平均利润公式高考平面解析几何专题突破

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第一部分 考试要求
直线和圆的方程
(1> 理解直 线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并
能根据条件熟练地求出直线方程。
b5E2RGbCAP
(2> 掌握两条直线平行与垂 直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的
位置关系。p1EanqFDPw
(3> 了解二元一次不等式表示平面区域。
(4> 了解线性规划的意义.并会简单的应用。
(5> 了解解读几何的基本思想，了解坐标法。
(6> 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。
圆锥曲线方程
(1> 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
(2> 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
(3> 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
(4> 了解圆锥曲线的初步应用。
<一）直线与圆知识要点
１．直线的倾斜角与斜率k=tgα<
斜率的求法：
依据直线方程
依据倾斜角
依据两点的坐标
２．直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。
３．两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。<斜率相等还有可能重合）
４．两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。
５．点到直线的距离公式。
６．会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。
７．曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。
８．
圆的标准方程：(x－a>+(y－b>=r
圆的一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。
22
222
），直线的倾斜角α一定存在，范围是[0,π），但斜率不一定存在。
圆的参数方程：
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掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
(二>圆锥曲线
1．椭圆及其标准方程：
２．双曲线及其标准方程：

３．抛物线及其标准方程：

4．直线与圆锥曲线：
注意点：

<1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
<2）要学会变形使用两点间距离公式
当已知直线 的斜率 时，公式变形为
当已知直线的倾斜角 时，还可以得到
或
或
，
；
<3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。
<4）会在任何条件下求出直线方程。
<5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解读几何中的一些常用结论：
1.直线的倾斜角α的范围是[０，π>
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：
当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角α的增大而增大。
当α是钝角时，k与α同增减。
3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
4.两直线：L
1:
A
1
x+B
1
y+C
1
=0 L
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0 L
1
⊥L
2
5.两直线的到角公式：L
1
到L
2
的角为θ，tanθ=
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A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
DXDiTa9E3d
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夹角为θ，tanθ=|
7.有关对称的一些结论
| 注意夹角和到角的区别
6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
点<ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x的对称点分别是
<ａ，－ｂ），<－ａ，ｂ），<－ａ，－ｂ），<ｂ，ａ）
如何求点<ａ，ｂ）关于直线Ax+By+C=0的对称点
直线Ax+By+C=0关于ｘ轴、ｙ 轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点<ａ，ｂ）对称的直线方
程又是什么？RTCrpUDGiT
如何处理与光的入射与反射问题？
８．曲线f(x,y>=0关于下列点和线对称的曲线方程为：
<１）点(a.b>
<２）ｘ轴
<３）ｙ轴
<４）原点
<５）直线y=x
<６）直线y=－x
<７）直线x＝ａ
９．点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x
0
,y
0
>,圆的方程：(x－a>+(y－b>=r.
如果(x
0
－a>+(y
0
－b>>r
2
2
22
222
2
2
222
点P(x
0
,y
0
>在圆外；
点P(x
0
,y
0
>在圆内；
点P(x
0
,y
0
>在圆上。
2222
如果 (x
0
－a>+(y
0
－b> 如果 (x
0
－a>+(y
0
－b>=r
10．圆上一点的切线方程： 点P(x
0
,y
0
>在圆x+y=r上，那么过点P的切线方程为：x
0
x+y
0
y=r.
5PCzVD7HxA
11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与ｘ轴垂直的直线。
12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形 解决弦长问题。
ｄ>r相离 d=r相切 djLBHrnAILg
13．圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径 分别
为r,R
xHAQX74J0X
d>r+R
d＝r+R
d＝|R－r|
d<|R－r|
两圆相离
两圆相外切
两圆相交
两圆相内切
两圆内含
|R－r| d=0，两圆同心。
14. 两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C
1
的方程为：x+y+D
1x+E
1
y+C
1
=0.
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22
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圆C
2
的方程为：x+y+D
2
x +E
2
y+C
2
=0.
把两式相减得相交弦所在直线方 程为：(D
1
-D
2
>x+(E
1
-E
2
>y+(C
1
-C
2
>=0
15. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
16. 焦半径公式：在椭圆
(1>
|PF
1
|=a+ex
0
|PF
2
|=a-ex
0




