dpi公式鸡兔同笼问题五种基本公式和例题

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔
数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡
数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，
可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）
=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免
的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，
可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔
的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只
兔的脚数）=鸡数；
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+
每只不合格品扣分 数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣
分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品 得分数+每只不合格品扣分
数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分 的多少给工资。每生产一个合
格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生 产
了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好无损者每只给运费
××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然< br>可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少
的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷
（每只鸡兔脚数之差 ）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）
÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚
52只。鸡兔各是多少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）


鸡兔同笼

目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程
4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法
基本问题 特殊算法 习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前 ，《孙子算经》中
就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十
五 头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡
兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头,从下面数，有94只脚。问笼中
各有几只鸡和兔？
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23） 解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只，
由于鸡只有2只脚，所以 笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子
数。虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡：2×35=70（只）
鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）
兔：24÷(4-2)=12 （只）
鸡：35－12=23（只）
假设法（通俗）
假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用 两只脚
站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只） 鸡：35-12=23
（只）
3方程法
一元一次方程
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷2
x=12
35-12=23(只）
或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时， 选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同
笼的问题上，好算一些。
二元一次方程
解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35
2x+4y=94
（x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入（x+y=35)
x+12=35
x=35-12（只）
x=23（只）。
答：兔子有12只，鸡有23只
4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里
的兔就比鸡的头数多1 ，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的
只数。
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股
坐在地上， 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24
÷2=12只兔子，就有35－12=2 3只鸡
5列表法
腿数
鸡（只数）
兔（只数）
6详解 中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，
有许多有趣的算术题，比 如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是
一只脚，两只后脚也用绳子捆 起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2
只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），
比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 < br>现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72
（只），再松开 一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一
直继续下去，直至增加24，因此兔子数 ：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23
（只）。
我们来总结一下这道 题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根
据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得 到的脚数与题中
给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的
脚数除 以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关
系式是：兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每
只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。
我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y
那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有
23只。
7详细解法
基本问题
鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中.许
多小学算术应用题 都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--假设
法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多
少只

解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立一只脚站着；而每只兔子都用两条
后腿，像人 一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就
是
244÷2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算 了两次。因此
从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数- 兔子数=鸡数
特殊算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上 能求
出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4
又是2的2倍 .可是，当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4
和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们 对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.
说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出
公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是鸡那么共有脚2×88=176（只），比244
只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的鸡有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，
就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设法
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0. 11元，两种铅笔共买了16支，花
了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？
解：以分作为 钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子有19
只脚，它们共有16个头，280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式，
就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于 这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数
与11之和是30.我们也可以设想1 6只中，8只是兔子只是鸡根据这
一设想，脚数是
8×(11+19)=240（支）。
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）。
就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来
完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔
数为10,鸡数为6， 就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子。
例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需 10小时完成，现
在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用
了多 少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小
时 打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打 字的时间看成鸡头数，总头数是
7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成鸡兔 同笼
问题了。
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
鸡数=7-4.5
=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。
四年后(2 002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.
那么当父的年龄是兄的年龄的3倍 时，是公元哪一年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母 年龄
之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头
数。25是总 头数是总脚数根据公式，兄的年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对 翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只 ？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成
条腿与条腿两种 。利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共 做对181道题，已知每人
至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道< br>的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以 把他们看作是对2.5道题的
人（(2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有
多少只？
以简单的X方程计 算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，
那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88 -X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有 的脚数。4X就是
兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。
答：兔子有34只，鸡有54只。
习题一
1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只 ？
2．学校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2
人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个
数的4倍，问5 分硬币有多少个 ？
4．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其
中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？
5．一件工程，甲单独 做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干
天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后 共用了16天.甲先做了多
少天 ？

6．摩托车赛全程长281千米，全程被划 分成若干个阶段，每一阶段中，有
的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2 千米）和一
段平路(4千米）组成的；有的是由一段上坡路(3千米），一段下坡路(2千米）
和一段平路(4千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.
全程中包含这两种阶段各 几段？
7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票
多少张？
二、两数之差的问题
鸡兔同笼中的总头数是两数之和如果把条件换成两数之差又应该怎样
去解呢
例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的
邮票多40张，那么两种邮票各买了 多少张？
解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样
多.
(680-8×40)÷(8+4)=30（张），
这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。
也可以用任意假设一个数的办法.
解二：譬如，假设有20张4分，根据条件分比4分多4 0张那么应有
60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少，因此还要增加邮票。为了保持差是40，每增 加1张4分，就
要增加1张8分，每种要增加的张数是
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多
3天，
工程要多少天才能完成
解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完 成10份，
雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有
(150-8×3)÷(10+8)= 7（天）.
雨天是7+3=10天，总共
7+10=17（天）.
答：这项工程17天完成。
请注意，如果把雨天比晴 天多3天去掉，而换成已知工程是17天完成，
由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其 一，就能推算出另一
个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是两数之和如果把条件换成两数之差又应该怎样去解呢
例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：假如再补上28只鸡脚， 也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数
就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的 只数是兔的只数的2倍。
兔的只数是
(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.
鸡是 100-38=62（只）.
答：鸡62只，兔38只。
当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法。
解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为 了保持总数是100，
一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注
意，不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12（只）.
兔只数是50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差总脚数也换成两数
之差
例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，
每句都是七个字。有一诗选集，其中 五言绝句比七言绝句多13首，总字数
却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13×5×4+20=280（字）.
每首字数相差 7×4-5×4=8（字）.
因此，七言绝句有 280÷(28-20)=35（首）.

