烧伤公式“两角和与差的余弦公式”：从历史中找价值、看证明

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“两角和与差的余弦公式”：从历史中找价
值、看证明

作者：张益明丁倩文

来源：《教育实践与研究·中学课程版》2018年第06期

摘 要：采用HPM视角来设计“两角和与差的余弦公式”的教学：利用阿里斯塔克斯解决天
文测量问题和托 勒密制作弦表的史实来引入，让学生感受两角和与差的正、余弦公式产生的必
要性；利用帕普斯模型引导 学生证明公式，并对帕普斯模型做适当改进；通过微视频介绍麦克
肖恩方法的历史背景，再让学生阅读教 材学习这一证明方法并谈谈感悟，体会麦克肖恩当时的
想法。课后反馈表明，这样的教学沟通了历史和现 实、数学和人文，体现了“知识之谐”“探究
之乐”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效 ”。
关键词：HPM 价值 证明 两角和与差的余弦公式
“两角和与差的余弦公式”是沪教版高中数学一年级第二学期第5章《三角比》中重要的三
角恒等式之一 。教材在引入部分指出，在三角比的计算和化简中常用角α和角β的三角比来表
示角α+β或角α-β的 三角比，由此引入两角和与差的正、余弦公式。这里，教材并未清晰地揭
示知识产生的必要性，难以激发 学生的学习动机。此外，教材在建立部分利用单位圆，通过旋
转，再根据两点间的距离公式推导出两角差 的余弦公式（苏教版教材也给出了这一方法）。这
一方法虽然简洁明了，学生容易掌握，但是不够自然， 学生很难想到。因此许多教师都尝试对
“两角和与差的余弦公式”的教学进行改进，然而很少有人从数学 史的视角来设计教学。
美国数学史和数学教育家史密斯（，1860～1944）认 为，数学史展现了不同方
法的成败得失，因而今人可以从中汲取思想养料，少走弯路，获取最佳教学方法 。因此少数教
师也尝试从数学史的视角来设计两角和与差的余弦公式的教学，然而在这些教学设计中，数 学
史的价值没有得到充分的体现。
有鉴于此，我们采用HPM视角来设计本 节课的教学，拟定如下学习目标：（1）正确运用
两角和与差的余弦公式进行简单的化简和求值；（2） 经历两角和与差的余弦公式的产生和推
导过程，理解两角和与差的余弦公式的产生背景和两种推导方法； （3）进一步体会数形结
合、代换转化等数学思想方法，培养直观想象和逻辑推理等数学核心素养；（4 ）激发学习兴
趣，感悟数学文化，体会数学中的人文精神。
一、历史过程梳理与材料选用
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两角和与差的正、 余弦公式被称为平面三角学的基本公式，伴随着三角学的诞生而诞生，
有关的历史素材丰富多彩。我们梳 理了两角和与差的正、余弦公式的产生与发展历史过程，从
学生的认知基础出发，选取有关其价值和证明 的素材，运用多种方式将这些素材融入教学中。
（一）从天文测量到弦表制作
三角学起源于天文学中的测量问题。公元前3世纪，古希腊著名天文学家阿里斯塔克斯
（Aristarchus，前315～前230）观测得到：在月亮半圆时，日、地、月的中心S、E 、M恰好
为一个直角三角形的三个顶点，且∠SEM=87°，如图1所示。阿里斯塔克斯想知道的是， 地日
距离（ES）是地月距离（EM）的几倍。当时，人们还不知道87°角的余弦或正弦值，阿里斯< br>塔克斯通过冗长的几何推理，才得出这个倍数在18和20之间的结果。
解决 天文学中的测量问题，需要计算任意角的三角函数值。2世纪，古希腊天文学家、数
学家托勒密（y，约 100～170）利用基于托勒密定理（圆内接四边形两组对边乘积的
和等于两条对角线的乘积）得到的 相当于两角和与差的正、余弦公式的结果，制作了现存最早
的弦表（从0°到90°每隔半度比较精确的 正弦函数值）。
这一过程体现了两角和与差的正、余弦公式的起源和作用。因此，本 节课利用阿里斯塔克
斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入，让学生感受两角和与差的正、 余弦公式
产生的必要性。这是顺应式使用数学史。
（二）帕普斯模型成為主流
3世纪末，古希腊数学家帕普斯（Pappus）在《数 学汇编》中提出一个几何命题，其中蕴
含了丰富的三角学知识，为三角公式的证明提供了几何模型。如图 2所示，设∠AOB=α，
∠BOC=β（0
而得到锐角情形下的两角和与差的正、余弦公式。
20世纪中叶以前，绝大多数西方 教材都采用帕普斯的几何模型来推导锐角情形下的两角
和与差的正、余弦公式，再利用诱导公式得出任意 角情形下的两角和与差的正、余弦公式。
这一模型符合三角学的历史发展，也符合学 生的认知过程：三角公式脱胎于几何命题，学
生学习三角函数是从直角三角形中的边长比（初中）和单位 圆中的三角函数线（高中）开始
的。因此，本节课利用帕普斯模型引导学生证明公式。当然，帕普斯模型 中角的始边并不都在
x轴的正半轴上，这一点与学生的认知基础有冲突。于是，我们对帕普斯模型做了三 点改进：
第一，让学生在猜测公式的基础上自然地利用三角函数线表达三角比的值，避免刻意地给出帕< br>普斯模型；第二，将两个角的始边同时与x轴的正半轴重合，从两角差的余弦公式入手降低认
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知难度；第三，利用该模型得到两角差的余弦公式后再利用三角代换得到其他公式 ，突出三角
代换的重要性。这是重构式使用数学史。
（三）从多种方法到麦克肖恩方法
18～19世纪，意大利数学家卡诺里（l，17 43～1816）、美国数学家伍德豪斯
（use，1773～1827）、瑞士数学家哈斯勒（r，1 770～1843）、英国数学
家克雷斯维尔（ell，1776～1844）、法国数学家萨吕斯（， 1798～1866）相
继给出了各自的证明。
和基于托勒密定理的证明方 法一样，这些证明方法对于平面几何的变换技巧要求比较高，
而且有些用到了学生还没学到的正、余弦定 理。考虑到学生的实际情况，本节课通过微视频简
单介绍这些证明方法。这是附加式使用数学史。
1941年，美国数学家麦克肖恩（e，1904～1989）又对萨吕斯的证明做了 改
进。他在《美国数学月刊》上发表论文，避开弦长公式，重新推导了两角差的余弦公式。如图
3所示，在单位圆O中（限于篇幅，只画半圆）构造∠AOB=α，∠AOC=β，将△BOC顺时针
旋 转，使得OC与OA重合，OB与OD重合，由AD=CB，利用两点间的距离公式即得cos
（α-β ）=cos αcos β+sin αsin β。
这一证明方法就是教材给出的 方法，它适用于任意角的情形。因此，本节课通过微视频介
绍麦克肖恩方法的历史背景，再让学生阅读教 材学习这一证明方法并谈谈感悟，体会麦克肖恩
当时的想法。这是复制式使用数学史。
二、教学设计与实施
（一）问题引入，猜想公式
教师利 用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入，然后指出：
“显然，如果能算出co s 87°的值，就能知道准确的倍数了。可见，仅知道初中里学过的特殊角
（30°、45°、60° 、90°）的三角比是不够的，还需要计算任意角的三角比。古希腊天文学家、
数学家在制作弦表（计算 任意角的三角比）时，采用了一个新的方法，用今天的话来说，就是
根据已知角的正、余弦值来求未知角 的正、余弦值。这便是我们今天要研究的课题。”
接着，教师让学生利用同角三角比的关系，由cos 30°求sin 30°和tan 30°，再利用诱导公
式，由cos 30°求cos 150°和cos 390°，进而提问：“能否用45°和30°的正、余弦来求cos 15°？”
根据计算器上读出的结果，学生猜测cos 15°=6+24=32×22+12×22=
