高中数学中的深度广度

如何把握好高中数学新课程的深度和广度
数学班 李寿成
[摘要]由于课程改革的力度大，教师对《普通高中数学课程标准》（以下简
称《标准》）的学习、研究 和消化的困难也比较大，造成教师对《标准》中一些
内容的定位和教学的“广度”和“深度”的认识和把 握不够准确，有不少教师提
出《标准》对教学内容的要求还不够明确，表述比较模糊《标准》一句话，教 材
几页纸，教学几课时，教学时如何把握教学深度，教师心里确实没底，还有一此
教师存在恋旧 心理，潜意识中留恋《大纲》和老教材，排斥《标准》和新教材，
按照惯性思维处理新教材。
[关键词]把握新课程的深度和广度
《标准》中明确规定，每个模块36课时，4课时 周． 一个模块9周讲完，
1周复习考试，完成一个模块需要10周的时间．每个学期要完成两个模块的学习．按照现在课时的安排，这是一个不可能完成的任务．教师都是第一次接触，
对全部教学内容都没 有整体上的了解，对未来高考怎么考更知之甚少。在这种情
况下，如何把握新课标高中数学课程的教学深 度成为了所有教师的担忧。那么我
们怎样看待这个问题？当然每个地区、每个学校学生的实际情况不同， 深度与广
度也不同，大部分学校每周加大课时量，增加深度与广度，并且存在选修课必选
的现象 。下面我就结合《标准》和新教材谈谈自己的一些看法：
《标准》规定的内容确实增多了，教材也变厚 了，但《标准》的要求与原大纲
要求有了很大的区别。《标准》教材与大纲教材比较内容非常丰富了许多 ，在正
文中设置了“观察”“思考”“探究”栏目，发挥问题的作用．“看过问题三百
个，不会 解题也会问”，在学生主动发现问题、提出问题的能力比较薄弱的情况
下，先帮助学生提出问题，引导学 生思维，适当展开学习过程．使学生的学习更
主动、更生动、更富探索性；再次，教材中的选材素材“观 察与猜想”“阅读与
思考”“探究与发现”等拓展性栏目．基于此，《标准》教材厚了一些．但是《标< br>准》的结构体系、内容安排等作了较大的调整，特别是关于教学要求变化很大，
因此教师对整套教 材的结构体系以及内容安排应该有个整体的把握，教学时要认
真钻研教材，深刻领会教材的编排意图和新 大纲的要求，如：
一、关于函数部分
（1）对函数概念的认识
函数是描述客观世 界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中
数学课程的始终．函数是两个数集之间的一种对 应关系，对这种对应关系的认识
和理解需要一个过程．从课程内容本身来看，函数的内容是分阶段安排的 ：《数
学1》安排函数的基本概念、基本初等函数I：指数函数、对数函数；《数学4》

安排基本初等函数Ⅱ：三角函数；《选修二1-1》（《选修2-2》）安排导数及
其应用．从 函数与其他一些数学内容联系来看，《数学5》中“数列”是一种特
殊的函数，“一元二次不等式”与二 次函数的联系；《数学3》“统计”中两个
变量线性相关与一次函数的联系；《数学2》解析几何初步以 及《选修1-1》（《选
修2-1》）中“圆锥曲线与方程”与函数的联系．学习这些知识内容，可以加 深
对函数概念的认识，体会不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，
感受数学的 整体性．
（2）关于函数的单调性
单调性虽然是函数的重要性质，但对它的认识、研究是个 漫长的过程．在《数
学1》中介绍函数单调性的定义，并通过定义，判断简单函数的单调性，然后讨论了指数函数、对数函数以及幂函数的单调性；《数学4》在介绍正弦函数、余
弦函数、正切函数时 ，进一步研究了函数的单调性；在《选修1-1》（或《选修
2-2》）中，用导数作为工具，研究了一 般函数的单调性，主要是三次多项式函
数的单调性．如果在《数学1》中就让学生用函数单调性的定义， 讨论三次多项
式函数和一些复杂的函数的单调性．那么，我们可以肯定地说，教师对教材整体
的 把握方面存在很大的问题．
（3）关于复合函数
在《数学1》中没有明确提出“复合函数” 的概念，明确提出“复合函数”
的概念是在《选修2-2》“第一章导数及其应用”中．
（4）关于反函数
对反函数的处理，《标准》“只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，
不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数”，“知
道指数函数y = ax与对数函数y = logax互为反函数（a＞0，a≠0）”．至于
“互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x 对称”更不作为要求．因此关于
反函数的问题，《标准》和教材的要求非常明确，不要拓展内容，不要提 高要求，
应适可而止．
（5）关于幂函数
幂函数在高中数大纲教材中反反复复地出 现，但大纲教材没有提出“幂函数”
的概念，这次高中新课程中又一次提出幂函数的概念．其实教师和学 生对幂函数
并不陌生，正比例函数y = x，反比例函数y = x－1，最简单的二次函数y = x2
都是幂函数．现在只不过是给出了幂函数的形式化定义，且只讨论指数是1，1
／2,2， 3，-1的幂函数，结合它们的图象，了解它们的变化情况．在《数学1》
中，对幂函数的要求很低，主 要是结合它们的图象，了解它们的变化情况，并与
指数函数、对数函数进行比较，比较它们的增长差异．