22
＝１中，F
１
、F
２
分别左右焦点，P( x
0
,y
0
>是椭圆是一点，则：
(2> 三角形PF
１
F
２
的面积如何计算
17．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
18．直线y=kx+b和圆锥曲 线f(x,y>=0交于两点P
1
(x
1
,y
1
> ,P< br>2
(x
2
,y
2
>则弦长P
1
P
2
=
19. 双曲线的渐近线的求法<注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。
20. 抛物线中与焦点有关的一些结论：<要记忆）
解题思路与方法：
高考试卷中的解读几何 的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解读几何没有
中档题. 且解读几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最
重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：
Zzz6ZB2Lt k
<1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意 开口方向，这是减少
或避免错误的一个关键。
dvzfvkwMI1
<2）在考 查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别
式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运 算并准
确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过 图形求解. 当直线与圆锥
曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式>；涉及弦长的中点问题，常用“差分
法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系 起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量
间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 。
rqyn14ZNXI
<3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符 合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简
捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可 反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。
EmxvxOtOco
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲 线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为
LDAYtRyKfE
mx
2
+
ny
2
=1(
m
＞0,
n＞0>。
SixE2yXPq5
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
<4）在 解与焦点三角形<椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使
用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
6ewMyirQFL
<5）要熟练掌握 一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应
用。< br>kavU42VRUs
<6）求动点轨迹方程是解读几何的重点内容之一，它是各种知识的 综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程
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的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方
法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注 意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、
化简、确定点的范围。
y6v3ALoS89
<7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。
第二部分 解读几何中的范围问题<研究性学习之二）
在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的 取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长<或实轴长）、短
轴长<或虚轴长）等有关参量的取值范围， 是解读几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思
路，首先寻觅出<或直接利用 ）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻
觅所给问题中 相关不等式的主要途径和策略作以研讨。
M2ub6vSTnP
一、“题设条件中的不等式关系”之运用
事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐 蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为
探索或寻觅范围的切入点而提供方便。 在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往
成为解题的关键环节.< br>0YujCfmUCw
例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A<1，0），点P、Q在双曲线右支上 ，点M1.
eUts8ZQVRd
<1）若直线AP的斜率为k，且
<2）当
，求实数m的取值范围；
时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.
分析：对于<1），已知直线AP的斜率k的 取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于
<2），则要利用三角形内心的性质 ，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；
三角形面积等于半周 长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.
sQsAEJkW5T
解：
<1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1>，即kx－y－k＝0
∵点M到直线AP的距离为1
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∴ ①
∵
∴ ，
解得 或
∴所求m的取值范围为 .
<2）根据已知条件设双曲线方程为
当
∵A(1,0>，
时，点M的坐标为<
，
）.

∵点M到直线AP的距离为1，
∴△APQ的内切圆半径r＝1，
∴∠PAM＝45°，
<不妨设点P在第一象限）
∴直线PQ的方程为
直线AP的方程为y＝x－1
因此解得点P的坐标为< ）
，
将点P坐标代入双曲线方程 得
∴所求双曲线方程为
即 .

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点评：这里的<1），是题设条件中明显的不等关系的运用；
这里的<2），审时度 势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不
可总想 利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.
GMsIasNXkA
例2、设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线 垂直.
<1）求实数m的取值范围；
<2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.
分析：对于<1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设 知，椭圆方程为第一标准方程，因而这
里应有
对于<2），欲求直线
解：
<1）由题设知
设点P坐标为 ，则有

， 便是特设条件中隐蔽的不等关系.
TIrRGchYzg
的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.

