w的计算公式一元二次方程的解法详细解析

本文整理于网络，仅供阅读参考

一元二次方程的解法详细解析

【一元二次方程要点综述】： 【要点综述】：一元二次方程和一元
一次方程都是整式方程，它 是初中数学的一个重点内容，也是学
生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知
数，且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程，一
般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否
为一元二次方程，要先看它是否 为整式方程，若是，再对它进行
整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下
面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是
通过“降次”，将它化为两个一元一次方 程。一元二次方程的基本
解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因
式 分解法。如下表： 方法适合方程类型注意事项直接开平方法
≥0时有解， ＜0时无解。配方法二次项 系数若不为1，必须先把
系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解； ＜0时，方
程 无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，
另一边分解成两个一次因式的积。方程的 一边必须是0，另一边可
用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析 ：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：
或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方 程为，即，解得，.
说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
本文整理 于网络，仅供阅读参考
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二
次方程 的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用
一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形 如的方程叫作关于
的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字
母系数分情况 进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。
（1）； （2）（3）； （4）分析：直接开 平方法就是用直接开平方
求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解
为。通 过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接
开平方法好做；第（3）题因方程左边可变 为完全平方式，右边的
121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程
左 边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开
平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不 要丢解）由得，由得，
∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴
∴ ，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方 程化为一般式，但如果不
要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成
一般式 。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只
需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3： 用配方法解下列一
元二次方程。（1）；（2） 分析：用配方法解方程，应先将常数移
到方程 右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可
变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的 一半的平方，即：，
方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，
接下去 即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别
注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的 平方。解：（1）二
本文整理于网络，仅供阅读参考
次项系数化为1，移常数项得：，配方得 ：，即直接开平方得：∴，
∴原方程的解为：，（2）二次项系数化为1，移常数项得：方程两
边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：∴，∴原
方程的解为：，说明：配方是一种基本的 变形，解题中虽不常用，
但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：
先把二 次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时
加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平 方式利用直接开平
方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（1）；（2）
分析： 用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方
程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0 时，把各项系数的
值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜0时，方程无解。
第（1） 小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解
的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式 ；第（2）小题为
了避免分数运算的繁琐可变形为，求出判别式的值后，再确定是
否可代入求根 公式求解。解：（1），化为一般式：求出判别式的值：
＞0代入求根公式：，∴，（2）化为一般式： 求出判别式的值：＞0
∴∴，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简
单方法时 ，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先
明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式 的值，解得的
根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（1）；（2）分析：
分解因式 法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分
解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分 别等于零，得
到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是
原方程的两个根。 第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因
本文整理于网络，仅供阅读参考
式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解：（1）左边分解成两个因式的 积得：于是可得：，∴，（2）化简
变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，说< br>明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到
降次的目的。把方程一边化为0 ，把另一边分解因式的方法可以用
于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程
转化，转化的方法主要为开平方法和 使方程一边为0，把方程另一
边分解因式，配方，或利用求根公式法另外，在解一元二次方程
时 ，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，
找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后 使用公式法。例6：选
用恰当的方法解下列方程。（1）； （2） （3）； （4）分析：第
（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题
移项后利用分解因式法较为简便；第 （3）题化为一般式后可利用
求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理
得： 直接开平方得：∴，（2）分解因式得：∴，（3）整理得： 求
出判别式的值：＞0∴，∴， （4）配方得：直接开平方得：∴，总
结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的< br>方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定
要把原方程化成一般形式，以便确 定系数，而且在使用公式前应
先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公
式 的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，
所以一般不用配方法解一元二次方程。但 是，配方法在学习其他
数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之
本文整理 于网络，仅供阅读参考
一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般
要先将 方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在
解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平 方、分解因式等
简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式
法。通常先把方 程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到
简便解法时就应直接求解。【附训练典题】1、用直接开 平方法解
下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2、用配方法解下列方程：
（1）； （2）；（3）； （4）.3、用公式法解下列方程：（1）； （2）；
（3）； （4）.4、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）；
（4）.5、选用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；
（5）； （6）；（7）； （8）