+
b
)
2
= (
a
+
b
)(
a
+
b
)=
a(
a
+
b
)+
b
(
a
+
b< br>)
=
a
2
+
ab
+
ab
+
b
2

=
a
2
+2
ab
+
b
2

所以(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
［师］你能用语言描述这个公式吗？
( 引导学生用语言描述公式，学生齐读 )
两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍.
(2)(
a
－
b
)等于什么？你是怎样想的.
(学生讨论，探索结论，学生自己回答解决方法)
(学生很容易模仿上面的方法用多项式乘法 来解决，老师可以适当的引导学生利用刚才验证
的公式来解决整个问题，寻求一个问题的多种解法) < br>法一：(
a
－
b
)
2
=(
a
－b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
a b
－
ba
+
b
2
=
a
2
－2ab
+
b
2
.
法二：因(
a
+
b< br>)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
中的
a
、
b
可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－
b
”代替公
式中的“
b
”，利用上面的公式就可以得到(
a
－
b
)
2
=［
a
+(－
b
)］
2
.
［师生共析］
(
a
－
b
)=［
a< br>+(－
b
)］=
a
+2·
a
·(－
b
)+(－
b
)=
a
－2
ab
+
b
. < br>于是，我们得到又一个公式：(
a
－
b
)=
a
－2< br>ab
+
b

［师］你能用语言描述这个公式吗？
(学生模仿上面公式的描述试着自己描述，请学生回答)
两个数的差的平方等于这两个数的平方和减去它们积的2倍.
2.应用、升华
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2
x
－3)
2
； (2) (4
x
+5
y
)
2
； (3) (
mn
－
a
)
2
.
分析：利用完全平方公式计算 ，第一步先选择公式；第二步，明确谁是
a
，谁是
b
，准确代
入公式 ；第三步化简.
Ⅲ、随堂练习
计算：
(1)(
x
－2
y
)；(2)(2
xy
+
x
)；(3)(
n
+1) －
n
.
(学生演板，互相批改)
解：(1)(
x
－2< br>y
)
2
=(
x
)
2
－2·
x
·2
y
+(2
y
)
2
=
x
2
－ 2
xy
+4
y
2

(2)(2
xy
+x
)=(2
xy
)+2·2
xy
·
x
+(x
)=4
xy
+
xy
+
(3)方法一：(
n< br>+1)－
n
=
n
+2
n
+1－
n
= 2
n
+1.
方法二：(
n
+1)－
n
=［(n
+1)+
n
］［(
n
+1)－
n
］=2n
+1.
Ⅳ、课后作业




22< br>2222
222
222222
2
1
2
2
1< br>5
222
1
2
1
2
1
2
1
4
1
5
22
1
5
1
5
222
4< br>5
2
1
25
x
2


1.6 完全平方公式（第2课时）
教学目标：
1、知识与技能：体会公式的发现和推导过程，了解 公式的几何背景，理解公式的本质，会
应用公式进行简单的计算.
2、过程与方法：通过让学 生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、
概括、猜想等探究创新能力，发展推理能 力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力.
3、情感态度价值观：体验数学活动充满着探索性 和创造性，并在数学活动中获得成功的体
验与喜悦，树立学习自信心.
教学重点：
1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言)、几何解释.
2、会运用公式进行简单的计算.
教学难点：
1、完全平方公式的推导及其几何解释.
2、完全平方公式的结构特点及其应用.
教学过程：
一、复习旧知、引入新知
问题1：请说出平方差公式，说说它的结构特点.
问题2：平方差公式是如何推导出来的？
问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明.
问题4：想一想、做一做，说出下列各式的结果.
(1)(
a
+
b
)
2
(2)(
a
-
b
)
2
(此时，教师可让学生分别 说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习
兴趣.)
二、创设问题情境、探究新知
一块边长为
a
米的正方形实验田，因需要将其 边长增加
b
米，形成四块实验田，以种植不同
的新品种.(如图)

(1)四块面积分别为： 、 、 、 ；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为 的大正方形，
S
= ；
②部分看：四块面积的和，
S
= .
总结：通过以上探索你发现了什么？
问题1：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题4正确的结果是什么了吧？
问题 2：如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索.(
a
+
b
)
2
表示的意
义是什么？请你用多项式的乘法法则加以验证.
(教学 过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验证才能得出
真知，但还是要鼓励 学生大胆猜想，发表见解，但要验证)
问题3：你能说说(
a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b
222
这个等式的结构特点吗？用自己的语言叙述.
(结构特点：右边是二项式(两数和)的平方， 右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积
的二倍)
问题4：你能根据以上等式的结构特点 说出(
a
-
b
)等于什么吗？请你再用多项式的乘法法则
加以验证.

2
总结：我们把(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
(
a< br>–
b
)
2
=
a
2
–2
ab
+
b
2
称为完全平方公式.
问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
语言描述：两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍.
强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减.
三、例题讲解，巩固新知
例1：利用完全平方公式计算
(1)(2
x
－3)
2
(2)(4
x
+5
y
)
2
(3)(
mn
－
a
)
2

解：(2
x
－3) =(2
x
) －2·(2
x
)·3＋3
= 4
x
2
－12
x
＋9
(4
x
+5
y
) =(4
x
) ＋2·(4
x
)·(5
y
)＋(5
y
)
= 16
x
＋40
xy
＋25
y


22
222
222
(
mn
－
a
)
2
=(
mn
)
2
－2·(
mn
)·
a
＋
a
2

=
m
2

n
2
－ 2
mna
＋
a
2

交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤
(1)确定首、尾，分别平方；
(2)确定中间系数与符号，得到结果.
四、练习巩固
练习1：利用完全平方公式计算
①
(2x?3y)
②
(2x?3y)
③ (-2
t
-1)
2
22
练习2：利用完全平方公式计算
(1)(
n
＋1)
2
－
n
2
(2)
?
ab?3x
??
?3x?ab
?

2练习3：求
?
x?y
??
x?y
?
?
?
x?y
?
的值，其中
x?5,y?2

(练习可采用多种形式，学 生上黑板板演，师生共同评价.也可学生独立完成后，学生互相
批改，力求使学生对公式完全掌握，如有 学生出现问题，学生、教师应及时帮助.)
五、变式练习
1、下列计算是否正确？如不正确如何改正？
①
(a?b)?a?b
②
(a?b)?a?b
③
(a?2b)?a?2ab?2b

2、选择
(1)代数式2
xy
-
x
-
y
=( )
A、(
x
-
y
)
2
B、(-
x
-
y
)
2
C、(
y
-
x
)
2
D、-(
x
-
y
)
2

(2)
(?a?b)
等于( )
A．
a
2
?b
2
B．
a
2
?2ab?b
2
C．
a
2
?b
2
D．
a
2
?2ab?b
2

(3)若
a?ab?b?A?(a?b)
，那么A等于( )
A．
?3ab
B．
?ab
C．0 D．
ab

六、畅谈收获，归纳总结
1、本节课我们学习了乘法的完全平方公式.
2、我们在运用公式时，要注意以下几点：
(1)公式中的字母
a
、
b
可以是任意代数式；
(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号；
(3)可能出现①
(a?b)?a?b
②
(a?b)?a?b
这样的错误.也不要与平方差公式
混在一起.
七、作业设置

222222
222
2
22
222222222