能量子公式人教版必修二 直线的倾斜角和斜率(教案)

直线的倾斜角和斜率(教案)

一、内容和内容解析
内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。
内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线 的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解
析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一 ，是刻画直线倾斜程度的
几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。本课不仅要理解两个概 念、得到一
个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。本课有着开启全< br>章，奠定基调，渗透方法的作用。
倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。课本结合具体图形 ，在探索确定直线位置的
几何要素中给出倾斜角概念。
斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度 。课本借助“坡度”引出斜率概念。定义给出了
直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的 几何要素与代数表示的关系。
直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就 可以用直线上
两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。
“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。
教学重点：斜率概念及公式。
二．目标和目标解析
目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间 的关系；掌握
过两点的直线的斜率公式。
目标解析：
1．在平面直角坐标系中，结 合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线
的倾斜角概念。结合动画演示，明确倾斜角的取 值范围。
2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。
3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率 的两个计算公式，
求出直线的斜率。
4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。
三．教学问题诊断分析
1．两点确定一条直线是学生知道的。但如何认识直角坐标系这一“参 照系”下确定直
线的几何要素，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直 线
之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何
描 述这个量，最后形成倾斜角的概念。
2．引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度 概念），引导学生把这
个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜 率的概念。
因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以应将重点放在引导学生体会如何从形转化到数< br>的过程上，知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度。
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3．在学 习完倾斜角、斜率的概念及其关系后，再来探究已知两点求直线的斜率公式时，
学生不会觉得困难。需要 注意的是要通过对有坐标系决定的直线的四类位置及
P
1
，
P
2两点位
置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想。
教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解。
四．教学条件支持
为了有效实现教 学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生
活中的相关实物图片，从激励学生 探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生
动性。
五．教学过程设计
（一）开篇语
引导性语言：在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上 或向下
的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数
形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算
研究几何图 形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世
纪法国数学家笛卡儿和费 马创立的。课后请同学们阅读课本P
111
《笛卡儿与解析几何》，进一
步了解解析几 何。
那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右
或 左的抛物线，圆等等。
设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导 学生用“坐
标法”的思想来思考新的问题。
（二）课题引入
引导性语言：我们先研 究坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直
线位置的几何要素，然后在坐标系中用代 数的方法把几何要素表示出来。
设计意图：使学生明确本课学习的内容。
（三）探究新知
1．倾斜角概念
问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线
l
，你认 为它的位置由哪些条件确定？
设计意图：明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。
师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。
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问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P
1
的不同直线的区别
在哪里？ < br>设计意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。
从而发现直线上一点和直线的倾斜 程度也能确定一条直线。
问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用 一个什么几何
量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。
师生活动：引导学 生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上。启发学生发现可以用
直线与x轴的夹角来描述直线的 倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念。
问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？
设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。
师生活动：学生思考作答，教师可借助多媒体课件的直观演示，让学生明确倾斜角的范围。
问 题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面
直角坐标系中一 条直线位置的几何要素是什么？
设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 点以及它的倾斜角，
两者缺一不可。
师生活动：通过多媒体课件的演示，引导学生明确每条直 线都有倾斜角，在已知一点和一个
倾斜角的情况下，唯一确定一条直线。
2．斜率概念
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引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素 ，那么如
何用代数的语言描述上述几何要素呢？
设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。
问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？
设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。
师生活动 ：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时给出游乐场里的水滑梯，
大桥的引桥等教学情 景。

问题7：（1）观察图4对应的几何图形（图5，6），我们发现坡越陡，坡面与地 平面所成的
角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？
（2）观察图7，坡面与 地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那
么你认为这个角的变化与升高量和前进量之 间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子
来表示它们之间的关系？
设计意图：引导学生发现，坡的陡峭程度与升高量和前进量有关。
师生活动：学生观察图片并交流，教师参与讨论。
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问 题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜
角α的正切值” 。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？
设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。
师生活动：从实际图片 中抽象出几何图形，然后观察升高量和前进量的变化引起坡度改变的
过程。再引导学生得出坡度的计算方 法，坡度（比）=。最后通过类比，引导学生
把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起 来，从而引入“斜率”这一概
念。
问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？
设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

师生活动：引导学生发现斜率是倾斜角的正切值，因此结合函数
图象（图8），学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系。引导学生发现不是所有直线都有斜率。

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3．斜率公式
问题10：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，那 么你能用直
线上两点
P
1
(
x
1
,
y1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)（其中
x
1
≠
x
2
）的坐标来表示该直线的斜 率吗？
设计意图：让学生自己探索发现：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系。
师生活 动：教师给出直线上两点的坐标，请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面完成；
学生根据斜率的定义 ，通过构造直角三角形推算出斜率公式。师生共同评析。

问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

设计意图： 通过自己的探索，完善两点式斜率公式
k
=（
x
1
≠
x2
），检验得到公式与
P
1
，
P
2
两点的顺序 无关。
师生活动：总结两点式斜率计算公式：
k
=
（四）应用举例
（
x
1
≠
x
2
）。
例1.如下图，已知
A
(3，2),
B
(-4，1),
C
（0，-1）,求直线
AB
，
BC
，
CA
的斜率，并判断这些
直线的倾斜 角是锐角还是钝角。
设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。
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师生活动：学生动笔计算出答案教师引导学生可以结合倾斜角和斜率的函数关 系图，分析倾
斜角和斜率的关系。

变式1.直线的斜率为
k
，倾斜角为α，若＜α＜，则
k
的范围（ ）
A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
变式2.设直线的斜率为
k
，倾斜角为α，若-1<
k
<1，则α的取值范围是 （ ）
A．（-,） B. C.（0，）∪（，）D.
设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。
例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直
线。
设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。
师生活动： 引导学生根据已知条件分析解决方法，因为直线过原点，所以只要再找出另外一
点直线就可以确定了。在 推导斜率公式时，学生已经知道，斜率
k
的值与直线上的两点位置
无关，因此，由已知 直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点，比如可以使其横坐标等于
1，给计算带来方便。
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（五）课堂小结
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什么关系？
（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜 率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这
个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活 动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用
确定直线的两种方法 ，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体
现了数形结合的数学思想。强调“ 坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
六、目标检测设计
1．已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。
2．已知直线
y
=
x
sinθ-1，求该直线倾斜角范围。
3．在
x
轴上有一点
P
与
Q
（2，）倾斜角为150o
,求点
P
坐标。
4．求证：点
A
（-2，3），< br>B
（7，6），
C
（4，5）在一条直线上。
设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。

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