传统文化的特点-生命的名言
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家
庭，汽车消费成为 新亮点．抽样调查显示，截止
2008
年底全市汽车拥有量为
14.4
万辆．已知
2006
年底全市汽车拥有量为
10
万辆．
（
1
）求
2006
年底至
2008
年底我市汽车拥有量的年 平均增长率；
（
2
）为保护城市环境，要求我市到
2010
年底汽车拥有量不超过
15.464
万辆，据估计从
2008
年底起，此后 每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的
10%
，那么每年新增汽车数
量最多不超过 多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（
1
）主要考查增长率问题，一般用增长后的 量
=
增长前的量
×
（
1+
增长率）解决
问题；
（
2
）参照增长率问题的一般规律，表示出
2010
年的汽车 拥有量，然后根据关键语列出不
等式来判断正确的解．
试题解析：（
1
）设年平均增长率为
x
，根据题意得：
10
（
1+x
）
2
=14.4
，
解得
x=
﹣
2.2
（不合题意舍去）
x=0.2
，
答：年平均增长率为
20%
；
（
2
）设每年 新增汽车数量最多不超过
y
万辆，根据题意得：
2009
年底汽车数量为
14.4×90%+y
，
201 0
年底汽车数量为（
14.4×90%+y
）
×90%+y
，
∴
（
14.4×90%+y
）
×90%+y≤15.464，
∴y≤2
．
答：每年新增汽车数量最多不超过
2
万辆．
考点：一元二次方程
—
增长率的问题
2
．阅读下列材料
计算：（
1
﹣﹣
则：
原式＝（
1
﹣
t
）（
t+
）﹣（
1
﹣
t
﹣）
t
＝
t+
﹣
t
2
﹣< br>+t
2
＝
）
×
（
+
）﹣（
1
﹣﹣）（
+
），令
+
＝
t
，
在上面的 问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想
方法叫做
“换元法
”
，请用
“
换元法
”
解决下列问题：
（
1
）计算：（
1
﹣﹣
（
+
）
）
×
（
+
）﹣（
1
﹣﹣）
×
（< br>2
）因式分解：（
a
2
﹣
5a+3
）（
a< br>2
﹣
5a+7
）
+4
（
3
）解方 程：（
x
2
+4x+1
）（
x
2
+4x+3
）＝
3
【答案】（
1
）
【解析】
【分析】
（
1
）仿照材料内容，令
+
＝
t
代入原式计算．
；（
2
）（
a
2
﹣< br>5a+5
）
2
；（
3
）
x
1
＝0
，
x
2
＝﹣
4
，
x
3
＝< br>x
4
＝﹣
2
（
2
）观察式子找相同部分进 行换元，令
a
2
﹣
5a
＝
t
代入原式进行因式分解 ，最后要记得把
t
换为
a
．
（
3
）观察 式子找相同部分进行换元，令
x
2
+4x
＝
t
代入原方程， 即得到关于
t
的一元二次方
程，得到
t
的两个解后要代回去求出4
个
x
的解．
【详解】
（
1）令
+
原式＝（
1
﹣
t
）（
t+
＝< br>t
，则：
）﹣（
1
﹣
t
﹣）
t< br>＝
t+
﹣
t
2
﹣﹣
t+t
2
+＝
（
2
）令
a
2
﹣
5a
＝
t
，则：
原式＝（
t+3
）（
t+7
）
+4
＝
t
2
+7t+3t+21+4
＝
t
2
+10t+25
＝（
t+5
）
2
＝（
a
2
﹣
5a+5
）
2
（
3
）令
x
2
+4x
＝
t
，则原方程转化为：
（
t+1
）（
t+3
）＝
3
t
2
+4t+3
＝
3
t
（
t+4
）＝
0
∴t
1
＝< br>0
，
t
2
＝﹣
4
当
x
2
+4x
＝
0
时，
x
（
x+4
）＝
0
解得：
x
1
＝
0
，
x
2
＝﹣
4
当
x
2
+4x
＝﹣
4
时，
x
2
+4x+4
＝
0
（
x+2
）
2
＝
0
解得：
x
3
＝
x
4
＝﹣
2
【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元 法一般可达到
降次效果，从而简便运算．
3
．某中心城市有一楼 盘，开发商准备以每平方米
7000
元价格出售，由于国家出台了有关
调控房地产的政 策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米
5670
元的价格销
售．
（
1
）求平均每次下调的百分率；
（
2
）房 产销售经理向开发商建议：先公布下调
5%
，再下调
15%
，这样更有吸引力 ，请问
房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（
1< br>）平均每次下调的百分率为
10%
．（
2
）房产销售经理的方案对购房 者更优
惠．
【解析】
【分析】
（
1
）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（
2
）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可
.
