连续缩量公式高一数学：两角差的余弦公式

高中数学新课程标准教材

数 学 教 案

( 2019 — 2020学年度第二学期 )



学 校：
年 级：
任 课 教 师：




数学教案 高中数学 高一数学教案
编订：XX文讯教育机构

高中数学教案

文讯教育教学设计

两角差的余弦公式

教材简介:本教材主要用途 为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、
理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等 能力，本教学设计资料适用于高中高一数学科
目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照 教材的内容进行的编写，可以
放心修改调整或直接进行教学使用。

课题：§3.1.1
【教学目标】
【知识与技能】
①了解两角差的余弦公式的推导；
②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。
【过程与方法】
①经历大胆猜想---初步验证---理论证明--- 应用与拓展的数学化的过程让学生感受到
知识的产生和发展；
②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数
学的积极性；
③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；
【情感态度价值观】

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①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。
【教学重点、难点】
重点： 两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】 用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】
创设问题情景，揭示课题

感知猜想
利用几何画板验证猜想
组织和引导学生共同合作探索公式
通过例题、练习，加强对公式的理解
回顾与反思
布置作业，引发其他公式的探究
【教学设计】

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（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答 的正弦余弦值，再提出
问题1. 有什么关系？
（ ）
问题2.对于a、b、c
（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为
）
问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识， 抛出新知识引起学
生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想
问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？
虽然 但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，
将 sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。
（三）验证猜想
借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变

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换角度α和β时，总有cos（α－β）和
cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
（第一组验证）
（第二组验证）
（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在 今后
的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证
让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，
逐步 引导，层层推进。
问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？
（不可靠，它并不能代表一般性）
问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。
问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？
问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？

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问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？
问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学 问题的过程，体会向量方法解决数
学问题的简洁性。）
2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。
让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。
问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？
问题（2）证明前提是什么?证明完成了吗？
(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)
问题（3）两种证明方法用的是哪一种数学思想方法？
问题（4）你认为哪一种方法好？
（设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，
小组 合作的好习惯）
3.分析公式结构特点，寻求简单记忆
(记作 ,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)
【拓展与应用】

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1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
2.
（让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会
到 思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。）
变式：去掉α的范围，对结果有影响吗？
（提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想）
3.①求 的值
②求 的值
③求 的值
（设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维
能力）
4．
（让学生结合公式 ，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。）
（让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，
灵活运用公式）

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变式二：
（巩固对角的拆分，突出灵活的重要性）
（例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加 强学生对公式的理解和应用，
体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角” 的思想方法解决问
题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
【回顾与反思】
1. 回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。
2．体会其中蕴涵的数学思想。
3．你在公式的推导过程中有什么启发和感受？
4．公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会？
(设计意图：让学生通过 自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，
促进知识的内化。)
【设置作业和思考题】.
作业: 的1,4题
思考:你能利用如何用cos (α－β)继续探究α±β的三角函数？
(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学

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的知识解 决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探
索学习的过程中，充满 好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)

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