解二元一次方程组的方法-函数公式大全
第7节 向心力
要点一 向心力的理解
1．大小
v
(1)Fn＝mωr＝m＝mωv，这三个公式适用于所有圆周运动，但在变速圆周运动中，ω、
r2
2
v是变化的，所以求某一点的向心力时，v、ω都是那一点的瞬时值．
2π 2π
2
(2)因为ω＝＝2πf＝2πn(其中各物理量都采用国际单位)，所以Fn＝m() r＝
TT
m(2πf)r＝m(2πn)r.
2．方向
总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力．
3．作用效果
向心力总是 指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所
以向心力的作用效果只是改变 物体速度的方向，而不改变速度的大小．
4．向心力的来源
向心力是做圆周运动的物体受到 的沿着半径指向圆心的力，它可以由某一个力单独承
担，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合 外力在沿半径指向圆心方向上的分量．例
如随盘一起转动的物体受到的向心力就是物体受到的盘给予的静 摩擦力；卫星绕地球做匀速
圆周运动的向心力就是地球对卫星的万有引力(暂且理解为物体受到的重力) ；小球在细线的
约束下，在竖直面内做圆周运动，某时刻小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方 向
的分量的合力．
总之，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它是根 据力的作用
效果来命名的．
要点二 对匀速圆周运动的再认识
1．运动特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变．
(2)角速度、周期、频率都恒定不变．
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变．
(4)匀速圆周运动具有周 期性，即每经过一个周期，运动物体都要重新回到原来的位置，
其运动状态(如v、a的大小、方向)也 要重复原来的情况．
2．受力特点
(1)合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
(2)匀速圆周运动只存在 向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．(F
合
＝F
向
)
3．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
(1)从曲线运动的条件可知，变速圆周运动所受的 合外力与速度方向一定不垂直，当速
率增大时，物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减 小时，物体受到的合外
力与速度之间的夹角是钝角．
22
用心 爱心 专心
1
图5－7－5
例如：用一细线系一小球 在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位
置A和向上减速运动过程的某一位置B，小 球的受力情况如图5－7－5所示．比较可见，匀
速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是：
匀速圆周运动：合外力全部用来提供向心力，即F
合
＝F
向．
变速 圆周运动：合外力沿着半径方向的分量提供向心力，合外力不指向圆心，一般F
合
≠F
向．
(2)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，
解决变速圆周运动，除了依据上述规律还需要用到后面章节将要学习的功能关系等．
4．分析匀速圆周运动的思路和方法
(1)指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向 心力．而物体所受外力的合力充
当向心力，这是处理该类问题的理论基础．解决方法就是解决动力学问题 的一般方法．
(2)一般步骤
①明确研究对象并对其受力分析．
②明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置，进一步求出物体所受的合力或向心力．
③由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程．
④求解或分析讨论．
要点三 一般曲线运动的处理方法
1．运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动．
图5－7－6
如图5－7－6所示，质量为m的质点的运动轨迹是一条曲线，我们 可以采用圆周运动的
分析方法来研究质点经过曲线上某位置的运动规律．
设质点经过A、B两 点时速度分别为v
1
、v
2
，所受合外力分别为F
1
、F< br>2
，A、B两点所在
圆弧的曲率中心分别为O
1
、O
2
，曲率半径分别为r
1
、r
2
，θ
1
、θ
2分别为F
1
、F
2
与O
1
A、O
2
B
的夹角，则根据圆周运动的分析方法我们
v
1
v
2
可得F
1
cos θ
1
＝m，F
2
cos θ
2
＝m.
r
1
r
2
2．处理的方法
(1)将曲线可分割成许多极短 的小段，每一小段曲线都可看作一小段圆弧，但这些圆弧
的弯曲程度通常是不一样的，所以我们用r1
、r
2
分别表示A、B两点处的曲率半径，反映圆
弧的弯曲程度． < br>(2)将力F
1
、F
2
沿曲线切向和法向进行分解，F
1、F
2
沿曲线切线方向的分力使物体产生
切线方向的加速度，使质点加速或减速． 如图中质点经过A点时减速，而经过B点时加速；
用心 爱心 专心
2
22
沿
v
2
法向的分力使物体产生向心加速度，再运 用F
向
＝m＝mωr进行求解.