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cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°或sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°。由此，教师进一步提问：“对
于任意角α和β，cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β或cos（α-β）=sin αcos β+cos αsin β是否成
立？究竟哪一个等式成立？”
（二）模型建立，证明公式
师 假设α、β为锐角。（出示图4）如图所示，两个角的终边与单位圆分别交于点A 和
B，請你在图上找出与cos α、cos β、sin α、sin β相等的线段。
生 （出示图5）分别过点A和B作x轴的垂线，交点分别为M和P，则AM=
sin α，OM=cos α，BP=sin β，OP=cos β。
师 严格 来说，正弦线是MA而不是AM，但是我们有个前提，即α是锐角，所以问题不
大。三角函数线的作用就 是利用有向线段的长度来表示三角比。我们今天也利用这种方法来证
明两角差的余弦公式。请同学们在图 中找到一条线段，使其长度等于cos（α-β）。
生 （出示图6）过点A作AN⊥OB，垂足为N，因为OA=1，所以ON=cos（α-β）。
师 请同学们通过他的方法用一条线段表示cos αcos β、sin αsin β。
生 把cos α看成斜边，以β为一个内角构造直角三角形；把sin α看成斜边，以β为一个内
角 构造直角三角形。（出示图7）过点M作OB的垂线，垂足为H，则在Rt△OMH中，
OH=cos αcos β；不难发现∠MAN=β，所以过点M作AN的垂线，垂足为Q，则在
Rt△AMQ中，MQ=sin αsin β。
师 由此，你能证明两角差的余弦公式吗？
生 通过ON=OH+HN，HN=MQ可以得到cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β。
师 没错，关键就是ON=OH+HN。我们回头看证明过程，证明的思想是用 线段的长度表示
三角比。当然，我们的证明有个前提：α、β为锐角。那么，如果角的范围变化了，结论 还成
立吗？比如，设α∈2π，52π，β为锐角，请问：如何计算cos（α-β）？
生 由cos（α-β）=cos（α-2π-β），再展开，即可得到公式。我们发现，公式也成立。因
此，当α、β在其他范围内时，可以利用诱导公式证明公式成立。
师 这里，我们 用到了一种思想，即用α-2π去代换α。代换思想在三角学研究中非常重
要。请同学们利用这种思想计 算cos（α+β）。
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生 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cos αcos β-sin αsin β。
师 这样，我们就得到了两角和的余弦公式。今天，我们也学会了一种解决问题的方法：
先猜想，再证明。
（播放时长4分钟的微视频：由两角和与差的余弦公式引入，指出公式本身呈现出对称 之
美，而历代数学家不遗余力地去证明它，更是体现了他们对方法之美的追求；接着追溯两角和
与差的余弦公式推导的历史。）
师 （视频播放到介绍完帕普斯模型时，暂停）同学 们的思想和数学家们的思想差不多。
可见，只要在数学中付出更多的努力，就能在数学上取得更大的成就 。
（学生兴奋。）
师 （视频播放到介绍完麦克肖恩方 法时，结束）他的方法就是课本给出的方法。现在请
大家看一下课本上的证明。
（学生阅读。）
师 麦克肖恩为什么会想到将图形进行旋转？
生 将角α-β的始边旋转到x轴的正半轴上。
师 非常好！这个也是我们将角推广 到任意角的常见方法。那么，他又是怎样想到用线段
长度来计算的呢？旋转过程中，图形位置发生变化， 也有一些不变的量，是什么？
生 角与线段长度不变。
生 利用|AB|=|A′B′|，再利用两点间的距离公式展开，即可得到公式。
（三）练习巩固，深化认识