化简得 ①
将①与 联立，解得
∵m>0，且
∴m≥1
即所求m的取值范围为

.
<2）右准线L的方程为
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设点
∴ ②
<ⅰ）将 代入②得
③
又由题设知
∴由③得

，无解.
<ⅱ）将 代入②得
④
∴由题设得
由此解得m＝2

从而有
于是得到直线 的方程为


对于<2），以求解点P坐 点评：对于<1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式
标 为方向，对已知条件 进行“ 数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基
本策略.
7EqZcWLZN X
二、“圆锥曲线的有关范围”之运用
我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线 的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在
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lzq7IGf02E
例、以
<1）过
为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点
作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；
<2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.
解：
<1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得
设A(－a,0>，B(a,0>，则∠AMB为直线AM到BM的角，
又
∴利用公式得 ①
此时注意到椭圆离心率的范围：0 ∴ ②
∴由①②得
由此解得
<2）设椭圆上存在点P使∠APB＝120°
基于椭圆的对称性，不妨设点P 则有x>0，y>0
∴根据公式得
整理得 ①
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，
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又这里 ②
∴②代入①得 ③
④ 此时注意到点P在椭圆上，故得
∴由③④得
⑤
由⑤得 ⑥
于是可知，当
当
时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为
时，点P不存在.
；
三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用
在直线与曲线相交问题中，直线与 某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因
此，对于有关一元二次 方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出
该量的 不等式的原始不等关系。
zvpgeqJ1hk
例1、已知椭圆的一个顶点A(0,－1>，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为 0的直线l
与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。< br>NrpoJac3v1
解：<既设又解）设右焦点F(c,0>，则由
又b＝1，∴
∴椭圆方程为

①

设直线l的方程为y＝kx＋m ②

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将②代入①得
由题意

③
且 ④
∴

∴点P坐标为
又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有

⑤
于是将⑤代入③得


因此可知，所求k的取值范围为 .

例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点
A、B两点，交x轴 于点M，又
<1）求直线l的方程；
<2）求椭圆C的长轴长的取值范围.
解：
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且方向向量为 的直线l交椭圆C于
1nowfTG4KI
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<1）由题意设椭圆C的方程为 .
∵直线l的方向向量为
∴ 亦为直线l的方向向量
∴直线l的斜率
因此，直线l的方程为
即
<2）设
将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得


由题设
①
且 ②
又这里M(1,0>
∴由 得
∴
进而由③得
∴由④得
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③
④
⑤



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∴②代入⑤得



⑥
⑦
注意到由⑥得
故由⑦得

因而得1 ∴由⑦解出 代入①并利用⑧得



⑨
另一方面，再注意到 ，
再由⑦得
.
因此有
即所求椭圆C的长轴的取值范围为 .
点评：欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围，需要利 用或挖掘题目中的不等关系.在这里，我们由
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导出关于a、b的等 式⑦之后，一方面利用了本题中人们熟知的△>0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方
程 中的大小关系：a>b>0，双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键 .
fjnFLDa5Zo
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用
所给问 题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点
等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件 为：
tfnNhnE6e5
1、
2、
3、
4、
，过点

例、已知椭圆的焦点为
又椭圆上不同两点A、C满足条件：
<1）求椭圆的方程；
且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，
成等差数列.
HbmVN777sL
，
<2）设弦AC的垂直平分线方程为y＝kx＋m，求m的取值范围.
解：
<1）由题设得2a＝10，c＝4
∴a＝5，b＝3，c＝4
∴椭圆方程为
<2）<设而不解）设
则由题意得




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①
故有点
∵A、C在椭圆
∴

两式相减得


上
②
∴由①及所设得 ③
∴弦AC的垂直平分线方程为

∴由题意得 ④
注意到当x＝4时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部
故得 ⑤
于是由④、⑤得
∴所求的取值范围为
点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思 想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造
弦的斜率，以我对这一解的认知 决定解题策略……，本解法以运用自设参数为主而将所给的y＝kx＋m放在十分次要的位
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置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一 想：这里为什么可以不用直线
方程y＝kx＋m与椭圆方程联立。
V7l4jRB8Hs
五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用
“相等”与“不等”是辩证 的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的
“相等” 关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的 不
等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：
1、 2、

