我爱你的公式一元二次方程式的公式解及二次函数图形

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一元二次方程式的公式解及二次函数图形

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第一章 一元二次方程式的公式解及二次函數圖形

重點一：由配方法導公式解==>
設一般通式為為 aX2 + bX + c = 0
則由配方法步驟
1.讓X2項係數為1(各項除a)==>
2.將常數項移至等號的另一邊==>
3.根據X項係數的一半進行配方==>


4.等號兩邊開平方根，再移項可得公式解==>

?學生練習：
1.請分別使用配方法及公式解法解X2 ? 4X + 1 = 0，並驗證其
結果是否相同？

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重點二：二次函數圖形==>
一、何謂函數？
令y = f (x) ，其中x稱為自變數，y為應變數，當x改
變時，y會對應變換，且一個x值僅對應獨立的一個y值， 則y稱為
x的函數

國中常見的函數形式有：常數函數(如：y =3等)、一次
函數又稱線性函數(如：y =2X ? 1)、二次函數(如：y = X2 ? 3X + 2)
二、二次函數的圖形==>
請先看幾個二次函數圖形(







如上圖， 我們稱這樣的圖形為拋物線，且不難發現的是
所有的拋物線都有個頂點且X2係數是正的，圖形凹口向上 ；反之，
係數是負的，圖形凹口向下

(思考：是否所有的二次函數圖形是否都為拋物線？如
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果是，是否有個統一的形式能表達出來？

三、二次函數的通式==>
我們從二次函數的一般式下手
y = f (x) = aX2 + bX + c = a ( X2 +X )+ c
= a ( X2 +X +()2 )+ c? a ()2
= a ( X ? )2 +
討論：1.若a>0，則a ( X ? )2>0，y有最小值，圖形凹口朝上，
頂點為(，)，且a愈小，開口愈大

2.若a<0，則a ( X ? )2<0，y有最大值，圖形凹口朝下，頂點為(，)，
且a愈大，開口愈小

?學生練習：
1.請試繪出y = X2 ? 4X +4在座標平面上的圖形


四、二次函數圖形與一元二次方程式解各數的關聯==>
二次函數y = aX2 + bX + c與X軸的交點數目即為
一元二次方程式aX2 + bX + c = 0的根個數

(思考：X軸的方程式為y = 0
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五、二次函數圖形的平移==>
設y = a ( X ? h )2 + k為通式，我們已知a決定開口大小
及開口方向，(h，k )為頂點座標，但若此一函數圖形欲向左右或上下
平移時，函數會做如何變動？我們以y = X2為例：
1. 圖形右移h單位，方程式變更為：

2. 圖形左移h單位，方程式變更為：

3. 圖形上移k單位，方程式變更為：

4. 圖形下移k單位，方程式變更為：

5. 圖形同時右(左)移h單位及上(下)移k單位，方程式變更為：






第二章 二元一次聯立方程式其解涵義及係數分別法

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重點一：二元一次聯立方程式其解涵義==>
一、任何一個二元一次方程式都可改寫成Y = AX + B的形式，
在前面章節我們提過，此形式在 座標平面上呈現的圖形為一直線，此
直線上任一點座標帶回原方程式都會符合，亦是我們稱此類型為線性
函數的原因

二、承上，兩個不同的方程式其圖形在座標平面上為 兩條不
同的直線，若有交點，則必同時符合兩方程式，就我們所知兩條直線
的相交情形有三種， 恰可解釋二元一次聯立方程式的三種解情形，其
對應關係如下：
兩直線相交於一點 ==> 聯立方程式有為一解
兩直線重疊 ==> 聯立方程式有為無限多組解
兩直線平行不相交 ==> 聯立方程式無解

重點二：係數分別法==>
設兩個二元一次方程式分別如下：
A1X + B1Y + C1 = 0 ，A2X + B2Y + C2 = 0
1. 若兩線重疊，則==>兩方程式係數成比例
2. 若兩線平行，則
3. 若兩直線相交於一點，則


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第三章 根與係數關係

重點一：根與係數關係==>
一、設一元二次方程式的兩根為α、β，則此一元二次方程
式可表示成( X ? α )( X ? β ) = 0的形式，我們將其展開可得：
X2 ? ( α + β ) X +α β = 0
二、將一元二次方程式的標準式：aX2 + bX + c = 0 其X2項
化成1，我們可得==> X2 + X + = 0
三、比較一和二可得
X2 ? ( α + β ) X +α β = 0 .........(1)
X2 + X + = 0 .........(2)
α + β = ?.........(1)
α β = .........(2)
?學生練習：
1.若aX2 + bX + 16 = 0的兩根為2、4，求a + b =

