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直线对称公式pi的计算 数值分析论文

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 04:50
tags:圆周率公式

软件技术就业前景-读三国演义有感600


古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周
长。Archi medes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072
边形得到5位精度;Lud olph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种
基于几何的算法计算量大,速 度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在
进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公 式。下面挑选一些经典的
常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式
衍生出来的公式,就不一一列举了。

1、 Machin公式

[这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算
到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过 程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算
机上编程实现。
Machin.c 源程序
还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公 式中,Machin公式似
乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Mach in公
式就力不从心了。下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到
圆周率的 过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉
及两个大数的乘除运算,要用FF T(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将
两个大数的乘除运算时间由 O(n2)缩短为O(nlog(n))。

2、 Ramanujan公式

1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条
圆周率的计算公式,这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制
精度。1985 年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为:
这个公式被称为C hudnovsky公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994
年Chudnovsky 兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式
的另一个更方便 于计算机编程的形式是:

3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法

Gauss-Legendre公式:
这个公式每迭代一次将 得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20
次就够了。1999年9月Takahash i和Kanada用这个算法计算到了圆周率的
206,158,430,000位,创出新的世界纪录 。

4、Borwein四次迭代式:

这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表,它四次收敛于
圆周率。

这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe
于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第
n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997
年,Fabri ce Bellard找到了一个比BBP快40%的公式:

【与π有关的等式】








(π^2)6 = 11^2 + 12^2 + 13^2 + ······ + 1n^2 + ······
e^(πi) + 1 = 0
e^(-x^2) 在-∞到+∞上的积分是√π
sinxx 在0到∞上的积分是π2
[瓦里斯公式] π2 = lim (n→∞) [ (2n)!! (2n-1)!! ]^2 (2n+1)
古人计算圆周率π,一般是用割圆 法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆
的周长。阿基米德(Archimedes)用正96边形得 到圆周率小数点后3位的精度;
刘徽用正3072边形得到5位精度;Ludolph Van Ceu len用正2
62
边形得到了35
位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢。随 着数学的发展,数学家们在
进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面介绍一些经典 的
公式。
Machin公式



这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式
计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精
度。因为它的 计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以很容易在计算机
上编程实现。
还有 很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中,Machin公
式似乎是最快的了。虽 然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin
公式就力不从心了。下面介绍的算法,在 PC机上计算大约一天时间,就可以得
到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因 为计算过程中
涉及两个大数的乘除运算,要用快速傅利叶变换(FFT,Fast Fourier T ransform)
2
算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n)缩短为O(nl og(n))。
拉马努安(Ramanujan)公式




1914年,印度数学家Srinivasa Ramanuj an在他的论文里发表了一系列共
14条圆周率的计算公式,这是其中之一。这个公式每计算一项可以得 到8位的
十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为:





这个公式被称为Chudnovsky公式,每计算一项可以得到15 位的十进制精度。
1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,0 00位。Chudnovsky
公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:





AGM(Arithmetic- Geometric Mean)算法
高斯-勒让德(Gauss- Legendre)公式:
初值:


重复计算:



最后计算:




这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代
20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的
20 6,158,430,000位,创出新的世界纪录。
Borwein四次迭代式:
初值:



重复计算:








最后计算:



这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表,它四次收
敛于圆周率。
Bailey-Borwein-Plouffe算法



这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe
于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法, 可以计算圆周率的任意第
n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1 997
年,Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40%的公式:




圆周率π小数点后1000位: π=3.


圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定
义为圆 形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算
圆周长、圆面积、球体积等几何 形状的关键值。
在分析学上,π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x,这里
的sin是正弦函数(采用分析学的定义)。
[编辑本段]
【圆周率的历史】
π=Pài(π=Pi)
古希腊欧几里德《几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数,
中国古算书《周髀算经》( 约公元前2世纪)中有“径一而周三”的记载,也
认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似 值,早期大都是通过实验
而得到的结果,如古埃及纸草书(约公元前1700)中取pi=(43)^4 ≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,从正六边形开
始,逐次加倍计算到 正96边形,得到(3+(1071))<π<(3+(17)) ,开创了圆周
率计算的几何方法(亦 称古典方法,或阿基米德方法),得出精确到小数点后两
位的π值。
中国数学家刘徽在注 释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求
得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值, 他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形。
南北朝时代数学 家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世
纪下半叶),给出不足近似值3.141592 6和过剩近似值3.1415927,还得到两个
近似分数值,密率355113和约率22/7。其中 的密率在西方直到1573才由德
国人奥托得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲 称之为安托
尼斯率。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保
持近千年的纪录。
德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于
1610年算 到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等 各种π值表达式纷纷出现,π值计
算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位 小数大关。1873
年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从52 8
位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数
值,成为 人工计算圆周率值的最高纪录。
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年 美国马里兰州
阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值,一下子就算到
2037位小数,突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型
和IBM-VF 型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到
小数点后10.1亿位数,创下最新 的纪录。至今,最新纪录是小数点后25769.8037
亿位。
[编辑本段]
【圆周率的计算】
余 古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率 的越
来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
十九世 纪前,圆周率的计算进展相当缓慢,十九世纪后,计算圆周率的世界
纪录频频创新。整个十九世纪,可以 说是圆周率的手工计算量最大的世纪。
进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞 猛进。借助于超
级计算机,人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。
历史上最马拉松式的计算,其一是德国的Ludolph Van Ceulen,他几乎耗
尽了一生的 时间,计算到圆的内接正262边形,于1609年得到了圆周率的35
位精度值,以至于圆周率在德国 被称为Ludolph数;其二是英国的威廉·山克斯,
他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆 周率的小数点后707位,并将其刻在
了墓碑上作为一生的荣誉。可惜,后人发现,他从第528位开始 就算错了。
把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周
率 值,有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值,来计
算一个能把太阳系包起来的 一个圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一。
以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数 。自从1761年兰伯特证明
了圆周率是无理数,1882年林德曼证明了圆周率是超越数后,圆周率的 神秘面
纱就被揭开了。
现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力,还有,就是为了
兴趣。
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【圆周率的计算方法】
古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形 来逼近圆
的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072
边 形得到5位精度;鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算
法计算量大,速度慢,吃 力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究
时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面 挑选一些经典的常用公式加以
介绍。除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来 的公
式,就不一一列举了。
1、马青公式
π=16arctan15-4arctan1239
这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1 706年发现。他利用这个公式计
算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十 进制精度。因
为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机
上 编程实现。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中,马青公式似乎
是 最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,马青公式就力
不从心了。
2、拉马努金公式
1914年,印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周
率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper
用这 个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里 ·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金
公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15 位的十
进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
高斯-勒让德公式:
这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代
20次就够了 。1999年9月,日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆
周率的206,158,430, 000位,创出新的世界纪录。
4、波尔文四次迭代式:
这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。
5、bailey- borwein-plouffe算法
这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe
于1995年共同发表。它打破了传统的圆 周率的算法,可以计算圆周率的任意第
n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供 了可行性。
6、丘德诺夫斯基公式
[1]

这是由丘德诺夫斯基兄 弟发现的,十分适合计算机编程,是目前计算机使用
较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本:


丘德诺夫斯基公式
[编辑本段]
【圆周率的计算历史】






































时间 纪录创造者 小数点后位数 所用方法
前2000 古埃及人 0
前1200 中国 0
前500 《圣经》 0(周三径一)
前250 阿基米德 3
263 刘徽 5 古典割圆术
480 祖冲之 7
1429 Al- Kashi 14
1593 Romanus 15
1596 鲁道夫 20 古典割圆术
1609 鲁道夫 35
1699 夏普 71 夏普无穷级数
1706 马青 100 马青公式
1719 (法)德·拉尼 127(112位正确)夏普无穷级数
1794(奥地利)乔治·威加 140 欧拉公式
1824 (英)威廉·卢瑟福 208(152位正确)勒让德公式
1844 Strassnitzky & Dase 200
1847 Clausen 248
1853 Lehmann 261
























































