五言绝句有35+13=48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首。
解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数
分别是20×23=4 60（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
460-280=180（字）.与题目中少20字相差180+20=200（字）.
说 明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增
一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200
÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.
七言绝句有 10+25=35（首）.
在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，< br>例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出
的计算式子与鸡兔同笼 公式对照一下，就会发现非常有趣的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是
(680-8×40)÷(8+4)=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是
(100×4-28)÷(4+2)=62（只）.
10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×13+20)÷(28-20)=35（首）.
首先，请读者先弄明白上面三个算 式的由来，然后与鸡兔同笼公式比较，
这三个算式只是有一处成了其奥妙何在呢
当你进入初中 ，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从
数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是 同一件事。
例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，
每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运
费379.6元，问这次搬运 中玻璃瓶破损了几只？
解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2 （元）.
因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17（只）.
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。
请你想一想，这是鸡兔同笼同一类型的问题吗
例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不
答）1题倒扣1分；第二次15道题 ，答对1题8分，答错或不答1题倒扣
2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次 测验得分
多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：如果小明第一次测验24题全对， 得5×24=120（分）.那么第二次只
做对30-24=6（题）得分是 8×6-2×(15-6)=30（分）.
两次相差 120-30=90（分）.
比 题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，
要减少.第一次答对减少一题， 少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不
但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分 。两者两差数就可减少
6+10=16（分）.
(90-10)÷(6+10)=5（题）.

因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，
第二 次答对30-19=11（题）.
第一次得分5×19-1×(24- 19)=90.
第二次得分8×11-2×(15-11)=80.
答：第一次得90分，第二次得80分。
解二：答对30题，也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错 一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满
分中扣去8+2=10（分）.答错 题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6 ×9.但两次满分都是120分。
比题目中条件第一次得分多10分要少了6×9+10.因此，第二次 答错题数
是
(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·
第一次答错9-4=5（题）.
第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.
第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.
习题二
1．买语文书3 0本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵
0.44元。每本语文书和数学书的价 格各是多少 ？
2．甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.
甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？
3．一辆卡车运矿石，晴 天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了
若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3 天，但运的次数却比晴
天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？
4．某次数学测验共20 道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做
得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？

5．甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，
乙失3 分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。问
甲，乙各中几发 ？

6．甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙
地返回甲地，小王 从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙
地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过 4小时后，他们在返回的
途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？

三、从三到二

鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的 类似问题.在第一
节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把
三种 转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方
法。

例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，
共花了300元.其中铅笔数量是 圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠
笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少 支

解：从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍这两种笔可并成一种笔，四支铅笔
和一支 圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.60×4+2.7)÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢笔支数
是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）.

其中圆珠笔

220÷(4+1)=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。

例14 商店出售大，中 ，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每
个1元。张老师用120元共买了55个球，其中 买中球的钱与买小球的钱恰
好一样多.问每种球各买几个

解：因为总钱数是整数 ，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数
是整数，而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球 钱中各出3元.就可
买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2（元）.

从公式可算出，大球个数是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30（个）.

买中，小球钱数各是

(120-30×3)÷2=15（元）.

可买10个中球，15个小球。

答：买大球30个，中球10个，小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之
间相等 关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实
质上都是求两种东西的平均价，就把 三转化成二了。

例15是为例16作准备.

