订货批量公式高中数学解题方法系列：解三角形的几种入手策略

高中数学解题方法系列：解三角形的几种入手策略
解三角形知识一直是高考常考考点，虽然这 一块儿只要运用公式、正弦定理与余弦定理
便能解决很多问题，但是如何针对试题，灵活、准确、快速地 选定相关定理去入手解题，则
是同学们很难把握的。本文结合具体题目，初步探寻一些入手策略，期望对 同学们有所帮助。

【正弦定理公式】

；
【余弦定理公式】

；；
如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“ 方程”的话，那么解三角形的实质就是把
题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理，解题时根据已知 量与所求量，合理选择一个
比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易， 解题简洁。

一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理

（1）三角公式

①在中，已知两角
。

证明：有解


即，要判断
。

（2）正弦定理

①在

中，已知两角和任意一边，解三角形；
是否有解，只需
有解
的三角函数值，求第三个角；存在
②在

中，已知两边和其中一边对角，解三角形；
（3）余弦定理

①在

②在

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们 常见、常讲、常练的，因此，在这里
就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！

二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理

（1）齐次式条件（边或角的正弦）

若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边 的齐次式，可以根据角的异同选用公式弦切
互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经 过变形得到齐次式的依然适用。

1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】在

【解析】无论是条件中的
于一个角的齐次式。
是关于

是关于
，还是
的一次齐次式；
都是关
中，若，，求。
中，已知两边和他们的夹角，解三角形。
中，已知三边，解三角形；
的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。
由

；
由




或

；
在

中，，且。代值可得：
①当

，时，；
②当

，时，（舍去）。
2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化

【例】在
面积。【解析】条件
中，若，且，求的
是关于不同角正 弦的二次齐次式。
因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。

由

；
显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得

。
又因为

3.不同边齐次式条件的边角互化

，所以。
【例】
求。

的内角的对边分别为。已知，，
【解析】条件
化为角，然后由

是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边
将不同角转化为同角,利用化一公式 求解。
由

，又，，可得：
，运用化一公式
得

4.边角混合齐次式条件的边角互化

①边角混合——边为齐次式

。
【例】的内角的对边分别为，且，求
。

【解析】条件是边 角混合——关于不同边的一次齐次式，由于
所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化为切求解。

由

，又
，则



。

②边角混合——角（正弦）为齐次式

【例】的内角
，求

【解析】条件是边角混合——角（正弦）为不同角的一次
。
的对边分别为，且，齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根据等式形式利用余弦定理求解。

由

，显然这个形式符合余弦定理公式，
，由于，我们可以得到：
因此，可得

。从而得出。
③边角混合——边、角（正弦）都为齐次式

【例】的内角
，求

【解析】条件是边角混合——边、角（正弦）各为
。
的对边分别为，且
一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是一般将角转化为边求解。

由

，
显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得

从而得出

5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式

【例】
求证：

【解析】条件
的内角的对边分别为，且
。
。
，
的三边成等比数列。
显然不是齐次式，并且角也不全是三角
形的内角。因此，首先得把这些角转变为三角形的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求
解。

由
只要将

变换为
，
，题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式：
。

（2）不同边的平方关系（余弦定理）

若题目条件中出现关于边的 平方关系或求边的平方关系，可以选用余弦定理边角互化，
在上面的一些情况中，有利用正弦定理转化出 不同边的平方关系，可以作为参考例题。

【例】

的内角的对边分别为，且，求。
【解析】条件
式。

含有不同边的平方关系，形式显然符合余弦定理公
由

（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化）

。
若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内角正弦、余弦，可以同时使
用正弦、余弦定理 边角互化，要么都化为角（正弦、余弦），要么都化为边。

【例】在

【解析】由题目中条
，

件可得
中，已知，且，求。
接下来再利用余弦定理可得
，

，所以
，又
或
。

因为

。 解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉不易下手，以上结合例
题谈了一下通 过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，
但这仅仅是初探，更多的策 略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。