1853 Rutherford 440
1874 威廉·山克斯 707(527位正确)
20世纪后
年 月 纪录创造者 所用机器 小数点后位数
1946 (英)弗格森 620
1947 1 (英)弗格森 710
1947 9 Ferguson & Wrench 808
1949 Smith & Wrench 1,120
1949 Reitwiesner et al ENIAC 2,037
1954 Nicholson & Jeenel NORC 3,092
1957 Felton Pegasus 7,480
1958 1 Genuys IBM704 10,000
1958 5 Felton Pegasus 10,021
1959 Guilloud IBM 704 16,167
1961 Shanks & Wrench IBM 7090 100,265
1966 Guilloud & Filliatre IBM 7030 250,000
1967 Guilloud & Dichampt CDC 6600 500,000
1973 Guilloud & Bouyer CDC 7600 1,001,250
1981 Miyoshi & Kanada FACOM M-200 2,000,036
1982 Guilloud 2,000,050
1982 Tamura MELCOM 900II 2,097,144
1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 4,194,288
1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 8,388,576
1983 Kanada, Yoshino & Tamura HITACHI M-280H 16,777,206
1985 10 Gosper Symbolics 3670 17,526,200
1986 1 Bailey CRAY-2 29,360,111
1986 9 Kanada & Tamura HITACHI S-81020 33,554,414
1986 10 Kanada & Tamura HITACHI S-81020 67,108,839
1987 1 Kanada, Tamura & Kubo et al NEC SX-2 134,217,700
1988 1 Kanada & Tamura HITACHI S-82080 201,326,551
1989 5 Chudnovskys CRAY-2 & IBM-3090VF 480,000,000
1989 6 (美)丘德诺夫斯基兄弟 IBM 3090 525,229,270
1989 7 Kanada & Tamura HITACHI S-82080 536,870,898
1989 8 (美)丘德诺夫斯基兄弟 IBM 3090 1,011,196,691
1989 11 Kanada & Tamura HITACHI S-82080 1,073,741,799
1991 8 (美)丘德诺夫斯基兄弟 2,260,000,000
1994 5 (美)丘德诺夫斯基兄弟 4,044,000,000
1995 8 Takahashi & Kanada HITACHI S-3800480 4,294,967,286
1995 10 Takahashi & Kanada 6,442,450,938
1997 7 Takahashi & Kanada 51,539,600,000
1999 4 Takahashi & Kanada 68,719,470,000
1999 9 Takahashi & Kanada HITACHI SR8000 206,158,430,000
2002 金田康正团队 1,241,100,000,000
2009 日本筑波大学 2,576,980,370,000
[编辑本段]
【圆周率的最新计算纪录】
1、新世界纪录
圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于2009年 算出π值
2,576,980,370,000 位小数,这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于2 002
年创造的1,241,100,000,000位小数的世界纪录。
2、个人计算圆周率的世界纪录
11月20日,在位于陕西杨凌的西北农林科技大学,生命科学学 院研究生
吕超结束背诵圆周率之后,戴上了象征成功的花环。当日,吕超同学不间断、无
差错背 诵圆周率至小数点后67890位,此前,背诵圆周率的吉尼斯世界纪录
为无差错背诵小数点后4219 5位。整个过程用时24小时04分。(新华社
报道)
[编辑本段]
【一些数字序列在π小数点后出现的位置】
数字序列 出现的位置
26,852,899,245 41,952,536,161 99,972,955,571
102,081,851,717 171,257,652,369
53,217,681,704 148,425,641,592
432109876543 149,589,314,822
543210987654 197,954,994,289
98765432109 123,040,860,473 133,601,569,485 150,339,161,883
183,859,550,237
42,321,758,803 57,402,068,394 83,358,197,954
1 89,634,825,550 137,803,268,208 152,752,201,245
27182818284 45,111,908,393
[编辑本段]
【PC机上的计算】
1、PiFast
目前PC机上流行的最快的圆周率 计算程序是PiFast。它除了计算圆周率,
还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用 磁盘缓存,突破物理内存的限制进行
超高精度的计算,最高计算位数可达240亿位,并提供基于Fab rice Bellard
公式的验算功能。
2、PC机上的最高计算记录
最高记录:12,884,901,372位
时间:2000年10月10日
记录创造者:Shigeru Kondo
所用程序:PiFast ver3.3
机器配置:Pentium III 1G, 1792M RAM,WindowsNT4.0,
40GBx2(IDE,FastTrak66)
计算时间:1,884,375秒 (21.833333333333333333天)
验算时间:29小时