83lcPA59W9
例、已知双曲线
距离与
的左、右焦点分别为
成等比数列，求离心率e的取值范围.
mZkklkzaaP
、 ，若在其左支上存在点P且点P到左准线的
分析：寻求e的范围的一般途径为
<1）认知或发掘出本题的不等关系；
<2）将<1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；
<3）将<2）中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.
其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径
知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系：
解：
<1）确立不等关系
注意到这里
<2）不等关系演变之一
设左支上的点P到左准线的距离为d，
则由题意得
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的问题，定义中明朗的等量关系：
则是寻求参量范围的重要依据。
AVktR43bpw
是认
①
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<变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系）
∴ ②
又点P在双曲线左支上
∴ <点P在左支这一条件的应用） ③
∴由②③解得 ④
∴将④代入①得
<3）不等关系演变之二：
由⑤得
故解得

⑤
于是可知，所求离心率e的范围为
第三部分 直线与圆锥曲线问题的解题策略<研究性学习
之一）
众所周知，直线与圆锥曲线的问题， 是解读几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。
多年备考的实践经验告诉我 们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：
ORjBnOwcEd
<1）条件或目标的等价转化；
<2）对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化
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解题的过程是一系列 转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的
基础是认知 ——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转
化。
2MiJTy0dTT
1、化生为熟
化生为熟是解题的基本策略。在直线 与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直
线与圆锥曲线相交引出的线 段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就
熟，胜券在握 。
gIiSpiue7A
<1）向弦中点问题转化
例1.已知双曲线
uEh0U1Yfmh
=10,b target=_blank>0）的离心率 ，过点A<0,-b）和B <1）求双曲线方程；
<2）若直线
取值范围。
IAg9qLsgBX
略解：
<1）所求双曲线方程为<过程略）
<2）由 消去y得：
由题意知，当
设
时，
中点

①
则C、D均在以A为圆为的同一圆上
又
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∴ ②
于是由②得
由②代入①得
③
，解得m<0或m>4 ④
于是综合③、④得所求m的范围为
<2）向弦长问题转化

例2．设F是椭圆
<1）求点P的轨迹C
2
的方程；
的左焦点，M是C
1
上任一点，P是线段FM上的点，且满足
<2）过F作直线 l与C
1
交于A、D两点，与C
2
交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺 序排列，求使
直线l 的方程。
WwghWvVhPE
分析：为避免由代换 引发的复杂运算，寻觅替代
成立的
的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为
O< br>1
、O
2
，则，故
问题。
asfpsfpi4k
略解：
，据此得 于是，所给问题便转化为弦长与弦中点
椭圆C
1
的中心 点P分 所成的比λ=2。
<1）点P的轨迹C
2
的方程为
<2）设直线l的方程为
<过程略）
①

①代入椭圆C
1
的方程得
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，
故有
故弦AD中点O
1
坐标为
②
①代入椭圆C
2
的方程得 ，
又有
故弦BC中点O
2
坐标为
③
∴由②、③得 ④
注意到
于是将②、③、④代入⑤并化简得：
⑤

由此解得 。
因此，所求直线l的方程为
2．化繁为简
解读几何是用代数计算的方法解决几何问题，因 此，解答解读几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途
径明朗，但目标难以靠近或达到。解题 时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关
键，往往在于能否化繁为简 。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
ooeyYZT jj1
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<1）借助投影
对于线段的定比分点以及 其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定
比分点坐标公式 的基本方法；将线段上有关各点向x轴<或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例
定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。
BkeGuInk xI

例3．如图，自点M<1，-1）引直线l交抛物线 于P
1
、P
2
两点，在线段P
1
、P
2
上取一点Q，使 、 、
的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。
PgdO0sRlMo
解：设
又设直线l的方程为
①代入
由题意得
或
得

②

①

且 ③
又由题意得 ④
作 P
1
、Q、P
2
在直线y=-1上的投影P
1
′、Q′、P
2
′<如图）
又令直线l的倾斜角为 则由 得
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∴
同理，
∴将上述三式代入④得
⑤
∴将③代入⑤得
∴ ⑥
∴将⑥代入①得
⑦
于是由⑥、⑦消去参数k得
再注意到②式，由⑥得 或
⑧
⑨
因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为

