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谢乐公式计算晶粒尺寸从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 00:54
tags:余弦定理公式

和女孩子聊天幽默语言-广东松山职业技术学院


从变换的角度赏析“两角差的余弦公式”之推导

近期观看了科幻大片《星 际穿越》,影片中出现了虫
洞、黑洞、第五维空间等一些星际概念,让人感觉宇宙中充
满了奇妙 的变换.宇宙的研究当然离不开数学,数学是一切自
然科学之王,而数学中也充满了各种奇妙的、令人着 迷的变
换.三角变换就是其中之一,有些人认为三角学是古老的数
学,应该弱化.但从现行高中 数学教材来看,仍是对三角学比
较重视,确实三角学属于经典数学中的知识,之所以经典有
其原 因所在,三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想,
是开启学生数学智慧之门,引起学生数学探究欲望 的良好素
材.

数学变换方法有着深刻的哲学思想基础,这是因为辩证
法告诉我们:任何事物都不是孤立、静止和一成不变的,而
是在不断地发展变化[1].由于数学变换 方法充分体现了联系、
运动、转化的观点,它对数学教育研究必然是有启发性的.
下面以“两角 差的余弦公式”推导为例,从变换的视角赏析
其生成方式.
1公式推导前奏――两锐角差的余弦公式
从学生认知特点的角度出发,从特殊到一般是比较符合
学生认知规律的.所以一般可以考虑从两锐角差的余弦着手,
比如cos(45°-30°)= ?有各种变换方法可以求出此三角
函数值.
1.1数学动手实验中的变换
明代学者与军事家王守仁说:“知是行之始,行是知之
成.”而陶行知老先生说:“行是知之始,知是行 之成.”“墨
辩”提出三种知识:亲知、闻知、说知.亲知是亲身得来的,
就是从“行”中得来 的,闻知是从旁人那儿得来的,或由师
友口传,或由书本传达.说知是推想出来的知识.陶老先生拿“行是知之始”来说明知识之来源,并不是否认闻知和说知,
乃是承认亲知为获取一切知识之根本. 闻知与说知必须安根
于亲知里面方能发生效力.古今中外第一流的真知灼见无一
不是从“做”中 得来,也就是说“教学”要以“做”为主.
浙江省高中数学特级教师冯寅老师也曾经强调“动手”与“动
脑”图1并重的观点.我们可以尝试让学生在动手操作数学实
验的过程中推导出两锐角差的余弦 公式.
(1)你能用这两块三角板(如图1)拼出哪些角度呢?
(2)你能用它们拼出15°的角吗?
(3)你能否利用所拼出的图形(如图2或如图3)求出
cos15°的值呢?
(4)若将上面的45°和30°角分别改成锐角α和β,
那么会有怎样的结论?cos(α-β)=?
1.2物理学做功中的变换
正如文首提及的影片《星际穿越》中诸多的数学变换,
物理学中蕴含着丰富的数学变换.我们可以探寻高中学生熟
知的物理知识,挖掘其中“两锐角差 余弦公式”.下面以物理
学中“做功”为例尝试让学生挖掘出其中“两锐角差余弦公
式”的模型 .
如图4所示,一个坡度为30°的斜坡.已知作用在物体
上的力F与水平方向之间的 夹角为45°,且大小为10N,在
力F的作用下,物体沿斜坡运动了2m,求力F作用在物体
上的功W.
学生很快就分析出W=10cos15°?s=20cos(45°-30°)=?学生由此做功问题提炼出图5所示的“两锐角差余弦公
式”的模型,其中∠BCD=90°,∠ ABC=30°,∠DBC=45°,
AH⊥BD.不妨设AC=1,则可以迅速求出cos15°=6 +24.将特
殊角替换成一般角便可以得到两锐角差的余弦公式cos(α-
β)=cosαc osβ+sinαsinβ.其间也涉及到一些学生已经学过
的三角变换,在推导新公式的同时,也是对 之前三角变换知
识的回顾与应用.因此,这种推导方式可以让学生从实际问题
情境中提炼出两锐 角差的余弦公式的模型,感知数学知识来
源于实际,运用于实际,自然界万事万物中都蕴含着丰富的数学变换.
1.3三角起源弦图中的变换
公元3世纪末,亚历山大数学家 帕普斯在《数学汇编》
中给出命题[2]:如图6,设H是以AB为直径的半圆上的一
点,CE 是半圆在点H处的切线,CH=和EF为AB
的垂线,D、F是垂足,则(CD+EF)?CE=AB? DF.认识“弦
图”,从平面几何中发现两锐角差的余弦公式.
可以为学生搭建脚手架 :(1)如图7所示,设∠HOF=
α,∠COH=β,试用α、β表示∠EOF;(2)不妨设
OC=OE=1,试用线段(比)分别表示sinα、cosα、sinβ、
cosβ以及cos(α -β);(3)试探究cos(α-β)与sinα、
cosα、sinβ、cosβ的关系.
以上的推导过程体现了数学是一种文化,在教学过程中
适当的融入数学史知识,让学生寻求 数学进步的历史轨迹,
领会数学的美学价值,提高学生的数学文化素养.三角学的历
史源远流长 ,起源于天文观测和历法推算,是几何问题代数
化的典例.在教学过程中,如果融入三角学的历史知识, 引导
学生了解三角学的发生发展历程,使学生在探究活动中不仅