【详解】
（
1
）设平均每次下调
x%
，则
7000
（
1
﹣
x
）
2
=5670
，解得：
x< br>1
=10%
，
x
2
=190%
（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为
10%
．
（
2< br>）（
1
﹣
5%
）
×
（
1
﹣
15%
）
=95%×85%=80.75%
，（
1
﹣
x）
2
=
（
1
﹣
10%
）
2
= 81%
．
∵80.75%
＜
81%
，
∴
房产销售经理的方案对购房者更优惠．
4
．关于
x
的一 元二次方程
（
1
）
.
求证：方程总有两个实数根；
（
2
）
.
若方程的两个实数根都是正整数，求
m
的最小值 ．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
-1.
【解析】
【分析】
（
1
）根据一元二次方程根 的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根
.
(2)
根据题 意利用十字相乘法解方程，求得
数，从而可以确定的取值范围，即求出吗
的最小值
.
【详解】
(1)
证明：依题意，得
，
∴
由
可化为：
得
∴
∴
∴
．
．
的最小值为．
，
．
．
∴
方程总有两个实数根．
．
，再根据题意两个根都是正整
．
∵
方程的两个实数根都是正整数，
【点睛】
本题主要考查了一元二 次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方
程，熟知根的判别式大于零方程有两个 不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数
根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法 的法则是解题关键
.
5
．校园空地上有一面墙，长度为
20m
，用长为
32m
的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，
如图所示．
（
1
）能围成面积是
126m
2
的矩形花圃吗？若能， 请举例说明；若不能，请说明理由．
（
2
）若篱笆再增加
4m，围成的矩形花圃面积能达到
170m
2
吗？请说明理由．
【答案】（
1
）长为
18
米、宽为
7
米或长为14
米、宽为
9
米；（
2
）若篱笆再增加
4m
，
围成的矩形花圃面积不能达到
170m
2
．
【解析】
【分析】
（
1
）假设能，设
AB
的长度为
x
米，则
BC
的长度为（
32
﹣2x
）米，再根据矩形面积公式
列方程求解即可得到答案
.
（
2
）假设能，设
AB
的长度为
y
米，则
BC
的长度为（
36
﹣
2y
）米，再根据矩形面积公式
列方程，求得方 程无解，即假设不成立
.
