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圆环的计算公式巧用点差法公式解决中点弦问题

作者:高考题库网
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2020-09-17 06:38
tags:斜率公式

记叙的作用-恐怖图片吓死人看5秒


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巧用点差法公式解决中点弦问题

作者:傅景华

来源:《中学课程辅导·教学研究》2013年第22期

解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,而其中的计算往往是非常困难的。 解
题过程中,常设一些量而并不解出这些量,利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问
题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法,是由弦的
两端点 坐标代入圆锥曲线的方程,得到两个等式,两式相减,可以得到一个与弦的斜率及中点
相关的式子,再结 合有关条件来求解,这就可以降低解题的运算量,优化解题过程。
一、抛物线
【规律探踪】在抛物线y2=2mx(m≠0)中,若直线l与抛物线相交于M、N两 点,点P
(x0,y0)是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN·y0=m。
注意:能用这个公式的条件:①直线与抛物线有两个不同的交点;②直线的斜率存在.
例1设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论。
⑵当x1=1,x2=-3时,求直线l的方程。
解析:⑴∵x2=12y,∴p=14,F(0,18)。
设线段AB的中点为P(x0,y0),直线l的斜率为k,则x1+x2=2x0
若直线l的斜率不存在,当且仅当x1+x2=0时,AB的垂直平分线l为y轴,经过抛物线的
焦点F 。
若直线l的斜率存在,则其方程为y=k(x-x0)+y0,kAB=-1k。
由1kAB·x0=p得:-kx0=14,∴x0=-14k。
若直线l经过焦点F,则得:18=-kx0+y0=14+y0,y0=-14,与y00相矛盾。
∴当直线l的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F。
综上所述,当且仅当x1+x2=0时,直线l经过抛物线的焦点F。
⑵当x1=1 ,x2=-3时,A(1,2),B(-3,18),x0=x1+x22=-1,y0=y1+y22=10.

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