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如何学好高中数学之排列组合

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 07:59
tags:如何学好高中数学

高中数学学数制吗-高中数学老师和中专数学老师


如何学好高中数学之排列组合(高考真题讲解)
排列组合在高中是非常重要的一章(哪 怕高考考得不多),因为这一章是概率论
的基础。无论同学们以后从事什么职业,概率论都是非常有用的 一个学问。如何
学好高中数学排列组合这部分的内容?毕竟富贵险中求,而风险管理
(risk management)就是和概率息息相关的学问了,我将在下一篇“如何学好高
中数学概率论”的文 章中探讨下我认为的成功三要素,结论和你们多数人想象的
出入很大。
事实上,排列组合这一 章很多同学都抱怨很困难,特别容易出错。实际上,出现
这个的原因很大程度上是现有的很多教材在描述 加法原理和乘法原理(特别是后
者)是有问题的,因此导致同学们在没有满足适用条件的情况下胡乱使用 这两个
原理,从而导致解题错误。
不信?先解几道题吧:
如何学好高中数学排列组合:例题
1. 有4位学生各写一张贺卡,放在一起,然后每人从中 取出一张,但不能取自
己写的那一张贺卡,不同的取法有()种?
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
2.(2017?浙江高考)从6男2女共8名学生 中选出队长1人,副队长1人,普
通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选
法.(用数字作答)
3. (2010?天津高考)如图,用四种不同颜色给图中 的A,B,C,D,E,F六个
点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 ,则不
同的涂色方法用( )



A.288种 B.264种 C.240种 D.168种
答案分别为:1.A 2. 660 3. B
你做对了吗?
如何学好高中数学排列组合:例题解析
在讲解这几题之前,我们先把加法和乘法原理好好解释清楚:
无论是加法原理(additi onprinciple)还是乘法原理(multiplicationprinciple)
都是计 数法(countingmethod)的基本原理。计数法,顾名思义,就是基本的数数
–我们一开始 接触数学就知道的事情。
例如,下图有多少个圆?

我希望同学们别忘了这个幼儿园孩子也会的计数法:
当计数量不大的时候,我们可以把每一个元素写下来,像个孩子一样去数数。
当计数量很大, 这时一个一个一个的数显然不现实(当然,可以编程交给计算机),
因此我们需要加法原则和乘法原则, 乃至更多的计数法定理的帮助。
加法原则(Addition Principle):

< p>
因此在求解计数问题的时候,运用我们的第三招“盯住目标”联想到加法原理,
记住核心就 是分类。
现在我们来回过头来看看第一题:
1. 有4位学生各写一张贺卡,放在一起,然 后每人从中取出一张,但不能取自
己写的那一张贺卡,不同的取法有()种?
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24


……


以此类推
这个表实际上就是一个反复分类的过程,分类的过程中我们保证了无 遗漏,无
重叠,最后我们有9种分配方法。这是一个很好的考察加法原理的题目,关键就
在于考 察考生是否理解了加法原理和乘法原理的核心就是分类。
如果你做错了,好好分析为什么做出了,你满足了使用加法原理的条件了吗?
接下来我们来看乘法原理(Multiplication Principle):
你们的教科书上一般是这样描述的:
我接下来用两个例子来阐明这种描述的问题:
我们直接套用上面描述的乘法原理:
第1步:取第1个球,有4种方法
第2步:取第2个球,由于剩下3个球,有3种方法
第3步:取第3个球,由于剩下2个球,有2种方法
因此总共有:种方法,即24种不同的“排”。
这个答案是正确的,我们接着看例2


我们做这件事情的方法还是一样的呀:
第1步:取第1个球,有4种方法
第2步:取第2个球,由于剩下3个球,有3种方法
第3步:取第3个球,由于剩下2个球,有2种方法
因此总共有:种方法,即24种不同的“堆”。
这个答案明显是错误的,最起码的,由于不考 虑顺序,“堆”的种类一定比“排”
的种类要少,而不可能相等。
那么这种解法错在哪儿?我们一字不差的使用教科书上的乘法原理呀?
事实上,同学们要记做,在数学上,乘法就是加法来定义的法则,即乘法就是加
法。例如+3
因此,在我们使用乘法原理的时候,事实上也是一个分类的过程,而这两个条件
1)无遗留 2 )无重叠也必须要满足,这是使用乘法原理的前提!这就是很多同
学在使用乘法原理的时候经常出错的原 因所在,不怪你们,教科书的编排是有问
题的。
我们用这两个例子说明:
在使用乘法原理的时候,我们实际上是在分类– 我们把“排”和“堆”分类
“第一步有4种方法”实际上就是说,我们把“排”和“堆”分成4类,如下图


理解了乘法原理的使用条件,我们接下来可以看看后面两道高考题: < br>2.(2017?浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普
通队员2人 组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选
法.(用数字作答)
思路:首先仍然是第一招翻译:
而目标是求不同选法的个数– 即计数问题。利用第三招,盯 住目标,联想加法
原理或乘法原理。而无论是用加法原理还是乘法原理,核心都是分类,这题的
条件之一就是服务队至少有1名女生,我们由此入手分类:
第一类:服务队有且仅有1个女生
第二类:服务队有且仅有2个女生
这两类包含了满足条件的所有情况(无遗漏),而且这两类 之间无交集(无重叠),
因此我们可以利用加法原理。
对于第一类,我们可以先选服务队的女 生,由于女生不同服务队一定不同(无论
剩下的男生如何选),因此一定是不同的选法,我们复合无重叠 的条件,因此可
以使用乘法原理:
因此根据加法原理,两类一共660种方法。
你 做对了吗?如果做错了,好好分析为什么做出了,你满足了使用加法原理和乘
法原理的两个条件了吗?


3. (2010?天津高考)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个
点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不
同的涂色方 法用( )

思路: 这题可以有至少3种不同的解法,因为篇幅的关系,我这里写一种和标
准答案不同的。




你做对了吗?如果做错了,好好分 析为什么做出了,你满足了使用加法原理和乘
法原理的两个条件了吗?
我希望通过这篇文章, 说清楚加法原理和乘法原理的使用条件,这也是如何学好
高中数学排列组合的前提。现有的教材如果没有 说清楚的建议修改,从此以后同
学们不应该再有做错的排列组合题目。

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