首先，利用例1所示的具体求值问题，引导学生简单应用 公式。其次，通过例2所示的一
般证明问题，引导学生熟练运用公式，并体会三角的代换思想。
例1 利用两角和与差的余弦公式求值：（1）cos 75°；（2）cosπ12。
例2 证明下列恒等式：（1）cosπ2-α=sin α；（2）sinπ2-α=cos α。
（四）回顾总结，盘点收获
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首先，引导学生总结 本节课主要运用的两种推导两角和与差的正、余弦公式的方法：帕普
斯模型方法的核心思想是利用三角函 数线去表示三角比的值，而麦克肖恩的方法是利用图形的
旋转以及两点间的距离公式。
其次，引导学生总结本节课主要学到的重要的数学思想：数形结合、代换转化等。
最 后，引导学生感悟：历史上数学家们孜孜不倦地改进两角和与差的正、余弦公式的证明
方法，反映了他们 对于真善美的不懈追求，体现了他们的创新精神；只要我们深入思考，努力
探究，我们也能想数学家之所 想，在不知不觉中成为课堂上的“小小数学家”。
三、学生反馈
课后，我们收集了全班40名学生对于本节课的反馈信息。
对于这节课的教学内容，全部学生都表示听懂了，其中70%的学生表示完全听懂了。
对于数学史融入课堂的教学方式，95%以上的学生表示喜欢。
对于两角和与差的余 弦公式的推导，喜欢帕普斯模型的学生给出的理由如下：直观、清
晰；由锐角的情形推广到任意角的情形 ，可以对公式理解得更深刻一些；与初中知识结合，更
容易想到；有引导性，能带动大家的思考，可以培 养思维。喜欢麦克肖恩方法的学生给出的理
由如下：巧妙运用图形的旋转、两点间的距离公式等常见数学 方法和知识，通俗易懂且适用于
任意角；建立在众多前人的证明方法的基础上，达到了完美的地步。
对于两角和与差的余弦公式的运用，绝大多数学生都是正确的。
对于本节课所体现的数学思想，大部分学生提到了数形结合、代换、化归等数学思想，另
外还有学生提到 了“学贵有疑”的一般思想。
对于本节课中印象最深的内容，大部分学生提到了数学 文化，例如：让人愉悦的小视频追
溯了公式的历程，其中推导方法由繁至简，让我对公式来源有了一定的 了解，并从中找到了自
己喜欢的证法；比较深入地引入了数学史作为公式理解的辅助，让我比较直观地了 解了两角和
与差的余弦公式的精神；数学家们勇于质疑、不断改进的精神，实现了从难以理解的方法到通
俗易懂的方法的轉变；两角和与差的余弦公式十分整齐且有对称美。
四、教学反思
任何数学公式都不是凭空产生的，其背后都有漫长的历史，都蕴含着精 彩的思想方法和丰
富的人文元素。如果仅仅让学生机械地记忆公式，那么，公式就是静态的、冰冷的、枯 燥的、
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无生命的。从历史的视角来呈现公式，可赋予公式以鲜活的生 命。本节课让学生“穿越时空，
与数学家对话”，既沟通了历史和现实，也沟通了数学和人文。
本节课中，借鉴历史，从猜想到证明、从几何到三角、从锐角到任意角的过程，实际上 再
现了两角和与差的余弦公式自然发生和发展的过程，体现了“知识之谐”；而在知识的发生和发
展过程中，教师给予学生探究机会，引导他们解决问题，从而获得成功的体验，体现了“探究
之乐”； 除了帕普斯模型的证明方法，微视频还展现了数学史上丰富多彩的证明方法，并利用
麦克肖恩的证明来衔 接教材上的证明，体现了“方法之美”；而帕普斯模型彰显了几何与代数之
间的联系，有助于培养学生的 直观想象和逻辑推理等数学核心素养以及表征转化能力，体现了
“能力之助”；两角和与差的余弦公式的 起源揭示了数学与天文学之间的联系，不同时空的数学
家对两角和与差的余弦公式给出的不同的证明方法 揭示了数学文化的多元性以及数学家追求真
善美的人文精神，体现了“文化之魅”；而引导学生穿越时空 ，走进数学家的心灵之中，亲近数
学，建立自信，体现了“德育之效”。
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