高一物理必修二-教师节是哪天
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授课
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班级
课题: §15.1两角和与差的正弦、余弦公式
教学目的要求: 推导并掌握两角和与差的正弦、余弦公式,懂
得运用这些公式解决实际问题
教学重点、难点: 两角和与差的三角函数的运用;两角和与差
的三角函数的推导
授课方法: 讲授法
教学参考及教具(含多媒体教学设备): 三角板,圆规,PPT
授课执行情况及分析:
板书设计或授课提纲
PPT演示
1、两点间的距离公式
2、和角公式.
3、差角公式.
4、课堂练习
15对口2
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教 学 内 容、方 法 和 过 程
引入新课:
在研究三角函数时,我们还常常遇到这样的问题:已知任意 角α,
β的三角函数值,如何求出α+β,α-β或2α的三角函数值?下面我
们先引出平面内 两点间的距离公式,并从两角和的余弦公式谈起:
附 记
复习提
问
我们在初中已经求过数轴上两点间的距离,知道这实际上就是求数
轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值.现在考虑坐标平面内的任意
两点P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)(图4-17),从点P
1
,P
2
分别作x轴的 垂线P
1
M
1
,
P
2
M
2,与x轴交于点M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0);再从点P
1
,P
2
分别作y轴的
垂线 P
1
N
1
,P
2
N
2
,与y轴交于点N< br>1
(0,y
1
),N
2
(0,y
2
).直线 P
1
N
1
与P
2
M
2
相
交于点Q.那么
板书
P
1
Q=M
1< br>M
2
=|x
2
-x
1
|,
QP
2
=N
1
N
2
=|y
2
-y
1
|.
于是由勾股定理,可得
=|x
2
-x
1|
2
+|y
2
-y
1
|
2
=(x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
.
由此得到平面内P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)两点间的 距离公式
板书
导出新
课
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接下来,我们继续考虑如何运用两点间的距离公式,把两角和的余
弦cos(α+β)用α,β的三角函数来表示的问题.
学生思
考
如图4-18,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-
β,使角α 的始边为Ox,交⊙O于点P
1
,终边交⊙O于点P
2
;角β的始
板 书画
边为OP
2
,终边交⊙O于点P
3
,角-β的始边为OP
1
,终边交⊙O于点P
4
.这
法
时点P
1
,P
2
,P
3
,P
4
的坐标分别是
P
1
(1,0),
首先复
P
2
(cosα,sinα),
习四个
象限
P
3
(cos(α+β),sin(α+β)),
P
4
(cos(-β),sin(-β)).
由P< br>1
P
3
=P
2
P
4
及两点间距离公式,得
[cos(α+β)-1]
2
+sin
2
(α+β)
=[cos(-β)-cosα]
2
+[sin(-β)-sinα]2
.
展开并整理,得
2-2cos(α+β)
=2-2(cosαcosβ- sinαsinβ),
所以
学生思
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsin
考片刻
后回
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β. (C
(α+β)
)
这个公式对于任意的角α、β都成立.
在公式C
(α+β)
中用-β代替β,就得到
cos(α-β)=cosαcos(-β)-sinαsin(-β),
即
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsin
β. (C
(α-β)
)
运用公式C
(α-β)
,又可得到
=sinα;
这就是说,诱导公式
答,教
师适时
予以纠
正
重点
板书
学生思
考,教
师板演
当α为任意角时仍然成立.
再运用C
(α+β)
和上述诱导公式,便可得到
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=sinαcosβ+cosαsinβ,即
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsin
β. (S
(α+β)
)
在公式S
(α+β)
中用-β代替β,又可得到
sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),
即
板书
sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsin
β. (S
(α-β)
)
当cos(α+β)≠0时,将公式S
(α+β)
,C
(α+β)
的两边分别相除,即
如果cosαcosβ≠0,我们可以将分子、分母都除以cosαcosβ,
从而得到
因为
所以在公式T
(α+β)
中用-β代替β,又可得到
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即
重点
板书
公式S
(α+β)
,C
(α+β)
,T
(α+β)
给出了任意角α ,β的三角函数值(这里指
正弦、余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系.为方便起
见,我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地,公式S
(α-β )
,C
(α-β)
,T
(α-β)
都叫做差角公式.
举例引
发学生
例1 利用和(差)角公式求75°,15°的正弦、余弦、正切值.
思考此
结论。
解:sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
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分析:观察公式S
(α-β)
,C
(α+β)
和本题的已 知条件,要计算sin(α-β),
cos(α+β),应先算出cosα,sinβ.
所以
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分析:因为tan45°=1,所以
原式可以看成
这样,我们就可以运用正切的和角公式,把原式化为
tan(45°+15°),
从而求得原式的值.
解:因为tan45°=1,所以
布置作业:
2.求证:
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