圆环的计算公式巧用点差法公式解决中点弦问题

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巧用点差法公式解决中点弦问题

作者：傅景华

来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第22期

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。 解
题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问
题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的
两端点 坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点
相关的式子，再结 合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
一、抛物线
【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于M、N两 点，点P
（x0，y0）是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN·y0=m。
注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.
例1设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论。
⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。
解析：⑴∵x2=12y，∴p=14，F（0，18）。
设线段AB的中点为P（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0
若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的
焦点F 。
若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kAB=-1k。
由1kAB·x0=p得：-kx0=14，∴x0=-14k。
若直线l经过焦点F，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。
∴当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F。
综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。
⑵当x1=1 ，x2=-3时，A（1，2），B（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.