【详解】
（
1
）假设 能，设
AB
的长度为
x
米，则
BC
的长度为（
32
﹣
2x
）米，
根据题意得：
x(32
﹣
2x)=126
，
解得 ：
x
1
=7
，
x
2
=9
，
∴32
﹣
2x=18
或
32
﹣
2x=14
，< br>
∴
假设成立，即长为
18
米、宽为
7
米或长为14
米、宽为
9
米．
（
2
）假设能，设AB
的长度为
y
米，则
BC
的长度为（
36
﹣
2y
）米，
根据题意得：
y(36
﹣
2y)=170
，
整理得：
y
2
﹣
18y+85=0
．
∵ △=(
﹣
18)
2
﹣
4×1×85=
﹣
16
＜
0
，
∴
该方程无解，
∴
假设不成 立，即若篱笆再增加
4m
，围成的矩形花圃面积不能达到
170m
2
．
6
．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪 明的你可以发现：
当
a
＞
0
，
b
＞
0
时：
∵
（
a?b
）
2
=a
﹣
2
ab< br>+b≥0
∴a+b≥2
ab
，当且仅当
a=b
时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（
1
）请直接写出答案：当
x
＞
0
时，
x+
为
；
11
的最小值为
．当
x
＜
0
时 ，
x+
的最大值
xx
x
2
?7x?10
（
2
）若
y=
，（
x
＞﹣
1
），求
y
的最小值；
x?1
（
3
）如图，四边形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
△AOB、
△COD
的面积分别为
4
和
9
，求四边形
A BCD
面积的最小值．
【答案】（
1
）
2；﹣
2
．（
2
）
y
的最小值为
9
；（
3
）四边形
ABCD
面积的最小值为
25
．
【解析】
【分析】
（
1
）当
x
＞
0
时，按照公式
a+b≥2
ab
（当且仅当
a=b时取等号）来计算即可；当
x
＜
0
时，﹣
x
＞
0
，
?＞
0
，则也可以按公式
a+b≥2
ab
（当 且仅当
a=b
时取等号）来计算；
1
x
x
2?7x?10
（
2
）将
y
?
的分子变形，分别除以分母 ，展开，将含
x
的项用题中所给公式
x?1
求得最小值，再加上常数即可；< br>
（
3
）设
S
△BOC
=x
，已知
S
△AOB
=4
，
S
△COD
=9
，由三角形面积 公式可知：
S
△BOC
：
S
△COD
=S
△AOB
：
S
△AOD
，用含
x
的式子表示出
S
△ AOD
，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小
值，加上常数即可．
【详解】
（
1
）当
x
＞
0
时，
x
?
1
1
?
2
x??
2
；
x
x
1
x
当
x
＜
0
时，﹣< br>x
＞
0
，
?＞
0
．
∵
﹣
x
?
1
111
?
1
?
?
2
?x?
?
?
?
?
2
，
∴
则
x< br>???
（﹣
x
?
）
≤
﹣
2
，
∴
当
x
＞
0
时，
x
?
的最
xx x
x
?
x
?
1
的最大值为﹣
2
．
x
小值为
2
．当
x
＜
0
时，
x
?
故答案为：
2
，﹣
2
．
x
2
?7x?10
(x?1)
2
?5
?
x?1
?
?4
=
（
x+1
）（
2
）
∵x
＞﹣1
，
∴x+1
＞
0
，
∴y
?
?
x?1
x?1
?
4
?
5≥2
x?1
?
x ?1
?
?
4
?
5=4+5=9
，
∴y
的最 小值为
9
．
x?1
（
3
）设
S
△BOC
=x
，已知
S
△AOB
=4
，
S
△COD
=9
则由等高三角形可知：
S
△BOC
：
S
△COD
=S
△AOB
：
S
△AOD
，
∴x
：
9=4
：
S
△AOD
，
∴S
△A OD
?
四边形
ABCD
面积
=4+9+x
?
36< br>，
∴
x
36
36
?
13+2
x??
25
．
x
x
当且仅当
x=6
时，取等号，
∴
四边形
ABCD
面积的最小值为
25
．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确 变形才可以应
用．
7
．利民商店经销甲、乙两种商品
.
现有如下信息
信息
1
：甲乙两种商品的进货单价和为
11
；
信 息
2
：甲商品的零售单价比其进货单价多
2
元，乙商品的零售单价比其进货单 价的
2
倍
少
4
元：
信息
3
：按 零售单价购买甲商品
3
件和乙商品
2
件共付
37
元．
?
1
?
甲、乙两种商品的进货单价各是多少？
?2
?
据统计该商店平均每天卖出甲商品
500
件，经调查发现，甲商品零 售单价每降
0.1
元，
这样甲商品每天可多销售
100
件，为了使每 天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零
售单价下降
a
元，在不考虑其他因素的条 件下，当
a
定为多少时，才能使商店每天销售甲
种商品获取利润为
1500< br>元？
【答案】（
1
）甲种商品的进货单价是
5
元< br>
件，乙种商品的进货单价是
6
元
件（
2
）当
a
定为
0.5
或
1
时，才能使商店每天销售甲种商品获取利 润为
1500
元
【解析】
【分析】
?