r
2
1.向心力公 式Fn＝m
v2v2
＝mω2r和向心加速度公式an＝＝ω2r是由匀速圆周运动中
rr
22
得出的，在变速圆周运动中能适用吗？若能适用，应注意什么问题？
vv< br>2
变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an＝、an＝rω和Fn＝m、
rr
Fn＝mrω公式求解．因为在运动中，v、ω、Fn的大小在变化，所以在运用公式时，四个< br>物理量必须是同一位置的瞬时值．
2．在圆周运动和一般曲线运动中，力对于速度的改变是如何 作用的？在这种情况下，
如何进行力的运算？
(1)根据变速直线运动的知识，当物体所受外 力的方向跟运动方向相同时，物体做加速
直线运动；当外力的方向跟运动方向相反时，物体做减速直线运 动．即当物体所受的外力方
向跟运动方向在同一直线上时，外力只改变速度大小而不改变速度方向． < br>(2)根据匀速圆周运动的知识，做匀速圆周运动的物体所受的向心力只改变了物体速度
的方向( 其速度大小不变)，而向心力总跟速度方向垂直，由此推知，如果物体所受的外力跟
速度方向垂直，外力 只改变速度的方向而不改变速度的大小．变速圆周运动的物体所受的合
外力不指向圆心，它的一个分力沿 切向，来改变物体运动的速度大小，另一个分力指向圆心，
只改变速度的方向，来充当向心力．
(3)如果物体所受的外力既不跟速度方向垂直，也不跟速度方向在同一直线上，该外力
不仅改变速度 大小，也改变速度方向．对于这种情况，我们可以把物体所受的外力分解为垂
直于速度方向的分力Fn和 跟速度方向在同一直线上的分力Ft，其中Fn只改变速度的方向，
Ft
只改变速度的大小.
2
一、向心力的理解
例1 如图5－7－7所示，
图5－7－7
一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为 圆心做
圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
用心 爱心 专心
3
解析 对小球受力分析如右图所示，
小球受重力和绳子拉力作用，向 心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合
力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力 的合力，正确选项为C、D.
答案 CD
方法总结
向心力是按效果命 名的．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，
它就是物体所受的向心力.
二、对向心力公式的运用
例2 如图5－7－8所示，
图5－7－8
有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知
小球与半 球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周
运动的速度及碗壁对小 球的弹力．
解析 根据小球做圆周运动的轨迹找圆心，定半径，由题中图可知，
圆心为O′，运动半径为r＝Rsin θ，小球受重力G及碗对小球弹力FN的作用，向心
力为弹力的水平分力，受力分析如右图所示．
v
由向心力公式F＝m得
r
v
FNsin θ＝m①
Rsin θ
竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即FNcos θ＝mg，
解得FN＝
mg
②
cos θ
2
2
联立①②两式，可解得物体做匀速圆周运动的速度为
v＝Rgsin θtan θ
用心 爱心 专心
4
答案 Rgsin θtan θ
mg
cos θ
方法总结
采用动 力学的方法，明确圆周运动物体的运动情况和受力情况，明确F
向
的来源，运用
v2
F
向
＝m＝mωr列方程求解.
r
三、圆周运动临界问题的分析
例3 如图5－7－9所示，
2
图5－7－9
水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴 的绳刚
好被拉直(绳中张力为零)．物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍．求：
(1)当转盘的角速度为ω
1
＝
(2)当转盘的角速度为ω
2
＝
kg
时，绳中的张力多大？
2r
3kg
时，绳中的张力又多大？
2r
解析 (1)当转盘转速 较小时，物块做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，当转盘转速
较大时，绳中出现张力．由两力的合力提 供向心力．
设静摩擦力达到最大，绳中刚开始出现张力时的角速度为ω
0
，则
kmg＝mω
0
r，ω
0
＝
2
kg
< br>r
因为ω
1
<ω
0
，所以此时绳中的张力F
1
＝0
(2)因为ω
2
＝
2
3kg
2
>ω0
，所以绳中出现张力，由kmg＋F
2
＝mω
2
r得
2r
3kg
2
1
)·r－kmg＝kmg
2r2
F
2
＝mω
2
r－kmg＝m(
kmg
答案 (1)0 (2)
2
方法总结
与弹力、摩擦力相关的临界问题，令运动物体达到极限状态，从而找出临界条件，然后
再对问题做出判断.
1.关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
用心 爱心 专心
5
答案 B
2.