例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6
千米，求他的平均速度是多少

解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10 分钟。来回共走2
千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.
千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)÷2=4.5千米。
例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度
是每小时3千米 ，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。
从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地 到甲地，李强行走了11小时.
问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米
解：把来回路程 45×2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去
时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成 一种路程，根据例15，平均速度
是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+ 11=21，
总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷
(5-4)=6（小时）.
单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.
从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：
45-5×3=30（千米）.
又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：
(6×7-30)÷(6-3)=4（小时）.
行走路程是3×4=12（千米）.
下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.
答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。
做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题例16是非常典型
的例题。
例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，
或者16题， 或者20题。那么，其中考25题的有多少次
解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.
每次考25道题，就要多25-16=9（道）.
每次考20道题，就要多20-16=4（道）.
就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意，4和42都是偶数，9×考25 题次数也必须是偶数，因此，考25题
的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能 是0,2,4这三个
数。由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.
答：其中考25题有2次。
例18 有50位同学前往参观，乘电车前 往每人1.2元，乘小巴前往每人4
元，乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问其 中乘小
巴的同学有多少位
解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此 乘电车前
往的人数一定是5的整数倍.
如果有30人乘电车，
110-1.2×30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了.
如果有40人乘电车
110-1.2×40=62（元）.
还余下50-40= 10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多(62>6×10).说明假设
的乘电车人数又多了。30至4 0之间，只有35是5的整数倍.
现在又可以转化成鸡兔同笼了：
总头数50-35=15,
总脚数110-1.2×35=68.
因此，乘小巴前往的人数是
(6×15-68)÷(6-4)=11.
答：乘小巴前往的同学有11位。
在“三转化为二时，例13，例14，例16是一种类型 .利用题目中数量比
例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类型.充分利用
所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几
个数值逐一考虑是否符合题目 的条件.确定了一个个数，也就变成二的问
题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复 杂的问题，只
能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。
习题三
1．有 100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成
79个，然后又把其中的1分硬币 换成等值的5分硬币，硬币总数变成63个.
求原有2分及5分硬币共值多少钱 ？
2．京 剧公演共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每张30
元，丙票每张18元.其中丙 票张数是乙票张数的2倍。问其中甲票有多少张？
3．小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已 知做一题得5分，不答得2分，
做错一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对 几
题 ？
4．1分，2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。问三种硬币各多少枚？
注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.
5．甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到 乙地往返行走.上坡速度每小时
4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米。去时行走了 4
小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少
千米？

6．某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的住8个
学生， 不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问
这样的宿舍有几间 ？

测验题

1．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。 它一
连几天采了112个松籽，平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨？

2．有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36
分钟才注满水池。现在先 打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙
头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟。 问注满水池总共用了
多少分钟 ？

3．某工程甲队独做50天可以完成，乙队独 做75天可以完成.现在两队合做，
但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后40天才把这项工 程做完.
问乙队中途离开了多少天？

4．小华从家到学校，步行一段路后就跑步 。他步行速度是每分钟600，跑
步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行 的距离
却比跑步的距离少400米。问从家到学校多远？

5．有16位教授，有 人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个
研究生.他们共带了27位研究生。其中带1个研究 生的教授人数与带2,3个
研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人 ？

6．某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖1000元，二等
奖250元，三等 奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元。问二等奖
有多少名？

7 ．有一堆硬币，面值为1分，2分，5分三种，其中1分硬币个数是2分
硬币个数的11倍.已知这堆硬 币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？

四、 答案

习题一

1．龟75只，鹤25只。

2．象棋9副，跳棋17副.

3．2分硬币92个，5分硬币23个。

应将总钱数2.99元分成2×4+5=13（份），其中
5分钱数占5份。

4．2元与5元各20张，10元有10张.

2元与5元的张数之和是

(10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40（张）.
2分钱数占2×4=8（份），

5．甲先做了4天。

提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份.

6．第一种路段有14段，第二种路段有11段。

第一种路段全长13千米，第 二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25
段，是标准的鸡兔同笼

7．最多可买1角邮票6张。

假设都买4分邮票，共用4×15=60（分）， 就多余100-60=40（分）.买一张
1角邮票，可以认为4分换1角，要多6分。40÷6=6… …4，最多买6张.
最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票。

习题二

1．语文书1.74元，数学书1.30元。

设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是

(83.4-0.44×30)÷(30+24).

2．买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克。

甲茶数=(96×12-354)÷(132+96)=3.5（千克）

3．一连运了27天。

晴天数=(11×3+27)÷(16-11)=12（天）

4．小华做对了16题.

76分比满分100分少24分。做错一题少6分，不做少5分.24分只能是6
×4.

5．甲中8发，乙中6发。

假设甲中10发，乙就中14-10= 4（发）.甲得4×10=40（分），乙得5×4-3
×6= 2（分）.比题目条件甲比乙多10分 相差(40-2)-10=28（分），甲少中
1发，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.

28÷(6+8)=2.

甲中10-2=8（发）.

习题三

1．295分

解：每2.5个2分可换1个5分 ，即每换1个5分，个数就减少1.5个。已
知减少了100-79=21个，所以换成的5分的个数= 21÷1.5=14个。也就是说，
是用5×14=70分钱换成了5分，所以2分币是70÷2=35 个。同理，每5
个1分可换1个5分，即每换1个5分，个数就减少4个。已知减少了79-63=16
个，所以换成的5分的个数=16÷4=4个。也就是说，用5×4=20分换成了
5分，所以 1分币是20÷1=20个。原有2分及5分硬币共价值：35×2+45
×5=295分。

8鸡兔同笼公式

公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只
数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的
只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只
数-鸡的只数

公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只
数-兔总只数

公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡

公式7 ：4×+2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

公式8：鸡的只数：兔子的只数=兔子的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数
÷ 总只数）-鸡的脚数