如何突破高中数学选择瓶颈

如何突破高中数学选择瓶颈


高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种思想方法，
体现以考 查“三基”为重点的导向，题量一般为10到12个，能否在选择题上获
取高分，对高考数学成绩影响重 大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、
迅速.
选择题主要考查基础知识的理解、接本 技能的熟练、基本运算的准确、基本
方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.解答选择题 的基本策略
是：要充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断.一般说来，能定性判断
的， 就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；
对于明显可以否定的选项应及 早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思
路的，宜选最简单解法等.解题时应仔细审题、深入分 析、正确推理、谨防疏漏；
初选后认真检验，确保准确.
解数学选择题的常用方法，主要分为 直接法和间接法两大类.直接法是解答选
择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择 题都用直接法解
答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特
殊的解答选择题的方法.下面我就选择题的解题策略做一些简单的归纳。
【解法一】直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通
过严密的推理和准确的运算 ，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对
号入座”，作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直
接法.
例1 双曲线方程为
x
2
?2y
2
?1
，则它的右焦点坐标为 （ ）
A
.
(
2
,0)

2
B.
(
5
,0)

2
C.

(
6
,0)

2
D.

(3,0)

点拨：此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根 据
a,b,c
的关系求出
c
，继而求出右焦点的坐标.
解：
c
2
?a
2
?b
2
?1?
1
?
3
，所以右焦点坐标为
(
22
6
,0)
，答案选C. 2
易错点：（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为
b
2
?2
；（2）混淆椭圆和
双曲线标准方程中
a,b,c
的关系，在双曲线标准方程中c
2
?a
2
?b
2
.
例 2阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的
i
值等于（ ）
A
.2
B.
3
C.
4
D.
5
点拨：此题是程序框图与数列求和的简单综合题.
解：由程序框图可知，该框图的功能是输出 使和

S?1?2
1
?2?2
2
?3?3
3< br>??i?2
i
?11

时的
i
的值加1，因为
1?2
1
?2?2
2
?10?11
，
1?2
1< br>?2?2
2
?3?3
3
?11
，所以当
S?11时，计算到
i?3
故输出的
i
是4，答案选C.
易错点：没有注意到
i?i?1
的位置，错解
i?3
.实际上
i
使得
S?11
后加1再
输出，所以输出的
i
是4.
【解法二】 特例法：
用特殊值 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作
出正确的判断.常用的特例有特殊数值 、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊
角、特殊位置等.
例3：在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(－4，0) 和C(4，0)，且
顶点B在椭圆
x
22
25
+
y
9
=1
上， 则
sinA?sinC
sinB
?
（ ）
5
4
A.
4
3
B.
5
C.1 D.
5

点拨：此题是椭圆性质与三角形的简单综合题，可根据性质直接求解，但正弦 定
理的使用不易想到，可根据性质用取特殊值的方法求解.
解：根据B在椭圆
x22
25
+
y
9
=1
上，令B在短轴顶点处，即可得答 案选A.
?lgx,0?x?10
例4已知函数
f(x)
=
??
?
1
若
a,b,c
均不相
?
?
2
x?6,x?10
等，且
f(a)?f(b?)f(
，则
c)
abc
的取值范围是 （ ）
A
.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)
点拨：此题是函数 综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图
像，利用方程与函数的思想直接求解，但变 量多，关系复杂，直接求解较繁，采
用特例法却可以很快得出答案.
解：不妨设
a? b?c
，取特例，如取
f(a)?f(b)?f(c)?
1
2
，则易 得
a?10
?
11
2
,b?10
2
,c?11，从而
abc?11
，故答案选C．
另解：不妨设
a?b?c
，则由
f(a)?f(b)?ab?1
，再根据图像易得
10?c?12
.< br>实际上
a,b,c
中较小的两个数互为倒数.
【解法三】 排除法：
充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推
理、计算 、判断，逐一排除，最终达到目的.

例5 下列函数中，周期为
?
，且在
[,]
上为减函数的是（ ）
42
??
?
?
A
.
y?
sin(2
x?
)
B.
y?cos(2x?)

22
C.
y?sin(x?)
D.
y?cos(x?)

22
点拨：此题考查三角函数的周期和单调性.
?
?
?
?
3
?
?
??
解：C、D 中函数周期为2
?
，所以错误.当
x?[,]
时，
2x??
?
?
,
?
，函数
2
?
2
?
42< br>y?sin(2x?)
为减函数,而函数
y?cos(2x?)
为增函数，所以 答案选A.
22
例6函数
y?2
x
?x
2
的图像大致是（ ）
?
?