图5－7－10
洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，如图5－7－10所示，则此时( )
A．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而减小
D．筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大
答案 A
2
解析 由受力分析知，充当向心力的是筒壁对物体的弹力FN.由FN＝ m(2πn)r，知n
增大，则FN增大；而竖直方向上，mg＝F
摩
，故F
摩
不随转速n变化，故A项正确．
3．用材料和粗细相同、长短不同的两段绳子，各拴一个质 量相同的小球在光滑水平面
上做匀速圆周运动，那么( )
A．两个球以相同的线速度运动时，长绳易断
B．两个球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两个球以相同的角速度运动时，短绳易断
D．不管怎样，都是短绳易断
答案 B
v
2
解析 绳子对物体的拉力FT充当向心力．由FT＝m＝mωr分析，得知B项正确．
r
4．一质量 为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程
度不同，由于摩擦力的作用， 物块的运动速率恰好保持不变，则( )
A．物块的加速度为零
B．物块所受合力为零
C．物块所受合力大小一定，方向改变
D．物块所受合力大小、方向均一定
答案 C
v
解析 物块在做匀速圆周运动，由F
合
＝F
向
＝m， 知F
合
大小不变，方向指向圆心，故
r
v
C项正确．a
向< br>＝≠0，故A项错．
r
5．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆 周运动，空气对飞机作
用力的大小等于( )
A．m
C．m
v
g＋
R
2
2
2
2
2
2
v
B．m
R
2
v
R
2
2
－g D．mg
2
答案 A
解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向 的作用力使飞机克服重力
作用而升空；其二：水平方向的作用力提供给飞机一个向心力，使飞机可在水平 面内做匀速
用心 爱心 专心
6
圆周运动．
首先对飞机在水平面内的受力情况进行分析，
其受力情况如右图所示．飞机受到重 力mg、空气对飞机的作用F，两力的合力为F
向
，
方向沿水平方向指向圆心．由题意 可知，重力mg与F
向
垂直，故F＝
v
＝m代入上式，则F＝m
R
2
mg
2
＋F
向
，又F
向
2
v< br>g＋
R
2
2
2
.
6．一根长0.5 m的绳，当受到4.9 N的拉力时会被拉断．在绳的一端拴上质量为0.4 kg
的小球，使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，求拉断绳子时的角速度．
答案 4.95 rads
解析 由题意可知小球受力如右图所示，
其中重力和弹力是 一对平衡力，绳子的拉力指向圆心，提供小球做匀速圆周运动的向心
力．设绳被拉断时的角速度为ω，则 有
2
F
向
＝F＝mωr
所以ω＝
F
＝
mr
4.9
rads＝4.95 rads
0.4×0.5
7.如图5－7－11所示，
图5－7－11
在光滑杆上穿着两个小球 m
1
、m
2
，且m
1
＝2m
2
，用细线把 两球连起来，当盘架匀速转动时，
两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r
1
与r
2
之比为多少？
答案 1∶2
解析 两小球绕共同圆心 做圆周运动，它们的拉力互为向心力，角速度相同．设两球所
22
需向心力大小为F
向
，角速度为ω，则对球m
1
来说，F
向
＝m
1
r< br>1
ω，对球m
2
来说F
向
＝m
2
r
2
ω，
所以r
1
∶r
2
＝m
2
∶m
1
＝1∶2.
题型 ① 向心力的来源问题
用心 爱心 专心
7
如图1所示，
图1
有一个 水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关
于小强的受力下列说法正 确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
答案 C
解析 由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，
而重力和支持力在竖直方向 上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向
心力，A、B错误，C正确；由于小强随 圆盘转动，半径不变，当圆盘角速度变小时，由F＝
2
mrω可知，所需向心力变小，故D错误 ．
拓展探究 (1)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆
心？
(2)如果 小强在P点相对于圆盘竖直跳起，再次落在圆盘上后仍随圆盘转动(圆盘转速保
持不变)，小强的受力情 况是否发生变化？
答案 (1)不指向圆心 (2)所受摩擦力变大
解析 (1)由于小强 的运动在水平面内，小强在竖直方向上受力必平衡，此时摩擦力充
当向心力，当小强随圆盘一起做变速圆 周运动时，合力不再指向圆心，则摩擦力不再指向圆
心．
(2)由于小强随圆盘转动，他的速 度方向为圆轨道的切线方向，当跳起后沿切线方向有
一分运动，再次落在圆盘上后半径变大，因此所需向 心力变大，由此可知，小强所受摩擦力
变大．
归纳总结
1．向心力是效果力，无论 什么性质的力，或几个力的合力，或某一个力等，凡是产生
向心加速度的力，都是向心力．
v 4π
2．Fn＝mωr(＝m＝m
2
r)是一对“供”、“需”矛盾的统一．“Fn” 是物体所受外
rT
2
22
力的合力为“供”，mωr是物体绕半径r以角速度 ω做匀速圆周运动所需要的向心力为
“需”．当“供”、“需”相等时，物体就做匀速圆周运动，当“供 ”、“需”不相等时，
物体原来的匀速圆周运动就会被破坏.