【C++编译器中的运算程序】
























































微机WindowsXP中Dev- cpp中的运算程序(30000位)(C++)
#include
#include
#include
#define N 30015
using namespace std;
void mult (int *a,int b,int *s)
{
for (int i=N,c=0;i>=0;i--)
{
int y=(*(a+i))*b+c;
c=y10;
*(s+i)=y%10;
}
}
void divi (int *a,int b,int *s)
{
for (int i=0,c=0;i<=N;i++)
{
int y=(*(a+i))+c*10;
c=y%b;
*(s+i)=yb;
}
}
void incr(int *a,int *b,int *s)
{
























































































for (int i=N,c=0;i>=0;i--)
{
int y=(*(a+i))+(*(b+i))+c;
c=y10;
*(s+i)=y%10;
}
}
bool eqs(int *a,int *b)
{
int i=0;
while (((*(a+i))==(*(b+i)))&&(i<=N)) i++;
return i>N;
}
int _tmain(int argc, char *argv[])
{
cout << 正在计算 . . . (0%)
int lpi[N+1],lls[N+1],lsl[N+1],lp[N+1];
int *pi=lpi,*ls=lls,*sl=lsl,*p=lp;
for (int i=0;i<=N;i++)*(pi+i)=*(ls+i)=*(sl+i)=*(p+i)=0;
memset(pi,0,sizeof(pi));
memset(ls,0,sizeof(ls));
memset(sl,0,sizeof(sl));
memset(p,0,sizeof(p));
*pi=*ls=*sl=1;
for (int i=1;true;i++)
{
mult(ls,i,sl);
divi(sl,2*i+1,ls);
incr(pi,ls,p);
if (eqs(pi,p))
{
cout <<
break;
}
int *t;
t=p;
p=pi;
pi=t;
if (i%1000==0) cout << i <<
if(i%1000 == 0)
{
*cout << i1000 <<
if(i%5000 == 0)
cout << endl;*






















































if(i1000 < 11)
{
cout <<
} else {
cout <<
}
cout << i1000 <<
}
}
cout << endl;
cout << 计算完成n正在保存 . . .n
mult(p,2,pi);
ofstream fout(
fout << *pi <<
for (int i=1;i <= N - 15;i++)
{
fout << *(pi+i);
if (i%10==0) fout <<
if (i%80==0) fout << endl;
}
cout << 保存完成n
cout<< 按回车键退出
();
return EXIT_SUCCESS;
}
注:①运行时会有数据弹出,这无关紧要,只为了加快了感觉速度;
注:程序中有语法错误。请高人改正。
[编辑本段]
【背圆周率的口诀】
3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6
山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐尔乐。
4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7
死珊珊,霸占二妻。救我灵儿吧!不只要救妻,一路救三舅,救三妻。
5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7
我一拎我爸,二拎舅(其实就是撕我舅耳)三拎妻。
8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6
不要溜!司令溜,儿不溜!儿拎爸,久久不溜!
(作者华罗庚)
来历:有个教书先生,喜欢喝酒,每次总是给学生留道题,就到私塾的后山
上找山上的老和尚喝酒。这天,他给学生留了道题,就是背这个圆周率,然后自
己提壶酒就到山上的庙 里去了。圆周率位数这么多,不好背啊,其中有个聪明的
学生就想出了一个办法,把圆周率编了个打油诗 :山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,
把酒吃;酒杀尔杀不死,乐尔乐。其实就是3.9793238462 6的谐音。
先生一回来,学生居然都把这个给背了下来,很是奇怪,一想,就什么都明白了,
原 来是在讽刺他呀??
中国人用的是谐音记忆法,外国人(母语为英语的)一般用字长记忆法。例:
3. 1 4 1 5 9
Now I, even I, would celebrate
2 6 5 3 5
In rhymes inapt, the great
8 9 7 9
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
3 2 3 8 4
Who in his wondrous lore,
6 2 6
Passed on before,
4 3 3 8
Left men his guidance
3 2 7 9
How to circles mensurate.

