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梯形的公式是什么[教学设计]《两角和与差的余弦公式》精品教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 01:11
tags:余弦定理公式

观沧海赏析-抽样误差


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《两角和与差的余弦公式》教学设计
一、教材地位和作用分析:

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,是正 弦线、余弦线和
诱导公式等知识的延伸,是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的
知 识基础,对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三
角问题的解决有重要的支撑作 用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两
角和与差的余弦公式以及诱导公式。
二、教学目标:
1、知识目标:
①、

使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式;

②、

使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导;

③、

使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标:

①、培养学生逆向思维的意识和习惯;

②、培养学生的代数意识,特殊值法的应用意识;

③、培养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标:



①、通过观察、对比体会公式的线形美,对称美;



②、培养学生不怕困难,勇于探索的求知精神。
三、教学重点和难点:

教学重点:两角和与差的余弦公式的推导及运用。
教学难点:两角和与差的余弦公式的灵活运用。
四、教学方法:

创设情境 有利于问题自然、流畅地提出,提出问题是为了引发思考,思考的表现
形式是探索尝试,探索尝试是思维 活动中最有意义的部分,激发学生积极主动的思维
活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适 当的引导并不一定会降低学生
思维的层次,反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主 体作用的
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和谐统一。
由此我决定采用以下的教学方法:创设情境----提出问题----探索尝试---- 启发
引导----解决问题。
学法指导:

1、要求学生做好正弦线 、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式,特别是用角的余弦
和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的 知识准备。(体现学习过程中循序渐进,温
故知新的认知规律。)

2、让学生注意观 察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序;角的顺序关
系,培养学生的观察能力,并通过观察 体会公式的对称美。
五、教学过程








教 学 程 序

0000
设 计 意 图

通过创设问题情境,自
然流畅地

提出问题,揭示课题,< br>让学生先讨论“cos(45+30)=cos45+cos30是
否成立?”。(学生可能通过 计算器、量余弦线
的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三
引发学生



000


种途径解决问题)。得出cos(45+30)≠cos45

思考。使学生目标明< br>+cos30。进而得出cos(α+β)≠cosα+cosβ
这个结论。此时再次提出那么c os(α+β)又等
于什么呢?

这正是我们今天要研究的内容。

揭示课题:两角和与差的余弦。









通过复习使学生熟悉基
1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。

础 知识、特别是用角的
正、余弦表示特殊点的
2、如果角α的终边与单位圆相交于点P,点P的< br>坐标,为新课的推进做
坐标能否用角α的三角函数值表示?怎样表示?

准备。

3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。

在解决上面的问题之前,我们先来解决“平面内


两点间距离的求法”这一问题。通过上面的复
0
确、迅速进

入角色。

让学生通过特殊值在
转化到一般情况,符
合学生的认知规律。


习,我们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公


式。那么,平面内两点间距离与坐标有什么样的


关系呢?(通过特殊的例 子让学生体会平面内两
点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系。)

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1、分析:设P
1
(x
1

y
1< br>),P
2
(x
2

y
2
)则有:M
1
(x
1

0),M
2
(x
2

0),N
1

(0

y
1
),N
2
(0

y
2
)。

通过演示课件提出问题:P
1
P
2

的长度与什么有关?
根据图写出M
1
M
2
和N
1
N
2


P
1
Q= M
1
M
2
=│x
2
-x
1


QP
2
= N
1
N
2
=│y
2
-y
1


根据勾股定理写出
P
1
P
2
=P
1
Q+ QP
2
=(x
2
-x
1
)
+(y
2
-y
1
)

由此得平面内P
1
(x
1

y
1
)、P
2
(x
2

y
2)两点间的
距离公式:

P
1
P
2
= (x
2
-x
1
)+(y
2
-y
1
)

22
22222
1、通过几何画板动态演
示,给学生以直观感
受 ,让他们认识到:平
面内两点间距离和同一
坐标轴上两点间距离总
能构成一个直角三角
形,利用勾股定理即可
解决。


