余弦倍角公式高中数学直线的斜率怎么求？

高中数学直线的斜率怎么求？
直线与方程
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倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向
与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x
轴平行或重合时,规定 α=0°.
2、倾斜角 α 的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线 l 与 x 轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字
母 k 表示,也就是 k=tanα
⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线 l 与 x 轴垂直时,α=90°,k 不存在.
由此可知,一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：
斜率公式:k=y2-y1x2-x1
两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那幺它们的斜率相等；
反之，如果它们的斜率相等，那幺它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少
这个前提，结论并不成立．即如果 k1=k2,那幺一定有 L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那幺它们的斜率互为负倒数；
反之，如果它们的斜率互为负倒数，那幺它们互相垂直，即
直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为
2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为
直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点其中 y-y1y-y2=x-x1x-x2
2、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为 A，与轴的交点为 B，其中
直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B 不同时为 0）
2、各种直线方程之间的互化。
直线的交点坐标与距离公式
两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1：3x+4y-2=0 L1：2x+y+2=0
解：解方程
得 x=-2，y=2
所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）
1、两点间距离
两点间的距离公式
2、点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：
直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处
理这些问题，可以大大简化解题速度．
1 借助直线的斜率巧解应用题例 1 某校一年级为配合素质教育，利用一
间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将
装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 α(90°≤α＜180°)镜
框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 am，bm(a＞b)．问学生距离镜
框下缘多远看画的效果最佳？解 建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框
边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)
(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值．由三角函数的定义
知：A、B 两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线
AC、BC 的斜率分别为：
kAC=tanxCA=，．于是 tanACB=由于∠ACB 为锐角，且 x＞0,则
tanACB≤，当且仅当=x，即 x=时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的
点为 C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最
佳．点评 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率
公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查
了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立
恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成
求 tanACB 的最大值，从而转化为有关斜率的问题．
2 借助直线的斜率比较大小例 2 设 M=，则 M 与 N 的大小关系为( )
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法判断
解析 将问题转化为比较 A(－1，－1）与 B(102001，102000）及
C(102002，102001）连线的斜率大小，因为 B、C 两点的直线方程为 y=x，
点 A 在直线的下方，∴kAB＞kAC,即 M＞N．答案：A．点评 如果此题按
常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接
明了，易处理．
3 借助直线的斜率求直线的方程例 3．过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x,y 的正
半轴于 A,B 两点，求（1）△ABO 面积的最小值，及相应的直线方程；（2）
若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．解析 显然直线效率存在，
设直线方程为 y-1=k(x-2)(k∵k4 构造直线斜率证明不等式问题例 4．已知
a、b、m 都是正实数，并且 a0 和 0 点评 这是新教材高二数学上册上的
一道例题．教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构
造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借
助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式．
5 构造直线斜率解决变量或参数范围问题例 5 若在圆上运动，求的取值
范围．解 因为是直线 OP（的斜率，在圆上，当 p 点是由原点 O 向圆作切
线的切点时，取到最大值与最小值．设直线 OP 的斜率为 k，直线 OP 的方程
为 y=kx，圆心 C 的坐标为，半径为．由于圆心 C 到切线的距离等于半径，
于是可得方程：，解得．所以的取值范围为．点评 可以看成是点与原点连
线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设 k=，得函数 y=kx．于是
所求的取值范围问题就可以转换为求函数 y=kx 所对应直线的斜率的取值范围
问题．

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