扭转角公式浅谈“两角差的余弦公式”之推导

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浅谈“两角差的余弦公式”之推导

作者：柯天扬

来源：《知识文库》2017年第01期

数学思想方法的渗透，有助于我们理性数学思维能力的提高，从而提高我们在对问题进行
分析、解决的能 力。“两角差的余弦公式”在推导过程中具有重要的教育价值，蕴涵着换一个角
度看问题的转换思想，是 数学家创造发明的法宝，也是我们进行再发现、再创造活动的探索方
式。本文针对 “两角差的余弦公式的推导”章节进行学习，分析并推导两角差的余弦公式，实践
检验。
笔者在近年来的各省数学高考试卷中发现，经常会出现考查数学教材中相关公式或定理的
证明试题，比如 证明两角和的余弦公式及余弦定理等等。因而在学习“两角差的余弦公式”这一
章节时，较为注重对余弦 公式生成及证明过程的学习。“两角差的余弦公式”属于《三角恒等变
换》中出现的第一个公式，因而是 推证其它公式的基础，教材首先给出几何法的推导证明，然
后采用向量法对公式进行推导及证明。现对 “两角差的余弦公式”的推导方式进行如下分析。
1 公式推导
1.1动手实践推导
在数学学习中强调动手与动脑并重的观点，因此在学习的过程中 可以在动手操作的基础上
推导两锐角差的余弦公式。如图 1所示：
用图1 中两块三角板拼出不同角度，是否利用两块三角板拼出如图2、图3的图形，并求
出cos15°的值。 并思考将上面45°及30°角改成锐角α与β，能否求出cos（α-β）值。
1.2 三角起源弦图
《数学汇编》中曾给出如下命题，如图4所示。将设H是以A B为直径半圆上的一点，
CE则是半圆在点H处的一条切线，其中CH=HE。EF与CD是AB的垂线 ，其中D、F为垂
足，则表明AB·DF=（CD+EF）·CE，从中我们可以出的两锐角差的余弦公 式。
因而可以设∠HOF=α，∠COH=β，对∠EOF采用α及β来表示。进而 可以将OE=OC=1，
然后表示sinα、cosα、sinβ、cosβ以及cos（α-β），根 据此可以探究出cos（α-β）与sinα、
cosα、sinβ、cosβ之间的关系。
通过推导，可以在学习的过程中了解数学也是一种文化，因而在学习的过程中可以适当地
了解数学史知识 ，从中领悟到数学的美学价值，最终提高自身的数学文化素养。由于三角学具
有源远流长的历史文化，主 要起源于力法推算以及天文观测，属于几何问题代数化的典型案