<2）避重就轻
事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会
为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。
3cdXwckm15
例4．已知 点P、Q在椭圆 上，椭圆中心为O，且 ， 求椭圆中心O到弦PQ的距离。
分析：这里需要P 、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是
利用 所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性 ，想
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到避开正面求解，而由直线OP<或OQ）方程和椭圆方程联 立方程组解出点P<或点Q）坐标。
h8c52WOngM

解<避重就轻，解而不设）：设
则由 得
①

<1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程
则直线OQ的方程为 ②
将①代入椭圆方程 易得
∴ ③
将②代入椭圆方程 易得
∴ ④
∴由③、④得
又在 中作 于H，于是由
⑤
及⑤式得

=
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∴
<2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得 ，从而有 。
于是由<1）<2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为 。
直线与圆锥曲线相交的问题，适当处 置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材中关于曲线交点的
定位，直线与圆锥曲线的交 点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，
产 生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体 问题
中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。
v4bdyG ious
二、求解交点坐标的“度”的把握
个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：
1、半心半意，解至中途
从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体， 而是关于交点横坐标<或纵坐标）的和与积的对称
式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入 手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至
利用上述结果解决问题。
J0b m4qMpJ9
例1.设斜率为2的直线与抛物线 相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使 ，
求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。
XVauA9grYP
解：设 直线AB的方程为 。
由
由题意 ①
由韦达定理得 ②
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∴ ③
再设AB中点为 ，则有

，
注意到四边形ABCD为矩形，故有 ，且 ，
由此得
由<4）得

⑥
⑥代入<5）得
化简得 ⑦
再注意到①中
∴
，由<5）得
⑧
因此由⑦、⑧得所求动点M的轨迹方程为
。
点评：本例是“立足于一条直线与曲线相 交”的问题。这里所说的“立足于一条直线与曲线相交”的问题，是指这样两种
题型：
bR9C 6TJscw
<1）问题由一直线与曲线相交引出；
<2）问题中虽然出现多条直 线与同一曲线相交，但这些直线的引出存在着明显的顺序<或依赖关系），整个问题构
建在某一条直线与 曲线相交的基础之上，对此，我们的求解仍倚仗于对交点坐标“既设又解”的策略。这里的“解”，是解直
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线方程与曲线方程所联立的方程组，是“半心半意”地求解，解至中途运 用韦达定理，因此，此类问题的解题三部曲为
pN9LBDdtrd
<1）全心全意地设出交点坐标；
<2）“半心半意”地求解上述方程组，解至中途运用韦达定理；
<3）对题设条件主体进行分析、转化，使之靠拢并应用<2）的结果导出既定目标。
2、真心实意，求解到底
当目标的转化结果不是交点横标<或纵标）的对称式，而是交点 坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进
行到底。
DJ8T7nHuGT
例2.正方形ABCD的中心为M<3，0），一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E，一条斜率为< br>A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线l的方程。
QF81D7 bvUA
解：由题意设抛物线E的方程为 ，
的直线l，若
直线l的方程为 。
又设正方形ABCD的<一条）对角线的斜率为k，
则由
∴直线AM、BM的方程分别为
再设
则由 得 ①
又点A、B在抛物线E上，故有
②
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③
于是由①、②、③解得 。
故得A<4，2）、B<1，1）、
因此可知，所求抛物线E的方程为
所求直线l方程为 。

