表格套公式(完整版)因式分解公式大全

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公式及方法大全
待定系数法(因式分解)
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广
泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分
解成某几个因式，但这几个因式中的某些 系数尚未确定，这
时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这
几个因式的乘积， 根据多项式恒等的性质，两边对应项系数
应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种
因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：





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例1 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．
分析 由于
(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，
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若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是
x+2y+m和x +y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，
使问题得到解决．
解 设
x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
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比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
例2 分解因式：x-2x-27x-44x+7．
分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲 过
的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，
经检验，它们都不是原式 的根，所以，在有理数集内，原式
没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为
(x+ax+b )(x+cx+d)的形式．
解 设
原式=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．
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说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可
以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方 程组后，无法确
定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求
出待定系数为止 ．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但
利用待定系数法，使我们找到了 二次因式．由此可见，待定
系数法在因式分解中也有用武之地．

求根法(因式分解)
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负 整数)
的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等
记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项
式f(x) f(1)=12-3×
我们把形如a
n
x+a
n-1
x+…+ a
1
x+a
0
(n为非负整数)的代数
式称为关于x的一元多项式， 并用f(x)，g(x)，…等记号表
示，如
f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，
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nn-1
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当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的
多项式f(x)
f(1)=1-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即
f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键
是求多项式f(x)的根．对于 任意多项式f(x)，要求出它的
根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数
时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有
有理根．
定理2
的根，则必有p是a
0
的约数，q是a
n
的约数．特别地，
当a0
=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a
n
的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一
次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x-4x+6x-4．
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分析 这是一个整系数一元多项式，原式若 有整数根，
必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
f(2)=2-4×2+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因
式x-2．
解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)
=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

所以
原式=(x-2)(x-2x+2)．
说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有 理根
一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项
式的根．因此，必须对-4的 约数逐个代入多项式进行验证．
例3 分解因式：9x-3x+7x-3x-2．
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分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，
为：
所以，原式有因式9x-3x-2．
解 9x-3x+7x-3x-2
=9x-3x-2x+9x-3x-2
=x(9x-3x-2)+9x-3x-2
=(9x-3x-2)(x+1)
=(3x+1)(3x-2)(x+1)
说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分
数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找 到一个一次因
式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比
f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)
进行分解了．

双十字相乘法(因式分解)
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232< br>4322
432
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分解二次三项式时，我们常用十字相 乘法．对于某些二
元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x 降幂排列，并把y
当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可

分解二 次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二
元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相
乘法分解因式．
例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+3 5y-3．我们将上式按
x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用
十字相乘法，分解为
即
-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
2
22
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再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果 把
这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y；
(x-3)(2x+1)=2x-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因
式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘
图(有两列)；
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2
2
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(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第
二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中 的ey，第一、
第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x-3xy-10y+x+9y-2；
(2)x-y+5x+3y+4；
(3)xy+y+x-y-2；
(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
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说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．


笔算开平方
对于一个数 的开方，可以不用计算机，也不用查表，直
接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对< br>于其它数只需模仿即可

例 求316.4841的平方根.
第一步 ,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用
逗号，分段，如把数316.4841分段成3,1 6.48,41.
第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一
段数字，而初商 加1的平方则大于第一段数字，本例中第一
段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2 =4>3.
第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，
组成第一余数，在本 例中第一余数为216.
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第四步，找出试商，使(20×初商 +试商)×试商不超过第一
余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余
数.
第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下
第三段数字，组成第二 余数，本例中试商为7，第二余数为
2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取
某一精度的近似值.
第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的
小数点位置对齐.本例的算式如下：


根式的概念
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【方根与根式】 数a的n次方根是指求一个数，它的n次
方恰好等于a.a的n次方根记为
作为代数式，
(n为大于1的自然数).
称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在
实数范围内，负数不 能开偶次方，一个正数开偶次方有两个
方根，其绝对值相同，符号相反.
【算术根】 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为
零.
【基本性质】 由方根的定义，有

根式运算
【乘积的方根】 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；
反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即
≥0,b≥0)
【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，
即
≥0,b>0)
【根式的乘方】 ≥0)
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【根式化简】
≥0)


≥0,d≥0)

≥0,d≥0)
【同类根式及其加减运算】 根指数和根底数都相同的根式
称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

进位制的基与数字
任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字
的值与 数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右
移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其 值缩小
10倍.例如

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一般地，任一正数a可表为

这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制 的基，式中
ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理
由说进位 制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1
的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示
(1)
式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a
n
a
n-1
...a
1
a
0
称为q
进数a(q)的整数 部分，记作[a(q)];
a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用 进位制，
除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如
下
2进制 0, 1
8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