【背圆周率小数点后位数多的人】


背诵圆周率最多的人:日本 人原口证(于2006年10月3日至4日背诵圆周
率小数後第100,000位数,总计背诵时间为1 6个小时半)
一学生背圆周率至小数点后6万位
截至20日14时56分,西北农 林科技大学硕士研究生吕超用24小时零
4分钟,不间断无差错地背诵圆周率至小数点后67890位, 从而刷新由一名
日本学生于1995年创造的无差错背诵圆周率至小数点后42195位的吉
尼 斯世界纪录。
生于1982年11月的吕超,2001年由湖北省枣阳市考入西北农林科
技大学生命科学2005年被推荐免试攻读本校的应用化学硕士学位。他有较强
的记忆能力,特别擅长 背诵和默写数字,通常记忆100位数字只需10分钟。
吕超从4年前开始背诵圆周率,近1年来加紧准 备,目前能够记住的圆周率位数
超过9万位。在20日的背诵中,吕超背诵至小数点后67890位时将 “0”
背为“5”发生错误,挑战结束。
圆周率是一个无穷小数,到目前为止,专家利用 超级电脑已计算圆周率到小
数点后约100万兆位。据介绍,挑战背诵圆周率吉尼斯世界纪录的规则是: 必
须大声地背出;背诵过程中不能给予帮助或(视觉与听觉方面的)提示,也不能
有任何形式的 协助;背诵必须连续,两个数字之间的间隔不得超过15秒;背诵
出错时可以更正,但更正必须是在说出 下一个数字之前;任何错误(除非错误被
立刻更正)都将使挑战失败。因此,吕超在背诵前进行了全面体 检,并由家长签
字同意,背诵过程中还使用了尿不湿和葡萄糖、咖啡、巧克力来解决上厕所和进
食等生理问题。
东方网11月25日消息:昨日,记者从西北农林科技大学获悉,该校学生吕< br>超于去年11月成功创造的“背诵圆周率”吉尼斯世界新纪录,最近被英国吉尼
斯总部正式认可, 并于今年10月26日向吕超颁发了吉尼斯世界纪录证书。在背
诵圆周率的吉尼斯纪录历史上,第一次留 下了中国人的名字。
现年24岁的吕超是西北农林科技大学理学院应用化学专业在读硕士生。< br>2005年11月20日,吕超经过连续24小时04分的艰苦努力,无差错背诵圆周
率达到小数 点后第67890位,打破了“背诵圆周率”吉尼斯世界纪录。此前,背
诵圆周率的吉尼斯世界纪录,为 无差错背诵小数点后第42195位,是日本人友寄
英哲于1995年创造的。
据了解 ,吕超于2004年利用各种记忆方法开始准备背诵圆周率。2005年暑
假,他每天花费10多个小时 对圆周率反复记忆、复习,经过两个多月的准备,
能够准确背诵小数点9万位以上,遂决定向“背诵圆周 率”世界纪录发起挑战。
2006年1月初,吕超向英国吉尼斯总部寄送了全部申报材料。经过 详细审
核,2006年10月,吉尼斯总部正式认可吕超的挑战纪录,并向吕超颁发了吉尼
斯世 界纪录证书。
昨日面对鲜花和来自老师、同学们的掌声,吕超格外激动地说:“这是我们
集体的荣誉,收获最大的不是这个成绩,而是创造这个纪录的过程。”
吕超透露,在练习背诵 圆周率过程中,他多次想到了放弃,背到第二周的时
候开始失眠,背到一个月的时候掉头发。但为了实现 目标,最终还是坚持下来。
当问及下一步是否还打算刷新自己保持的纪录时,吕超说:“没必要 把这个
纪录一次次刷新。我希望有更多人具备这个能力,这是对人类记忆能力的一种挑
战。”
3月14日,在英国牛津大学科学历史博物馆礼堂内众多专家和观众面前,
为了替英国“癫 痫症治疗协会”募集资金,英国肯特郡亨里湾的丹尼尔·塔曼特
在5小时之内成功地将圆周率背诵到了小 数点后面22514位!据悉,塔曼特是世
界上25位拥有这项“惊人绝技”的记忆专家之一!
据报道,现年25岁的塔曼特是在小时候患了癫痫症后,才突然发现自己拥
有“记忆数字” 的惊人能力的。长大并战胜自己的疾病后,塔曼特成了一名记忆
专家,他不仅精通多种语言,还成立了一 间“记忆技巧公司”。
塔曼特是欧洲背诵圆周率小数点后数字最多的人,但却并不是世界第一。 据
称,最厉害的人是一名马来西亚大学生,他曾在15小时内将圆周率背诵到小数
点后6705 3位.
[编辑本段]
【与π有关的等式】
(π^2)6 = 11^2 + 12^2 + 13^2 + ······ + 1n^2 + ······
e^(πi) + 1 = 0
e^(-x^2) 在-∞到+∞上的积分是√π
sinxx 在0到∞上的积分是π2
[瓦里斯公式] π2 = lim (n→∞) [ (2n)!! (2n-1)!! ]^2 (2n+1)