；
点评：上述问题中出现“相对独立的多条直线 与同一曲线相交”，即问题中多条直线的出现没有确定的顺序或依赖关
系，各条直线之间具有相对独立性 。对此，我们仍然运用对交点坐标“既设又解”的策略，不过，这里的“解”不是解直线方
程与曲线方程 所联立的方程组，而是解关于所设交点坐标的等式所联立的方程组；这里的“解”不是“半心半意”地解至中途< br>运用韦达定理，而是全心全意地去解出交点坐标，因此，此类问题的解题三部曲为：
4B7a9Q Fw9h
<1）全心全意地设出交点坐标；
<2）全心全意地求解所设交点坐标满足的方程所联立的方程组，解出所设交点坐标；
<3）利用<2）的结果追求既定目标。
三、求解交点坐标的转换与回避
解决直线与圆 锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的
祸。 因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解<交点坐标）便尽量转换，能回 避
正面求解<交点坐标）便尽量回避。
ix6iFA8xoX
1、设而不解
这里所谓的“设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或 主要目标。其中，
用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。
wt6qbkCyDE
例1．设椭圆 的上半部有不同三点A、B、C，它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵 坐标与
椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。
Kp5zH46zRk
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分析：考察线段AC的中垂线方程，易知其斜率由点A、C同 名坐标的差式表出，弦中点由点A、C同名坐标的和式表
出。由此想到对交点坐标“设而不解”，并借助 焦点半径公式求解。
Yl4HdOAA61
解：设 ，弦AC中点M(x
0
,y
0
>。
由已知椭圆方程得
又运用椭圆第二定义可得 ，

∴由题设条件得
而 ∴ ②
此时，注意到点A、C在椭圆 上，
故有 ③
④
③-—④得
∴②代入得
由此得 ⑥
∴由②、⑥得 ，
即AC中点
于是可知弦AC的中垂线方程为
∴在⑦中令x=0得
由此可知，所求弦AC的中垂线在y轴上的截距为
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①
⑤
⑦


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2、不设不解
这是解决直线与曲 线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标“不设不解”，需要我们对问题或图形
本质 的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。
ch4PJx4BlI
<1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标
例2．已知F
1
、F
2为椭圆的两个焦点，过F
2
的直线交椭圆于P、Q两点， ，且 ，求椭圆的离心率。

解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。
设椭圆方程为
又设 ，则由题意得
。
①
根据椭圆定义得

∴
∴①代入②得
再由
∴
∴③代入④得
得
②
，解得

④

③
化简得
∴由此解得
，
。
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<2）借助有关图形性质回避交点坐标
例3．已知直线l： 与⊙ 相交于A、B两点，当 时，求⊙C的方程。
提示：圆心C到弦AB的距离<弦心距）
注意到
由圆的弦的性质得


，由此解得a的值。
<3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标
这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。
例4．已知圆M与圆 相交于不同两点A、B，所得公共弦AB平行于已知直线 ，又圆M
经过点C<-2，3），D<1，4），求圆M的方程。
qd3YfhxCzo
解<利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）：
设圆M方程为
又已知圆方程为
①
②
∴①—②得上述两圆公共弦AB所在直线方程
∴由题设得
注意到点C、D在圆M上，故有
④
⑤
③
∴将①、②、③、联立解得
∴所求圆M的方程为
四、高考真题


1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆 于A、B两点， 与
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共线。
E836L11DO5
<1）求椭圆的离心率；
<2）设M为椭圆上任意一点，且
分析：
<1）求椭圆离心率，首先要求关于a，b，c的等式。为此，从设出椭圆方程与直线AB的方程切 入，运用对A、B坐标
“既设又解”的策略；
S42ehLvE3M
<2）注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标“设而不解”。
解：
，证明 为定值。
<1）设椭圆方程为
则直线AB方程为
设
将①代入椭圆方程

由题意

，显然成立


得

①
由韦达定理得
又
∴


②
， ， 与 共线
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即所求椭圆的离心率为
<2）由<1）得
∴椭圆方程化为
设 ，由题设得
，
③


∴
∵点M在椭圆③上
∴


④
又由<1）知，
∴



⑤
而 ,

为定值。
与 共线的充要条件 ，
⑥
∴ 将⑤、⑥代④得
∴ ， 即
点评：对于<1），立足于对A、B 坐标“既设又解”，对
先“转化”而后“代入”，与先“代入”而后化简比较，计算量要明显减少。因此 ，诸如此类的问题，要注意选择“代入”的形式
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或时机，以求减少解题的计算量。
501nNvZFis

2.P、Q、M、N四点都在椭圆
线，且
分析：这里
上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知 与 共线， 与 共
，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
jW1viftGw9
，b=1，c=1，故F<0，1）
由题设知
解：这里
由
，四边形PMQN的面积等于
，b=1，c=1，F<0，1），
得 ，即
，因此解题从求 ， 切入。
∴直线PQ，MN中至少有一条直线斜率存在。
不妨设PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为
又设
将①代入椭圆方程得
∴