题型 ② 圆周运动的一般动力学问题
有一种叫“飞椅”的游乐项目，
2
用心 爱心 专心
8
图2
示意图如图2所示，长为L的钢绳一端系着座 椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边
缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速 转动时，钢绳与转轴在同
一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度 ω与夹角
θ的关系．
答案 ω＝
gtan θ
r＋Lsin θ
2
解析 对小球受力分析，由向心力公式F＝mωr得
2
mgtan θ＝mω(r＋Lsin θ)
则ω＝
gtan θ
.
r＋Lsin θ
拓展探究 如图3所示，
图3
链球运动员在将链球掷出手之前，总要双手拉着链条，加速转动几周，这样可使链球的
速度尽量增大， 抛掷出手后飞行得更远．在运动员加速转动过程中，能发现他手中链球的链
条与竖直方向的夹角θ将随着 链球转速增大而增大，试通过分析计算说明：为什么θ角随
链球转速增大而增大？
答案 见解析
解析 对小球受力分析，如右图所示．
设绳长为l，则圆周半径r＝lsin θ
F
向
＝mgtan θ①
22
又F
向
＝mωr＝m(2πn)·lsin θ②
g
2
由①②得n＝
2
4πlcos θ
所以n增大时，cos θ应减小，则θ增大．
归纳总结
用向心力公式解题的应用步骤
(1)四确定：确定研究对象、确定轨道平面、确定圆心位置、 确定向心力的方向(确定轨
道平面和圆心位置是难点)．
(2)受力分析(不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，明确F
向
的来源．
(3)用合成法或正交分解法去求F
向．
用心 爱心 专心
9
v2π
22
(4)联立F
向
＝mωr＝m＝m( )r＝m(2πn)r相应公式进行求解.
rT
2
2
题型 ③ 圆周运动的临界问题
如图4所示，
图4
细绳一端系着质量为M＝0.6 kg的物体，静止在水平盘面上，另一端通过光滑小孔吊着
质量m＝0.3 kg的物体，M的中心与小孔距离为0.2 m，并知M和水平盘面的最大静摩擦力
为2 N．现使此水平盘绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10
2
ms)
答案 2.9 rads≤ω≤6.5 rads
解析 设物体 M和水平盘面保持相对静止，当ω具有最小值时，M有向着圆心O运动
的趋势，故水平盘面对M的摩擦力 方向背向圆心，且等于最大静摩擦力F
max
＝2 N.
2
对于M：F－F
max
＝Mrω
1
则ω
1
＝
＝
F－F
max
＝
Mr
mg－F
max
Mr
0.3×10－2
rads
0.6×0.2
≈2.9 rads
当ω具有最大值时，M有离开圆心O 的趋势，水平盘面对M摩擦力的方向指向圆心，
F
max
＝2 N.
2
对M有：F＋F
max
＝Mrω
2
则ω
2
＝
＝
F＋F
max
＝
Mr
mg＋F
max
Mr
0.3×10＋2
rads≈6.5 rads
0.6×0.2
故ω的范围是2.9 rads≤ω≤6.5 rads.
归纳总结
1．分析圆周的临界问题，令物体达到极限状态，暴露出临界的条件．
2．物体受静摩擦力时 ，要注意其大小和方向随转速的变化而发生变化，当达到Ffmax
时，对应的运动量也达到了临界值.
1.做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．物体所受的合外力
用心 爱心 专心
10
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案 BC
解析 做匀速圆周运动的物 体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与
线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来 改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方
向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的 ，所以A、D错误，B、C正确．
2．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动 半径之比为1∶2，在
相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
答案 C
3．如图5所示，
图5
L
长为L的悬线固定在O点，在O点正 下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到
2
跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到 悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
答案 BCD
解析 悬 线与钉子碰撞前后，线对球的拉力始终与球运动方向垂直，水平方向不受力，
vvv
故小球的线 速度不变，但半径减小，由ω＝知ω变大，再由F
向
＝m、a＝知向心加速
rrr度突然增大．而在最低点F
向
＝F－mg，故悬线拉力变大．
4.