祖冲之和圆周率的计算

任务
通过对“圆周率”级数求法的一种算法的介 绍,掌握运
用“累加器”算法求解级数问题的一般方法。

所谓“圆周率”是指一个 圆的周长与其直径的比值。古今中外,许多
人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好 的近似值,
一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
一、计算圆周率的各种方法
早在我国的三国时代,数学家刘徽就用“割圆术”求出了比较精确 的
圆周率。他发现:当圆内接正多边形的边数不断增加后,多边形的周长会
越来越逼近圆周长, 而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是,刘徽
利用正多边形面积和圆面积之间的关系,从正六边形 开始,逐步把边数加
倍:正十二边形、正二十四边形,正四十八边形??,一直到正三○七二
边 形,算出圆周率等于三点一四一六,将圆周率的精度提高到小数点后第
四位。

祖冲 之(公元429-500年),是中国南北朝时期著名的数
学家、天文学家。他在刘徽研究的基础上,进 一步地发展,经
过既漫长又烦琐的计算,一直算到圆内接正二四五七六边形,
而得到一个结论: 圆周率的值介于三点一四一五九二六和三点
一四一五九二七之间,成为世界上最早把圆周率推算出七位数
字的科学家,直到一千年以后,才有西方的数学家达到和超过
祖冲之的成就。同时,他还找到了 圆周率的约率:22∕7、密率:
355∕113。
以前人们计算圆周率,是要探究圆周率是 否循环小数。自从1761年
Lambert证明了圆周率是无理数,1882年Lindemann证 明了圆周率是超越
数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在人们计算圆周率,多是为了验
证计 算机的计算能力。
古人计算圆周率,一般是用割圆法。但这种基于几何的算法计算量大,
速度 慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意
无意地发现了许多计算圆周率的公式 。我们选取其中的一个公式,用VB
编程来实现这个公式。
英国天文学教授John Mac hin于1706年发现了一个计算圆周率的公
式,称为Machin公式,他利用这个公式计算到了1 00位的圆周率。
还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
以下即为Machin公式:


分析其中的arctgx公式可以知道, 这是一个级数公式,而在程序设
计中则可以用一个“累加器”算法来实现。
用流程图来表现, 则在流程图中,必定有判别框,并根据判别条件成
立与否分别设置了重复部分操作内容的分支流程。

二、算法的程序实现
为了实现这个算法,则需要编制相应的程序,在程序中除了需 要用到
赋值语句、输入输出语句、其它计算语句外,还必须用到循环语句。
范例:我使用VB来编写程序实现这个算法。
算法中用到了一条输入语句、两个循环语句、一个输出语句以
及多个赋值语句。
(1)建立窗体和输入、输出、命令按钮组件对象。
(2)编写“Command1”触发的程序代码。
在“Private Sub command1_click()”和“End Sub”之间输入以下
的程序代码。
Dim i As Integer, n As Integer, pi As Double, arc1 As Double, arc2 As Double, x As Single
i =
x = 1 5
arc1 = 0
For n = 1 To I
arc1 = arc1 + (-1) ^ (n - 1) * x ^ (2 * n - 1) (2 * n - 1)
Next
x = 1 239
arc2 = 0
For n = 1 To I
活动建议
你能直接
画出这个算法
的流程图吗?
arc2 = arc2 + (-1) ^ (n - 1) * x ^ (2 * n - 1) (2 * n - 1)
Next
pi = 16 * arc1 - 4 * arc2
n = pi
第一行,定义了两个整数类型的数值变量I和n,一个单精度浮点数
变量x,以及三个双精度浮 点数变量pi、arc1和arc2。其中pi用于表示圆
周率的值。
第二行,将text1文本框中的数据转换为整型数值并赋值给整型变量
i.。
第三行,将x赋值为“15”。
第四行,将arc1赋值为“0”。因为arc1是一个乘加器,所以其初值
应该是0。
第五行,表示开始一个循环,循环变量n从1开始,步长为1,依次
取值到I,一共循环I次。
第六行,arc1 = arc1 + (-1) ^ (n - 1) * x ^ (2 * n - 1) (2 * n - 1),
这是一个累加器的算法,它将变量arc1的原值加上表达式 的值,然
后将加法运算的结果重新赋值给变量arc1作为arc1的新值。
Machin公式中的级数代数式,转换成表达式则为:
(-1) ^ (n - 1) * x ^ (2 * n - 1) (2 * n - 1)
第七行。NEXT,表示循环变量n增 加一个步长的值1,然后判断“n<=I”
是否成立,如果成立则继续循环,否则不再循环直接执行下一 个语句。
第八行,将x赋值为“1239”。“Loop While I<=n”表示当I<=n成 立
时继续循环,从第五行“Do”的下面一行继续执行。如果I<=n不成立,
即I比n大时, 则不再循环,直接执行下一行即第九行的语句,从而结束
循环。
第九行,将arc2赋值为“0”。Arc2也是一个乘加器。
第十~十二行,通过循环计算arc2的值。
第十三行,pi = 16 * arc1 - 4 * arc2。通过Machin公式计算圆周率的
值。
第十四行,将表示圆周率的变量 pi的值赋值给“Label1”组件对象的
“Caption”属性,输出圆周率。
(3)运行程序。
将第一个文本框中的“Text1”删除,重新输入“9”;然后单击“Command1”,就能在原来“Label1”的位置上输出pi的值
“3.82”。输入“ 10”时,输出pi的值“3.815”。
输入“1000”时,输出pi的值仍为“3.815”。说 明,应该这
个程序,当n大于10时,在双精度浮点数的数值范围内,圆周率的精度
至少可以达 到小数点后的14位。
活动建议
想一想:能否根
据VB源程序,
画出相对 应的
实现machin公
式流程图呢?
活动建议
寻找更多
的计算圆周率
的公式?
选择其中
一个画出流程
图。

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