生物高中公式PI值计算方法1

计算圆周率的一些公式 -|waruqi 发表于 2005-12-8 9:24:00


Machin公式



这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式
计算到了100 位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精
度。因为它的计算过程中被乘数 和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在
计算机上编程实现。
还有很多类似于Machin公式的反正切公式:
pi4=arctg(12)+arctg(15)+ arctg(18) 1844.达塞利
= arctg(12)+ arctg(13)
=2 arctg(13)+ arctg(17)
=12 arctg(118)+8 arctg(157)-5 arctg(1239)
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最 快的了。虽然如此，如果要计算更多
的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。下面介绍 的算法，在PC机
上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现
起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Four
ier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n
2
)缩短为O(n l
og(n))。
（FFT算法不在此文讲诉）

Ramanujan公式

1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共1
4条 圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十
进制精度。1985年Gos per用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：


这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnov sky
公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：



AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
Gauss-Legendre公式：
初值：

重复计算：





最后计算：

这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭 代
20次就够了。1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的2< br>06,158,430,000位，创出新的世界纪录。
Borwein四次迭代式：
初值：

重复计算：



最后计算：



这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收
敛于圆周率。

Bailey- Borwein-Plouffe算法

这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plo uf
fe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意
第n位 ，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1
997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：


（此上文为转载并改编）
计算pi的另一些公式:
1、

作家勃朗爵士（1620-1684）
4pi=(3*3*5*5*7*7*9*9*…)(2*4*4*6*6*8*8*10*.,..)
并由数学家瓦利斯于1655年变换为连分数：
4pi=1+ 1^2
——————————————
2+ 3^2
——————————
2+ 5^2
——————
2+………

2、pi=3+ 1
————————————————
7+ 1
————————————
15+ 1
————————
1+ 1
——————
292+……..
=[3,7,15,1 ,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,……..]
(南巴特.1770)
由此得近似数：
31，227，33106，355113，1，1，…….


3、司徒.1833
pi2=1- 1
————————————————
3-

2*3
————————————
1-

1*2
————————
3- 4*5
————————
1-

3*4
——————
3-………
4、pi=2+13*(2+25*(2+37*(2+ ……（2+k(2k+1)*( 2+….)）)……..)))….
(当k=2799时可精确到800位)
5、pi6=1 2+12*1(3*2^3)+((1*3)(2*4))*(1(5*2^5))+……
6、e^(pi*i)+1=0 (欧拉公式，也称世界上最杰出的公式)
7、4pi=1+ 1
————————————
3+ 4
——————————
5+ 9
————————
7+……….
8、1+(12)^2+(13)^2+(14)^2+….(1n)^2=pi^26
9、1+(12)^4+(13)^4+(14)^4+….(1n)^4=pi^490
10、1+(12)^6+(13)^6+(14)^6+….(1n)^6=pi^6945
11、1+(12)^8+(13)^8+(14)^8+….(1n)^8=pi^89450 12、1+(12)^10+(13)^10+(14)^10+….(1n)^10=pi^109355 5






投针试验------- 计算π的最为稀奇的方法之一 -|waruqi 发表于 2005-
12-8 18:39:00

计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·蒲丰 和他的投
针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，
扔到画 了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则
是不利的．

蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表
示式．如果针的长度等于d ，那么有利扔出的概率为2π．扔的次数越多，由
此能求出越为精确的π的值．

公 元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．14
15929——准确 到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实
验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦 伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、
微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！