2、两角和余弦公式的证
明中存在困难:三角函
数表示单位圆上点的坐
标,它虽然算理简单,
但学生由于陌生 而很不
习惯,通过前面习环节
应该有所熟悉。3、两角

2、在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角










α,α+β和-β。它们的终边分别交单位圆于 P
2

P
3
和P
4
点,单位圆与X轴交于P
1
。则: 和的余弦学完之后,要
P
1
(1,0)、 P
2
(cosα,sinα)、P
3
(cos
(α+β),sin(α+β)< br>
强调其中两角均为任意
角,这样一来,两角差
的余弦只是两角和的余
弦的特殊形式。

例1的作用一方面让学
生熟练两角和与差的余
弦公式,另一 方面也向
学生展示了公式的一种
实际应用价值,即:将
分析:本题关键是将15°角分 成45°与30°的差或
者分解成60°与45°的差,再利用两角差的余弦公
式即可求解.对 于cos105°,可进行类似地处理,
cos105°=cos(60°+45°).
非特殊角转化为特殊角
的和与差。





P
4
(cosβ,-sinβ)


根据︱P
1
P
4
︱=︱P
2
P
3
︱即可得到


cos(α+β)= cosαcosβ- sinαsinβ


用-β代替β得cos(α-β)的公式。


注意公式的结构特征。


例1、
求cos15°及cos105°的值.
2. 已知sinα=,α∈(,π ),cosβ=-
,且β是第三象限的角,求cos(α+β)的
值.
分析:观察公 式C
α

β
与本题已知条件应先计
算出cosα,cosβ,再代入 公式求值.求cosα,cosβ
的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意
α,β的取值 范围来求解.
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例2利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公
式:
π
(1) cos( -α)=sinα
2
π
(2) sin( -α)=cosα
2
例2
的目
的在
于熟
悉公
式,
例3 已知 sinα=,α∈(,π),cosβ=-
同时
对同
角三
角函
,且β 是第三象限的角,求cos(α+β)的
值.
分析:观察公式C
α

β
与本题已知条件应先计
算出cosα,cosβ,再代入公式求值.求cosα,cosβ
的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意
α,β的取值范围来求解.
课堂练习:
1. (1)求sin75°的值.
(2)求cos75°cos105°+sin75°sin105°的值.
数关
系 有
复习
的作
用,
其难
度不
是很
大,
在提< br>供了
2. (1)求证:cos(-α) =sinα.
(2)已知sinθ=
(θ-)的值.
,且θ为第二象限角,求cos
公式

后,
(3)已知sin(30°+α)=
求cosα.

,60°<α<150°,
学生
应当
能够

成.



本节课我们学习了下面两组公式,在公式的
小节以十四字口诀概括
两角和与差的三角函数
关系式,既体现了公式
的本质特征,又朗朗上
口,便于记忆。 有助于



记忆上,我们应注意函数和符号的变化。


两角和与差的余弦:


(同名之积相加减,运算符号左右反。)
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cos(α+β)= cosα cosβ- sinα sinβ

学生对本节课的内容更
好地掌握。

cos(α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ
1、课堂练习(P
38


①、第2题(3)、(4)。

②、第3题(2)、(3)。


2、课后作业P

40


习题4.6第2 、 3、(2)、(3)



3、思考题:

试运用今天所学知识和方法证明:

sin( α+β)= sinα cosβ+cosα sinβ

sin( α-β)= sinα cosβ-cosα sinβ
8、课堂练习有助于学生
进一步熟悉公式,加深
学生对公式的理解和认
识。回馈教 学效果。思
考题对学生本节课所学
知识方法的考察要求较
高,但能力较强学生能
够完成,也是为下一节
课的内容做准备。体现
问题必须略高于学生现
有知识水平的原 则。


六、板书设计
两角和与差的余弦
公式 推导 例1
例2
例3

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