22
图6
一个内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直，圆锥固定，有质量相同的两 个小球A和B贴着筒的
内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图6所示，A的半径较大，则( )
A．A球的向心力大于B球的向心力
B．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
C．A球的运动周期大于B球的运动周期
D．A球的角速度小于B球的角速度
答案 CD
解析
用心 爱心 专心
11
两球贴着筒壁在水平面内做匀速圆周运动时，受到重力和筒壁对它的支持力，其中FN
的分力F 提供球做匀速圆周运动的向心力，如右图所示，由图可得
mg
F
向
＝F＝①
tan θ
mg
FN＝②
sin θ
由上述两式可以看出，由于两 个小球的质量相同，θ为定值，故A、B两球所受的向心
2
力和它们对筒壁的压力大小是相等的 ，选项A、B错误．由向心力的计算公式F＝mrω和F
4π
＝mr
2
得
T
mg
2
＝mrω，ω＝
tan θ
mg4π
＝mr
2
，T＝2π
tan θT
2
2
g
③
rtan θ
rtan θ
④
g
由④可知T
A
>T
B
，所以C正确．
由③可知ω
A
<ω
B
，所以D正确．
5．如图7所示，
图7
A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2 m，B、C质
量均为m，A、B离轴距离均为R，C离轴距离为2R，则当圆台旋转时( )
A．C的向心加速度最大
B．B的摩擦力最小
C．当圆台转速增加时，C比A先滑动
D．当圆台转速增加时，B比A先滑动
答案 ABC
22
解析 由an＝rω知，A正确；又由F＝mrω及m
A
>m< br>B
知，B对；当圆台的转速增大到
2
一定程度时，静摩擦力会达到最大值，由F
max
＝μmg＝mrω知，C选项正确．
6．如图8所示，
用心 爱心 专心
12
图8
U形管内 盛有液体，两臂垂直于地面，若U形管绕左臂的轴线转动，则左右两臂液面高
低相比较有( )
A．右臂液面高
B．左臂液面高
C．两臂液面相平
D．以上情况都有可能
答案 A
7．甲、乙两名溜冰运动员，
图9
M
甲
＝80 kg，M
乙
＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图9所示．两
人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 ms
B．两人的角速度相同，为6 rads
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
答案 D
解析 甲、 乙两人绕共同的圆心做圆周运动，他们间的拉力互为向心力，他们的角速度
相同，半径之和为两人的距离 ．
设甲、乙两人所需的向心力为F
向
，角速度为ω，半径分别为r
甲
、r
乙
，则
22
F
向
＝M
甲
ωr甲
＝M
乙
ωr
乙
＝9.2 N①
r
甲
＋r
乙
＝0.9 m②
由①②两式可解得只有D正确．
8．如图10所示，
图10
天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，
系B的吊绳较长， 若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力F
A
、F
B
的大小关系是( )
A．F
A
>F
B
>mg
B．F
A
A
＝F
B
＝mg
D．F
A
＝F
B
>mg
答案 A
v
解析 当天车突然静止时，A、B工件均绕悬点将做圆周摆动．由F－mg＝m，得拉力F< br>r
v
＝mg＋m，故知A项正确．
r
2
2
用心 爱心 专心
13
9．如图11所示，
图11
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀
速转动时，求杆 的OA段及AB段对球的拉力之比．
答案 3∶2
解析 两球所受的重力和水平面的支持力 在竖直面内，且是一对平衡力，不能提供向心
力．A球所受到的向心力由杆的OA段和AB段的拉力的合 力提供，B球所受到的向心力是由
杆的AB段的拉力提供．
隔离A、B受力分析，如下图所示 ．由于A、B放在水平面上，故G＝FN，又由A、B固
定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同， 设角速度为ω，则由向心力公式可得
对A：F
OA
－F
BA
＝mrω
2
对B：F
AB
＝m2rω
联立以上两式得F
OA
∶F
AB
＝3∶2
10．如图12所示，
2
图12
两个用相同材料制成的靠摩擦 转动的轮A和B水平放置，两轮半径R
A
＝2R
B
，当主动轮A
匀速 转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，若将小木块放在B
轮上，欲使木块相对 B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为多少？
1
答案 R
B
2
解析 首先根据A、B两轮边缘的线速度v
A
、v
B
相等 和两轮半径大小的关系，求出两轮
角速度的关系；然后由木块恰能相对静止在轮上分析得知，最大静摩擦 力提供向心力即可求
解．
ω
A
R
B
1
因为vA
＝v
B
，所以由v＝ωr得＝＝①
ω
B
R
A
2
木块在A轮边缘恰能静止，其所需的向心力是由最大静摩擦力提供．设木块质量为m，与轮子的最大静摩擦力为F
fmax
，则
2
F
fmax
＝mR
A
ω
A
②
设木块放在B轮上距B轮轴的最大距离为r，由于木块与A、B轮的动摩擦因数相同，
所以木块放在r处 时仍是最大静摩擦力提供向心力，即
2
F
fmax
＝mω
B
r③
用心 爱心 专心
14
2
＝
ω
A
11
ω
2
R
A
＝R
A
＝R
B
B
42
用心 爱心专心
联立①②③式解得r
15
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