（6）关于函数模型及其应用
首先要对“数学模型”有个正确的认识．《标准 》中多次提到“数学模型”
一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系．数学模型是把实际问题用数 学
语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实
际问题的描述 ．数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程
式、函数解析式等等．实际问题越复杂 ，相应的数学模型也越复杂．当数学模型
的形式是函数时，这时，我们称之为函数模型．函数模型的表现 形式也是多样的：
解析式、图象、表格等．
本次高中数学课程改革把“发展学生的数学应用意 识”作为课程的基本理念
之一，提出“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值”． 《标准》中，函数模型的建立及其应用贯穿于整个高中数学课程教材的
始终，分层次、分步 骤，螺旋安排，逐步深入．在《数学1》、《数学4》的“三
角函数”、《数学5》的“数列”以及《选 修1-1》（《选修2-2》）的“导数
及其应用”中都有函数模型及其应用的内容．它们收集许多社会 生活中普遍使用
的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模
型的广泛应用等等．
（7）关于函数的定义域、值域
函数的定义域和值域是函数的组成部分 ．尽管《标准》要求“会求一些简单
函数的定义域和值域”，同时“避免在求函数定义域、值域时出现过 于繁琐的技
巧训练，避免人为地编造一些求定义域和值域的偏题”． 因此在教学中，教师
不要 拔高这方面的要求，出现很多把对数、根号、分母、绝对值、一元二次不等
式等“整合”在一起的“堆砌 题”，使学生“沉浸”在繁琐的技巧训练中，在一
定程度上冲淡了对函数本质及有关性质的理解．值域的 问题亦如此，很多借助求
函数的反函数定义域的方法求函数的值域更是《标准》和教材中没有提到的．增
加这些内容，势必拓展这方面的要求．关于这方面的要求，要切实把握好．实际
上，建立函数模 型描述实际问题、解决实际问题时，其定义域和值域是显而易见
的。
二、 关于一元二次不等式
高中“大纲教材”在第一册（上）“第一章集合与简易逻辑”中有一元二次
不等式及其解法的内容，现在“一元二次不等式”的内容放在《数学5》中．之
所以这样，是考虑到现 在强调“函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型”，
讲函数的背景、函数的性质、函数的应用，对 求函数的定义域、值域的要求不高，
况且结合实际问题求函数的定义域、值域都是显而易见的．如果在求 函数的定义
域、值域方面出现过于繁琐的技巧训练，“一元二次不等式”前置，势必影响对
函数 概念本身的认识，这也是“一元二次不等式”内容后置的一个重要原因．

三、关于二分法与算法
二分法是这次高中数学课改新增加的内容．引入二分法 的主要目的是加强函
数与方程的联系，它是求方程近似解的一种方法．由于二分法中算法思想非常明确，在《数学1》中介绍二分法，可以为讲解“算法”内容提供重要的素材．介
绍二分法时，教师心 中始终要有整个高中数学课程的框架．
四、关于立体几何
立体几何部分，可以说是这一次新 课改中变化最大的一个部分，比较突出的
是《数学2》中立体几何初步的内容．与传统的立体几何的结构 体系相比，新课
程中的立体几何的结构体系有重大改革．传统的立体几何内容，常从研究构成空
间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、
平面之间位置关系和有 关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、
棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、 表面积等等，基本上按照从局部
到整体的原则．现在，先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空 间几何
体的点、直线和平面，最后回到几何体，遵循“整体——局部——整体”的原则．这
种变 化很大程度上考虑到，适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的
门槛，提高学生学习立体几何 的兴趣．对发展学生的空间观念，培养学生的空间
想象能力、几何直观能力有很大帮助．教师需要适应这 种变化，尽管在适应过程
中会遇到诸多的问题，增加三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象
能力和几何直观能力具有重要的促进作用．过去的“立体几何”内容相对来说，
这方面比较薄弱 ．
三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状况．对图形既需要直观地感
觉，也需要思辨地 论证．我们要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，
能够从空间几何体的直观图画出它的三视图 ，从三视图画出它的直观图等等．使
得学生能通过“实物模型——三视图——直观图”这样一个相互转化 的过程认识
空间几何体．这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径．只有这样，立
体几 何的教学目标才会更加全面．但一个现实情况是，“空间几何体” 只安排
了8个课时，留给“空间几何 体的三视图和直观图”仅有2个课时的时间，很多
内容无法展开．要想说得很清楚，势必冲破2个课时的 限制，这显然违背《标准》
的要求．因此，很多内容“点到为止”，要求不能高。
关于“三 垂线定理及其逆定理”整个高中立体几何就是“三垂线定理”．尽
管说得过分些，但从另外一个角度说明 ，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”
中的地位和作用．确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容 的一个典型代表，
处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：直线与直线、直线与
平面、平面与平面的垂直和平行．在《数学2》“点、直线、平面之间的位置关
系”中虽然没有明确提 到“三垂线定理”，在选修2-1“空间向量与立体几何”
中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关 系的一些定理（包括三垂线定

理）”．因此理科学生应该知道这个定理，而且只要求了解 其内容，并用向量方
法证明，不要求运用此定理证明有关的命题．实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时，而且直线与平面、平面与平面平行和
垂直的判定定理仅仅 要求归纳得出，在《数学2》中没有严格的证明。
高中新课程正在实施中，实践是检验真理的标准，有 许多矛盾待以解决，希
望同行们有好的经验与大家一起分享。
参考文献； 高中教学大纲、新课程标准.
. 高中数学人教版教材