点拨：此题考查函数图像，需要结合函数特点进行分析,考虑观察零点.
1
2
x
?x
2
?0
，
2
x
?x
2
?
?4<0
，解：因为当
x?
2或4时，所以排除
B
、C；当
x?
-2时，
4
故排除D，所以答案选A.
易错点：易利用导数分析单调性不清导致错误.
【解法四】 验证法：
将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.
?
例7 将函数
f(x )?sin(
?
x?
?
)
的图像向左平移个单位.若所得图像与原图 像重
2
合，则
?
的值不可能等于（ ）
．．．

A
.4
B.
6
C.
8
D.
12
点拨：此题考查三 角函数图像变换及诱导公式，
?
的值有很多可能，用验证较易
得出答案.
解：逐项代入验证即可得答案选B.
实际上，函数
f(x)?sin(
?< br>x?
?
)
的图像向左平移
f(x)?sin[
?
(x ?)?
?
]?

2
sin[
?
x?
??(
?
?)]
，此函数图像与原函数图像重合，即
2
?
个单位所得函数为
2
?
?

sin[
?
x?< br>?
?(
?
?)]
?sin(
?
x?
?
)
，于是
?
为4的倍数.
2
?
易错点：
f(x )?sin(
?
x?
?
)
的图像向左平移个单位所得函数解析式，应 将原解
2
析式中的
x
变为
x?
?
?
2，图像左右平移或
x
轴的伸缩变换均只对
x
产生影响，其中
平移 符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.
例8设数列
?
a
n
?
中，

a
1
?2,a
n?1
?2a
n
?3
， 则通项
a
n
是（ ）
A．
5?3n
B．
3?2
n?1
?1
C．
5?3n
2
D．
5?2
n?1
?3

点拨：此题考查数列的通项公式，直接求
a
n
，不好求，宜用验证法. 解：把
a
1
代入递推公式得：
a
2
=7
，再把 各项逐一代入验证可知，答案选D.
易错点：利用递推公式直接推导，运算量大，不容易求解.
【解法五】 图解法：
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出
正确判断. 习惯上也叫数形结合法.
例9设函数
f(x)?4sin(2x?1)?x
，则在下 列区间中函数
f(x)
不存在
．
零点的是（ ）
A
.
?
?4,?2
?
B.
?
?2,0
?

C.
?
0,2
?
D.
?
2,4
?

点拨：此题考查函数零点问题，
可转化为 两个熟悉函数的交点
问题.画图时应注意两个函数在
与选项有关的关键点（如分界
点） 的函数值大小关系.
解：将
f
?
x
?
的零点转化为函数< br>g
?
x
?
?4sin
?
2x?1
?
与h
?
x
?
?x
的交点，数形结合，
答案选A.
易错点：图像不准确，忽略关键点，易解错.
例10 （2011高考江西卷理）若曲线< br>C
1
：
x
2
?y
2
?2x?0
与曲 线
C
2
：
y(y?mx?m)?0
有4个不同的交点，则实数
m
的取值范围是（ ）

A.
(?
33
33
,0)?(0,)

,)
B.
(?
33
33
33
33
)?(,??)

,]
D.
(??,?
33
33
y
C.
[?
点拨： 此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形
结合的思想进行求解.
曲线
C
1
：
(x?1)?y?1
，图像为圆心为（1,0），半径
为1的圆；曲线
C
2
：
y?0
，或者
y?mx?m?0
，直线即曲线
C
2
图像为
x
轴与恒
y?mx?m?0
恒过定点
(?1,0)
，
过定点
(?1,0)
的两条直线。作图分析 ：
k
1
?tan30??
22
l
1

?1

O
1
x
l
2

33
，
k
2
??tan30???
，又直线
l
1
（或直线
l
2
）、
x
轴与圆共有
33
33
,0)?(0,)

33
四个不同的交点，结合图形可知
m?k?(?易错点：（1）忽略曲线方程
C
2
：
y(y?mx?m)?0
表 示的是两条直线（2）求直
线与曲线相切时
m
的值时不结合图像取值导致错误.
【解法六】 分析法：
（1） 特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特 征、位置特征
等，进行快速推理，迅速作出判断的方法.
m?34?2m
?
?
例11 已知
sin
?
?,c os
?
?(?
?
?
?
)
，则
tan
等于( )
m?5m?522
m?3
A
.

