《高中最全数学解题的思维策略》

一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安 徽写生画图，
昨天下午坐了24个小时的火车过来，误了4天的课程，最后咱们
下午物理上完之 后再给大家补课，再给大家补5天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能 会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多 海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分 数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好， 家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批 学生
反映最后对我们3个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必 修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳 的知识和一些数学技巧；在最后2天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大 家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导 读
数学教学的目的 在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情 况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难 题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考120分< br>钟，12道选择，4道填空，基本用时不超过50分钟，选这题一般最后2个比较难，填空
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题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第2 道大
题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率
也不 高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做
完了，再去做会做的， 即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，
也会给分。)
根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
二、数学思维的反思性 （大家以后会遇到 很多你不会的题，也会遇到很多你会但
是做错了的但是又拿很少分的题，大家错了后又该怎么办呢，改错 本的应用，改错本的
技巧，应该记下什么样的错题或者什么样的题，举例比如我高考前有一段时间发现我 计
算老是出问题，因为计算老是丢分，而且还丢不少分，物理也是，，那该怎么办呢，，考
试卷 子后面答案练习计算能力，不但数学计算能力提高，物理也提高，（物理比如说磁场
和能量那很多计算题 ，），一举两得，分析原因，是计算问题，还是粗心问题，还是基础
知识掌握不牢固，公式没记住，都要 对每一道错题反思）
提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性
考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
五．数学思维的归纳总结性
在日后的学习中也会交给大家对一些常用如对数例，解析几何（解 释），等很多的举
例，也会在日后交给大家一些高考的答题技巧。
六．学习习惯的培养 我感觉任何一个想学好考好的学生，习惯是很重要的，去年有几个学生我感觉挺聪
明的，但是最后考 的不理想，平时老是玩手机，玩qq，玩空间，什么样的角色做什么样
的事。还有上课该怎么利用，有些 同学感觉上课老师讲的知识点我下来再记，主要的时
间还是在课堂，能在课堂记住的课堂一定要记住，大 家肯定有学习好一点的，也有不好
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一点的，大家到这的目的只有一 个，那就是来学习了，平时学习要坚持，谁坚持到最后
谁笑的最美，有不会的就要问，

七．考试的心态。
不是先告诉大家要自信，在考场上我感觉最重要的要有一种紧迫感但是又不 慌（就
好像有人在后面催的你了），举例，，，接下来的才是自信。（万万不可因为有点成绩就骄
傲，大家眼光一定要放远，你的竞争对手是宣化一中，张家口一中，很水一中，咱们阳
原一中有个特点 ，我感到很不可思议，就是每年高考前半个月或者一个星期，学校就给
大家放假，我看去年补课的学生， 很多块高考呀，都开始照相，玩qq,转呀,直到高考最后
移门大家那颗紧绷心都不能放下）




第一讲 数学思维的变通性
一、概念
数学问 题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的
变通性——善于根 据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，
本讲将着重进行以下 几个方面的训练：
（1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最 初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种
有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基 本的途径，它是了解问题、发现问题和解决
问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学 条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对
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题目进 行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题
思路，找到 解题方法。
例如，求和.
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数 ，且
此，原式等于
（2）善于联想
问题很快就解决了。
，因
联 想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题 的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联
想，将问题打开 缺口，不断深入。
例如，解方程组.
。由此联想到韦达定理，、是一元二次方这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为
程
所以
的两个根，
或.可见，联想可使问题变得简单。
（3）善于将问题进行转化

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解 题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过
问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的 思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，
就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题， 把未知问题转化成已知问题。在解题
时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决
若干 问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使
思维受到 限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
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综上 所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高
思维变通性， 必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
（1） 观察能力的训练
虽 然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的
训练，使学 生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知都是实数，求证
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设
则
如图1－2－1所示，


在

因此，
中，由三角形三边之间的关系知：
当且仅当O在AB上时，等号成立。

O
y
图
1
－
2
x
思维障碍 很多学生看到这个不 等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这
些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观 察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公
式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。 因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
例2 已知
解 由
，试求
得
的最大值。
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又
当时，有最大值，最大值为


变为一元二次函数思路分析 要 求的最大值，由已知条件很快将
然后求极值点的值，联系到
述解法观察到了隐蔽条件，体现了思 维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：
由 得

当时，取最大值，最大值为
，这一条件，既快又准地求出最大值。上
这种解法由于忽 略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表
面形式上发现特点，而且还能从 已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数
，试比较
思路分析 由已知条件
该函数的图像关于直线对称，又由
与
满足关系
的大小。
可知，在与
y
左右等距离的点的函数值相等，说明
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由
知是以直线
，
O
2 x
图
1
－
2
－
为对称轴，开口向上的抛物线
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2

它与距离越近的点，函数值越小。

思维障碍 有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。而此题函数的表
达式不确定无法代值，所以无法比较。 出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而
思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每 一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才
能顺利解题。提高思维的变通性。
（2） 联想能力的训练.（练想法一般用到什么时候，感觉用一般的想法算不出来的时候用联想法）
例4 在中，若为钝角，则的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在
公式
解
且
为钝角，

中确定三角函数
可得下面解法。
.在中
的值。因此，联想到三角函数正切的两角和

故应选择（B）
思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不
牢固，不能准确把握 公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若
思路分析 此题一般是通过因 式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与
一元二次方程的判别式相似。于是，我 们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当时，等式
有等根的条件，在进一步观察这个
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可看作是关于的一元二次方程

方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：

若
例6 已知
证:
思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想
即
，由已知条件易得

即,显然也有
,又
.
为不小于的自然数，求均为正实数,满足关系式
到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设

当
于是有
即
从而就有


时，有

所对的角分别为
且

、、则是直角，

为锐角，于是
思维阻碍 由于这是一个关于自然数的命 题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进
行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间 的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目
条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观 察具体特征，联想有关知识，
而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使 问题很快得到解决，所以，
进行问题转化的训练是很必要的。
○1 转化成容易解决的明显题目
例11 已知求证、、中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们
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熟悉的形式。、、中至少有一个为1，也就是说
题就容易解决了。
证明
于是



中至少有一个为零，这样，问
中至少有一个为零，即、、中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为
1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻
译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线的方程为，其中；椭圆
，问
的中心为，焦点在轴上，长半
轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为
它们中的每一点到点
在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，
的距离等于该点到直线的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
（1）
是，又从已知条件可得椭圆的方程为
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求
（1）得：

确定
（3）
的取值范围。将（2）代入
的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件， 解不等式组：

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在的条件下，得
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。
○2 逆向思维的训练
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当 问题的正
面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数，求证、、中至少有一个不小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一” ，它也是中学数学常用的解题方法。当要证
结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑 采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即、、都小于1。
则
①＋③得
与②矛盾，所以假设不成立，即
○3 一题多解训练
、
，
、中至少有一个不小于1。
由于每个学生在 观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不
同的解法，这就是“一题 多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高
数学思维的变通性。
例14 已知复数的模为2，求
解法一（代数法）设
的最大值。



y
解法二（三角法）设
则


O
．i
10 11
．
-2i
Z
x
图
1
－
2
－
3

解法三（几何法）

如图1－2－3 所示，可知当时，
解法四（运用模的性质）

而当时，
解法五（运用模的性质）


11 11