進階：三次根與係數關係==> aX3 + bX2 + cX + d = 0和三根：α、β、
γ
α + β + γ= ? .........(1)
αβ + βγ + γα = .........(2)
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α βγ = ? .........(3)



第四章 和(差)的立方公式及立方和(差)公式

重點一：和(差)的立方公式推導==>
一、( a + b )3 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ...先處理( a + b ) ( a
+ b )
= ( a2+2ab+b2 ) ( a + b ) ...將( a + b )分配乘
入( a2+2ab+b2 )
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 ...同類
項合併
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
二、同法可証( a ? b )3 = a3 ? 3a2b + 3ab2 ? b3

?學生練習：
1. ( 2X + 3 )3 =
2. ( 3X ? 2 )3 =

重點二：立方和(差)公式推導==>
一、a3 + b3 = ( a + b ) ( a2?ab+b2 )
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方法一：將a3 + b3 除以 a + b 可得証

方法二：將 ( a + b ) ( a2?ab+b2 ) 乘開可得証

二、同法可証
a3 ? b3 = ( a － b ) ( a2+ab+b2 )

?學生練習：
請將下列式子因式分解：
1. 8X3 + 1 =
2. X3 ? 27 =



第五章 簡易的三角函數

重點一：簡易三角函數的涵義==>

一、簡易的三角函數說明即為一種存在直角三角形中的對應
關係，如圖：
sinθ = ，cosθ=
tanθ = ，cotθ=
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secθ = ，cscθ=
二、三角函數與直角座標系的結合：
sinθ = ，cosθ=
tanθ = ，cotθ=
secθ = ，cscθ=

重點二：三角函數的基本性質：

















一、三角函數的範圍：
0 < sinθ，cosθ < 1
0 < tanθ，cotθ < ∞(無限大)
secθ，cscθ > 1
二、三角函數的基本性質：
1.倒數關係：
sinθ= ， cosθ= ， tanθ=
cotθ= ， secθ= ， cscθ=
2.平方和關係：
sin2θ + cos2θ = 1
1 + tan2θ = cot2θ
1 + sec2θ = csc2θ
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3.商數關係：
tanθ = ， cotθ =

4.特別角：

300
450
600
sinθ



cosθ



tanθ

1



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5.平方和公式應用：
(sinθ cosθ)2 = 1 2 sinθcosθ
sin4θ＋cos4θ = 1 ? 2 sin2θcos2θ



第六章 等差數列、級數與等比數列、級數

重點一：等差數列、級數==>
一、數列a1、a2、a3、.........an中，若存在一數值
d滿足 ai+1－ai＝d 恆成立，則此數列稱為等差數列且稱d為此等差
數列的公差

二、級數a1＋a2＋a3＋.........an中，若存在一數值
d滿足 ai+1－ai＝d 恆成立，則此數列稱為等差級數且稱d為此等差
級數的公差
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三、公式：
1. an＝a1＋(n－1) d
2. sn＝a1＋a2＋a3＋......an
＝( a1＋an ) ＝[ 2a1＋(n－1) d ]
?學生練習：
1. 級數1＋4＋7＋10......＋100＝
2. 一等差級數共20項，前10項和為110，後10項和為330，
問此級數的公差為 ，首項為

重點二：等比數列、級數==>
一、數列a1、a2、a3、.........an中，若存在一數值r滿足 ai+1÷ai ＝
r 恆成立，則此數列稱為等比數列且稱r為此等比數列的公比

二、級數a1＋a2＋a3＋.........an中，若存在一數值
r滿足 ai+1÷ai ＝r 恆成立，則此數列稱為等比級數且稱r為此等比
級數的公比


三、公式：
1. an＝a1×rn－1
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2. sn＝a1＋a2＋a3＋......an
＝ r > 1 時 或 0< r < 1 時
思考： xn－1＝（x-1）（xn－1＋xn－2＋...
＋x＋1）
3. 當0< r < 1時
an → 0 ，sn →

?學生練習：
1.級數1＋2＋4＋8......＋512＝
2. 1＋＋＋＋＋＋............＝



??

??

??

??


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國中升高中數
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