9?m
m?3

B.

9?m
1

C.

3
?
2

D.
5
点拨：此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1
求
m
的值，再根据半角公式求
tan
，运算较复杂，试根据答案数值特征分析.
解：由于 受条件
sin
2
?
?cos
2
?
?1
的制 约，
m
为一确定的值，进而推知
tan
一确定的值，又
?
2
也为
?
2
?
?
?
?
，因而
?4
?
?
2
?
?
2
，故
tan
?
2
?1
，所以答案选D.
易错点：忽略
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
m
为一确定的值导致结果 与
m
有关.
（2） 逻辑分析法：通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，
选出正确项的方法.

例12 当
x?[?4,0]
时，
a??x
2
?4x?x?1
恒成立，则
a
的一个可能值是（ ）
4
3
A
. 5
B.
5

C.
?
5

D.
-5
3
3< br>点拨：此题是有关不等式恒成立的问题，可运用数形结合的思想进行求解，较复
杂.
解：由
?x
2
?4x?0
知A真
?
B真
?
C真
?
D
真，假设A,B,C真，则均有两个
以上 正确答案，所以根据选择题答案唯一的特点，答案选D. 也可利用数形结合
思想求解.
易错点：忽略不等式的特点，平方转化为二次不等式，导致错误.
（3） 定性分析法：通过题干中已知条件对结论进行定性分析，再通过与选项的
对比得出结论.
【解法七】估值法：
对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正
确选项.
4
例13若
cosa??
，
a
是第三象限的角，
5
则
sin(a?)
=（ ）
4
?
A
.
?
72
7222
B. C.
?
D.
10
101010
点拨：此题考查同角三角函 数关系及两角和公式，
可根据角的范围先求出
a
的正弦值，再根据两角
和公式 求
sin(a?)
.
4
?
?
2
解：根据单位圆估 算
sin(a?)??
, 所以答案
42
选A.
易错点：忽略角的范围，求正弦值得出两个答案，以致思路受阻.
例14据2002年3月5 日第九届全国人大五次会议《政府工作报告》：“2001年
国内生产总值达到95933亿元，比上年 增长7. 3%. 如果“十五”期间
（2001-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增 长，那么到“十五”
末我国国内年生产总值约为（ ）
A
.115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元
点拨：此题考查等比数列在实际生活中的应用，容易列式，但结果的数值难算，
应进行估算.
解：
95933(1?7.3%)
4
?96000(1?7.3%)
4
?96000(1?4?7.3%)?96000?1.3

?12 4800
95933(1?7.3%)
4
?95000(1?7%)
4
?95000(1?4?7%)?95000?1.28?121600

且
所以答案选C.
易错点：没有想清楚2005年生产总值是以95933为首项，
(1?7.3%)
为公比的等
比数列的第五项，错列式
95933(1?7. 3%)
5
导致错误.
【解法八】逆推法：
假设选项正确，以部分条件作为 已知条件进行推理，看是否能推出与已知条
件矛盾的结论，从而找出正确答案.
例15用
min{a,b}
表示
a,b
两数中的最小值. 若函数f (x)?min{x,x?t}的图像
1
关于直线
x??
对称，则
t
的值为（ ）.
2
A
.
?2
B.
2
C.
?1
D.
1

点拨：此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于
t
的
值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.
解：根据图像，t??2
时，函数
f(x)
的图像关于直线
x?1
对称， t?2
时，函数
f(x)
的图像关于直线
x??1
对称，
t??1
时，函数
f(x)
的图像关于直线
x?
1
对2
称，所以答案选D.



例16在
ABC
中，
?A,?B,?C
所对的边分别为
a,b,c
，若
si nC?
sinA?sinB
，
cosA?cosB
则
ABC
是（ ）
A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
点拨：此题考查解三角形，条件比较难转化，考虑从选项出发.
解：等 边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B正确.
此时
A?B?C?60
,

33
?
3
sinA?sinB
2
?3
，不满足题目条件，所以A， B，C
sinC?
，
?
211
2
cosA?cosB
?
22
均不满足题意，故答案选C.
易错点：利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和
180
.
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于 用什么“策略”、“手段”
都是无关紧要的，但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原 因.
另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有
这样，才 会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大
作，真正做到准确，快速. 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想，但更应该充分挖掘题目
的“个性”，寻求简便方 法，充分利用选项的暗示作用，迅速地作出正确的选择.
这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节
省时间.