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各种进位制的相互转换
1 q→10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公
式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

2 10→q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是：
(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.
(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.
(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等
于零为止.
对于分数部分其步骤是：
(1)用q去乘{a(10)}.
(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.
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(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两
步，直到乘积变为 整数为止，或直到所需要的位数为止.例
如：
103.118(10)=147.074324...(8)
整数部分的分数部分的
草式 草式


3 p→q转换 通常情况 下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).
如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p )→a(s)→
a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据
8-2转换表转换为2进数(三 位一组)
127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)
然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分
组，从16-2转换表中逐个记下对应的 16进数的数字，即


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正多边形各量换算公式
n为边数 R为外接圆半径 a为边长 爎为内切圆半径为
圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各
量换算公式表 各量 正三角形

n为边数 R为外接圆半径
a为边长 爎为内切圆半径
为圆心角 S为多边形面积
重心G与外接圆心O重合
正多边形各量换算公式表
各正三角正方形 正五边形 正六边正n边
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量 形
图
形





a
R
r










形 形






S







R

a




或许你还对作图感兴趣：正多边形作图 所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规
来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形， 则称为作图可
能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.
很多平面图形可以 用直尺和圆规作出，例如上面列举的
正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就
不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些
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多边 形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作
图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地 解决了这
个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能
的充分必要条件是，这个作 图问题中必需求出的未知量能够
由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几
千年 来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何
三大问题”：
立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一
已知立方体的体积.
三等分角问题，即三等分一已知角.
化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知
圆的面积.
后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.





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代数式的求值
代数式的求值与 代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数
式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，< br>往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基
本性质、通分、

求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧
和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求
值中，经常被采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x
后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的 代数式变形，
看一看能否利用已知条件．
解 已知条件可变形为3x+3x-1=0，所以
6x+15x+10x
=(6x+6x-2x)+(9x+9x-3x)+(3x+3x-1)+1
=(3x+3x-1)(2z+3x+1)+1
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=0+1=1．
说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数
式的值，这时要尽可能避免解方程( 或方程组)，而要将所要
求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，
会使问题得 到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a+b+c=1，①

求a+b+c的值．
解 将②式因式分解变形如下

即



222

所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则

(a+b+c)=a+b+c+2(bc+ac+ab)
=a+b+c=1，
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2222
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所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明 本题也可以用如下方法对②式变形：

即


前 一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成
1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等 于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x+y=n，m≠0，求x+y的值．
解 因为x+y=m，所以
m=(x+y)=x+y+3xy(x+y)=n+3m·xy，

所以


2
3333
3322


求x+6xy+y的值．
2
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现， 已知
中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y
与xy的值，由此得到以下 解法．
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解 x+6xy+y=x+2xy+y+4xy
=(x+y)+4xy

3．设参数法与换元法求值

2
2222
如果代数式字母较多，式子较 繁，为了使求值简便，有
时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，
这叫作设 参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另
外的一个字母来替换，这叫换元法．

分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数
k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①

由②有

把①两边平方得
u+v+w+2(uv+vw+wu)=1，
所以u+v+w=1，
即
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222
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两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性
质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x-4x+|3x-y|=-4，求y的值．
分析与解 x，y的值均未知，而题目却 只给了一个方程，
似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用
非负数的性质求解 ．
因为x-4x+|3x-y|=-4，所以
x-4x＋4＋|3x-y|=0，
即 (x-2)+|3x-y|=0．

所以 y=6=36．
例9 未知数x，y满足
(x＋y)m-2y(x+n)m+y+n=0， 其中m，n表示非零已知
数，求x，y的值．
分析与解 两个未知数，一个方程，对方程 左边的代数
式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为
零的形式．
将已知等式变形为
mx+my-2mxy-2mny+y+n=0，
标准文案
222222
22222
x2
2
2
2
2x
实用文 档
(mx-2mxy+y)+(my-2mny+n)=0，即
(mx-y)+(my-n)=0．

22
222222

5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有
专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：

分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项
的形式变一变．
解 根据分式的基本性质 ，分子、分母可以同时乘以一
个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三
个分式 的分母变为与第四个相同．

同理

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实用文档
分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，
计算反而复杂 ．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这
里所言的对称性是
分利
用这种对称性， 或称之为整齐性，来简化我们的计算．

同样(但请注意算术根！)

将①，②代入原式有



2

练习六
2244
2．已知x+y=a，x+y=b，求x+y的值．
3．已知a- b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+ a)的值．

5．设a+b+c=3m，求
(m-a)+(m-b)+(m- c)-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．
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222333

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8．已知13x-6xy+y-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．

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