1
?
设甲种商品的进货单价是
x
元
件，乙种商品 的进货单价是
y
元
件，根据给定的三个
信息，可得出关于
x
，
y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
?
2
?
当零售单价下降
a
元
件时，每天可售出
?
50 0?1000a
?
件，根据总利润
?
单件利润
?
销售数量， 即可得出关于
a
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
?
1
?
设甲种商品的进货单价是
x
元
件， 乙种商品的进货单价是
y
元
件，
x?y?11
?
根据题意得：
?
3
?
x?2
?
?2
?2y?4
?
?37
，
?
解得：
y?6
．
答：甲种商品的进货单价是
5
元
件，乙种商品的进货单价是
6
元
件．
?
x?5
?
2
?
当零售单价下降
a
元
件时，每天可售出
?
500?1000a
?
件，
根据题意得：
?
2?a
??
500?1000a
?
?1 500
，
整理得：
2a
2
?3a?1?0
，
解得：
a
1
?0.5
，
a
2
?1
．
答：当
a
定为
0.5
或
1
时，才能使商店每天销售甲种商品 获取利润为
1500
元．
【点睛】
本题考查了二元一次 方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：
?
1
?
找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；
?
2
?
找准等量关系，正确列出一元二 次方程．
8
．重庆市旅游文 化商店自制了一款文化衫，每件成本价为
20
元，每天销售
150
件：
（
1
）若要每天的利润不低于
2250
元，则销售单价至少为多 少元？
（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一” 节当天
开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可
以在150件基础上增加
求出m的值．
【答案】（
1
）销售单价至 少为
35
元；（
2
）
m=16
．
【解析】
试题分析：（
1
）根据利润的公式列出方程，再求解即可；
（2） 销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+
150
（
x
﹣
20
）
=2250
，
解得
x=35
，
答：销售单价至少为
35
元；
（2）由题意得：35×（1﹣m% ）（150+
150+
m﹣
m﹣150×m%﹣m%×
m
2
=12，
m=162，
m）=5670，
m），列出方程求解即可．
m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽 可能大，
试题解析：（
1
）设销售单价至少为
x
元，根据题意列方程 得，
60m
﹣
3m
2
=192
，
m
2
﹣
20m+64=0
，
m
1
=4
，
m
2
=16
，
∵
要使销售量尽可能大，
∴m=16
．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
9
．关 于
x
的一元二次方程
x
2
﹣（
m
﹣
3）
x
﹣
m
2
=0
．
（
1
）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（
2
）设这个方程的两个实数根为
x
1
，
x
2
，且
| x
1
|=|x
2
|
﹣
2
，求
m
的 值及方程的根．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）x
1
=
﹣
1+
2
，
x
2
=< br>﹣
1
﹣
2
或
【解析】
试题分析 ：（
1
）根据一元二次方程的判别式
△=b
2
﹣
4ac的结果判断即可，当
△
＞
0
时，有
两个不相等的实数根，当△=0
时，有两个相等的实数根，当
△
＜
0
时，方程没有实数根 ；
bc
，
x
1
?x
2
=
，表示 出两根的关系，得到
aa
x
1
，
x
2
异号，然后根 据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解
.