①
且
∴
②

③
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<1）当 时，直线MN的斜率为 ，
同理可得
∴ 四边形PMQN的面积

令 ，则 <当且仅当 时等号成立）
∴
∴当 时， ，S是以 为自变量的增函数
∴
<2）当

时，MN为椭圆的长轴， ， ，
∴
于是<1）<2）得
∴四边形PMQN的面积的最大值为2，最小值为
点评：认知条件，从而认知本题中四边形PMQ N面积的决定因素，寻求的目标便随之明确，而在对四边形面积S的变
形中，所施行的分子分母同除以< br>3.设A、B是椭圆
点。
LOZMkIqI0w
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，变量替换，分离常数项等等，都是寻求最值的基本策略。
xS0DOYWHLP
上的两点，点N<1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两
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<1）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；
<2）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。
分析：在这里，有两条直线经过点N并且 与椭圆相交，由于<1）要求直线AB的方程，故以交点A、B的坐标“即设又
解”切入；对于<2）中 的四点共圆， 知，圆的直径为AB或CD，到底是哪一个，则要在完成<1）之后根据具体
情况再行确 定。
ZKZUQsUJed
解：
<1）由题意，设直线AB方程为
设
将①代入椭圆方程 得
②
则由题设知

③
且
∴由N<1，3）是线段AB的中点得
∴
解得
将 代入③得
∴所求 的取值范围为 ，
直线AB的方程为 即
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①
④


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<2）由题设知，线段CD垂直平分线段AB
∴直线CD的方程为
将⑤与椭圆方程联立，消去y得
又设
则
∴
为方程⑥的根
⑦
，CD的中点为
即 ⑤
⑥
，
且 ⑧
∴
注意到由<1）可得
，即


由<2）可得
∴当 时，

∴假设存在 ，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心
又点M到直线AB的距离 ⑨
∴由勾股定理得

故当 时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，以 为半径的圆上。
点评：在这里，对A、B及C、D的坐标均是“既设又解”，解到中途运用韦达定 理导出同坐标之间的关系式；对于
<2），要切实认知条件的特殊性，根据问题的特殊性，这时化生为熟 ，转化为熟悉的弦长或弦中点问题。
dGY2mcoKtT
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4.已知方向向量为 的直线l过点 和椭圆 的焦点，且椭圆C的中心关于直
线l的对称点在椭圆C的右准线上
<1）求椭圆C的方程；
<2）是否存在过点E<-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
点）。若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。
rCYbSWRLIA
<0为原
分析：这里直线l的方程容易满足，对椭圆中心O关于l的对称点“解而不设”容易完成。 解题难点在于转化和应用<2）
中的条件，注意到 。为便于沟通左右两边的联系，运用内积定义得
，即
解：
<1）由已知得直线l的斜率为
的面积等于 于是解题以表示 的面积突破。
FyXjoFlMWh
，直线l的方程为 ①
过原点且垂直于l的直线方程为 ②
由①，②解得 ，即上述两直线的交点为
又椭圆中心O关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴点 在右准线 上，
∴
∵直线l过椭圆焦点，
∴该焦点为<2，0）
∴
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∴椭圆方程为
<2）假设存在符合条件的直线m
设
③ <Ⅰ）当直线m不垂直x轴时，设直线m的方程为
③代入椭圆方程 得

由题设
且 ，
∴


又 O到直线MN的距离
∴
由 得
，即
∴由⑥得
解得 ， 即
⑤
⑥

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，
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<Ⅱ）当直线 轴时，直线 ，易得 满足条件
∴<Ⅰ）<Ⅱ）知直线m的方程为
经检验上述直线均满足 ，
或 或
因此，存在满足题设条件的直线m，直线m的方程为
或 或
点评：在本题中，条件
为

的认知与转化是解题成功的关键环节，一旦已知条件转化
，解题便纳入求弦长与距离的熟悉的途径。
TuWrUpPObX
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