知其“源”,而且知其所原,则 既能使教学充满浓郁的文化
气息,又能随数学的发展而与时俱进.
此外,古埃及天文学 家托勒密利用两角和、差的三角关
系绘制了现存最早的三角函数弦表,在天文学和测量计算中
有 很重要的应用.制作弦表的原理如图8所示.此原理与人教
A版上的方法(如图9所示)有异曲同工之妙 .
1.4面积中隐含的变换
数学的魅力在于他能让人惊叹于数学的各种奇妙的 变
换,一个普通的图形当中竟然也能蕴藏着“两锐角差的余弦
公式”,如图10所示.通过简单 的三角形等积就可以非常简单
的得到“两锐角差的余弦公式”[3].
此种变换还有很 多,在此不一一举例.这是让学生体验数
学魅力的良好素材,新课程改革大力提倡选修课程的开发与开设,而一线的很多数学教师却苦于没有好的素材,其实,
好的素材“远在天边近在眼前”,我们的 教材中就蕴含着丰
富的素材.就以“两角差的余弦公式”为例,我们可以将其推
导过程开发成一 堂或是一系列选修课程,作为必修课程的选
修化,既能拓展学生的数学视野,也能激发学生数学探究的< br>热情.也可以将这些素材开发制作成微课,通过翻转课堂的形
式让学生进行自主探究或合作探究, 撰写有关“两锐角差的
余弦公式”的数学小论文,用足教材中的内容,也迎合高考
“源于教材, 高于教材”的精神. 2角度范围推广――
两任意角差的余弦公式
在学习三角 函数的初始,学生首先遇到的问题就是将初
中里的特殊角推广到任意角,如何推广?那便是引进直角坐< br>标系.
2.1诱导公式的化角变换
笔者觉得在三角的教学中,有些教师 往往忽视“诱导公
式”的强大功能,只是单纯让学生记住“奇变偶不变,符号
看象限”,会熟练 的运用诱导公式解题就可以了.殊不知蕴含
于诱导公式中的数学本质是“化角变换”,将任意角通过诱< br>导公式转化为0~2π之间的角,再进一步将π2~2π之间的
角转化到0~π2之间的角,所以 “两任意角差的余弦”肯
定可以通过诱导公式转化为“两锐角差的余弦”(轴线角可
以单独验证 ).因此,从诱导公式化角变换的角度来看,问题
可以得到合理的解释.
2.2旋转中的变换
人教A版选修42《矩阵与变换》介绍了旋转变换.如图
11所示 ,在直角坐标系xOy内,作单位圆O,设α、β角的
始边都为Ox、终边分别图11交圆于A、B.这 时,得到两点
间的坐标分别为A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ).由两
点 间的距离公式,并整理得|AB|2=2-2(cosαcosβ+sinαsin
β)①.再以OB为 横轴,建立新的直角坐标系x′O′y′,
使其单位长与原坐标系相同.在新坐标系中两点坐标为A(c os
(α-β),sin(α-β)),B(1,0).同样,由两点间的距离
公式,并整理得 |AB|2=2-2cos(α-β)②,由①②便可得两
任意角差的余弦公式[4].
有心的老师一定还记得人教社全日制普通高中教材中
也是运用类似的变换来推导“两任意角差的余弦公式 ”的.
只不过不是旋转坐标轴,而是旋转点(在此不累述,详见人
教社全日制普通高中教材). 旋转变换是相对的,数学中很多
问题通过旋转变换可以得到快速解决,比如可以用旋转变换
求1 2+22+33+…+n2,运用如图12所示的旋转变换可以很快
得到结果.
2.3向量中的变换
向量是联系代数、几何、三角的桥梁,是现代数学中必
不可少的工 具,它可以使一些复杂问题简单化,因为它插上
了数形结合的翅膀.人教A版教材有意识地将《三角恒等 变
换》置于《平面向量》之后,并且运用向量数量积运算简洁
证明了“两任意角差的余弦公式” ,让人耳目一新.此证明过
程中的叙述看起来很浅显,论述也不深奥,但它是以运动的、
变化的 观点来研究数学问题.这种证明方法不但能促进学生
数学认知结构的发展,而且能够帮助学生逐步学会用 辩证法
的观点来思考问题、分析问题和解决问题.因此,教师可以好
好利用向量变换引出来的结 果(两任意角差的余弦公式)帮
助学生形成更高层次的数学认知结构.
3结束语
有些教师认为两角差余弦公式的推导过程不重要,重要
的是公式的运用.但我们从上面各种 变换的角度赏析两角差
的余弦公式,发现公式推导的各种变换中蕴含着丰富的数学
思想.若是在 公式推导环节,教师舍得不吝啬时间,浓墨重彩
的画上靓丽的一笔,想必会给学生留下“数学是有趣的、 是
美丽的、是有用的”这样美好而又深刻的印象.
参考文献
[1]张 维忠,宋秀红.略论数学变换方法对数学教育研究的
启示[J].数学教学研究,1993(8).
[2]陈清华,徐章韬.既基于历史,又与时俱进高观点下的
“两角和与差的正、余弦公式 ”教学设计[J].中小学数学,2013
(9).
[3]金国林.将无字证明引入课 堂――《两角差余弦公式》
教学有感[J].数学教学,2010(7).
[4]姚军.从两角和的余弦公式证明的演变谈起[J].数学教
学,1997(8).
作者简介俞昕,女,1977年生,浙江湖州人,中学高级
教师,硕士.主要研究方向:数学文化、数学 校本课程等.

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