试题解析：（
1
）一元二次方程
x
2
﹣（
m
﹣
3
）
x﹣
m
2
=0
，
∵a=1
，
b=﹣（
m
﹣
3
）
=3
﹣
m
，
c =
﹣
m
2
，
（
2
）根据一元二次方程根 与系数的关系
x
1
+x
2
=-
∴△=b
2
﹣
4ac=
（
3
﹣
m
）
2
﹣
4× 1×
（﹣
m
2
）
=5m
2
﹣
6m+9=5
（
m
﹣
∴△
＞
0
，
则方程有两个不相等的实数根；
3
2
36
）
+
，
55
c
=
﹣
m
2
≤0
，
x
1
+x
2< br>=m
﹣
3
，
a
∴x
1
，
x
2
异号，
又|x
1
|=|x
2
|
﹣
2
，即
|x< br>1
|
﹣
|x
2
|=
﹣
2
，
（
2
）
∵x
1
?x
2
=
若
x
1
＞
0
，
x
2
＜
0
，上式化 简得：
x
1
+x
2
=
﹣
2
，
∴m
﹣
3=
﹣
2
，即
m=1
，
方程化为
x
2
+2x
﹣
1=0
，
解得：
x
1
=
﹣
1+
2
，
x
2
=
﹣
1
﹣
2
，
若
x
1
＜
0
，
x
2
＞
0
，上式化简得：﹣（x
1
+x
2
）
=
﹣
2
，
< br>∴x
1
+x
2
=m
﹣
3=2
，即
m =5
，
方程化为
x
2
﹣
2x
﹣
25=0
，
解得：
x
1
=1
﹣
26，
x
2
=1+
26
．
10
．若两个一次函数的图象与
x
轴交于同一点，则称这两个函数为一对
“x
牵 手函数
”
，这个
交点为
“x
牵手点
”
．
（
1
）一次函数
y
＝
x
﹣
1
与< br>x
轴的交点坐标为
；一次函数
y
＝
ax+2
与一次函数
y
＝
x
﹣
1
为一对
“x
牵手函数
”
，则
a
＝
；
（< br>2
）已知一对
“x
牵手函数
”
：
y
＝
ax+1
与
y
＝
bx
﹣
1
，其中
a，
b
为一元二次方程
x
2
﹣
kx+k
﹣
4
＝
0
的两根，求它们的
“x
牵手点
”
．
【答案】（
1
）（
1
，
0
），
a＝﹣
2
；（
2
）
“x
牵手点
”
为（< br>?
【解析】
【分析】
（
1
）根据
x
轴上点的坐标特征可求一次函数
y=x-1
与
x
轴的交点坐标； 把一次函数
y=x-1
与
x
轴的交点坐标代入一次函数
y=ax+2
可求
a
的值；
（
2
）根据
“x
牵手函数
”
的定义得到
a+b=0
，根据根与系数的关系求得
k=0
，可得方程
x
2
-
4=0
，解得
x
1=2
，
x
2
=-2
，再分两种情况：
①
若a=2
，
b=-2
，
②
若
a=-2
，
b=2
，进行讨论可求
它们的
“x
牵手点
”
．
【详解】
解：（
1
）当
y
＝
0
时，即
x
﹣
1
＝
0
，
所以
x< br>＝
1
，即一次函数
y
＝
x
﹣
1
与< br>x
轴的交点坐标为（
1
，
0
），
由于一次 函数
y
＝
ax+2
与一次函数
y
＝
x
﹣< br>1
为一对
“x
牵手函数
”
，
所以
0
＝
a+2
，
解得
a
＝﹣
2
；
（
2
）
∵y
＝
ax+1
与
y
＝
bx
﹣
1
为一对
“x
牵手函数
”
1
1
，
0
）或（，
0
）
.
2
2
11
?
，
ab
∴a+b
＝
0
．
∴
?
∵a
，
b
为
x
2
﹣
kx+k
﹣
4＝
0
的两根
∴a+b
＝
k
＝
0
，
∴x
2
﹣
4
＝
0
，
∴x
1
＝
2
，
x
2
＝﹣
2
．
?
1
?
①
若
a
＝
2
，
b＝﹣
2
则
y
＝
2x+1
与
y
＝﹣2x
﹣
1
的
“x
牵手点
”
为
?
?,0
?
；
?
2
?
②
若
a< br>＝﹣
2
，
b
＝
2
则
y
＝﹣
2x+1
与
y
＝
2x
﹣
1
的
“x
牵手点
”
为（
∴
综上所述，
“x
牵手点
”
为
?
?
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．
1
，
0
）
2
1
?
1
?
,0
?
或（，
0
）
2
?
2
?
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本文更新与2020-09-17 07:37，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/400297.html