如何提高高中数学计算能力

提高计算能力


美国著名数学教育家波利亚说过，掌握 数学就意味着要善于解题。
而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只
是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，
才能提出新看法、巧解法。高考试 题十分重视对于数学思想方法的考
查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思< br>想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形
成能力，提高数学素质，使自 己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、
参数法、消去法等；
② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊
与一般、类比、归纳和演绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思
想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文 字和符号来记录和描述，随着时间的
推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学
意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、

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处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，
即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想 的体现，是数学的行
为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。
数学思 想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知
识的同时获得。
可以说，“知识 ”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，
提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识 和运用，数
学素质的综合体现就是“能力”。
在学习数学方面，计算能力的重要 性不言而喻。高考中，计算
能力的好坏可以说决定着考试的成败。然而，提高计算能力又决非易
事。如何解决这一困扰众多考生的大难题呢？下面，我将从自己高三
的经历出发，谈一点心得体会，希望 能对大家有所帮助。
首先，同学们要有信心去挑战这一难题，别总是想着，“我数
学差，提高不了。”计算能力强绝非尖子生的专利，只要肯下工夫，
谁都能在这方面有所突破。其次，要 克服浮躁的心态。计算能力的提
高不可能一蹴而就，同学们要有打持久战的准备。沉稳、冷静、细致乃是攻克这一难关的核心要诀！另外，一定要能吃苦，空有三分钟热
情的人是注定啃不下计算难关的 ，只有付出别人无法付出的努力，吃
别人吃不了的苦，成功的大门才有可能为你敞开。总之，自信、耐心 、
刻苦市提高计算能力的必要条件！请同学们务必努力做到。
给大家提供一些解答计算类题的方法，希望对大家有所帮助。

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一、示范性题组

1、圆锥曲线专题。
圆锥曲线方面的题目一直令人谈虎色变，计算量大，题目要素 关系复杂使得圆锥
曲线成为众多考生的梦魇。那么，我们又该如何去征服这一数学恶魔呢？请同学们看例题。

例1：已知曲线C上任意一点P到定点F1(-，0)和F2(, 0)的距离之和为4。求曲
线C的方程。
思路分析：这是一道十分典型的圆锥曲线 题目。考查的是考生对椭圆概念的理解
和相关知识，属于基础性问题。同学们在面对这一问题时，应对自 己的能力有充分
信心，冷静回忆所学的知识，寻找恰当的突破口。以本题为例，曲线上动点到两点
距离之和为定值，显然与椭圆概念相符。因而，同学们应从椭圆概念出发，设立相
关表达式。解法如下 ：
解：根据椭圆定义，可知动点P轨迹为椭圆。
其中a=2,c=3, 则b==1
所以动点P轨迹方程为+y2=1
寥寥数笔，问题解决，同学们是否一种快感呢？
可见，提高圆锥曲线类题目首要方法是：熟悉概念。
解完题后，大家一定要总结一下解题的成功方法：
熟练掌握直线，圆锥相关的概念。
冷静、耐心地运算。（别怕烦，这种题没有太多的技巧，拼命算就行了。）

例2： 已知点F（1，0），直线L:x=-1，点B是L上的动点，若过B垂直于y轴的直
线与线段BF的垂 直平分线相交于点M。
求点M的轨迹C的方程

（ 与椭圆相比，抛物线的解答较易，运算量较小，同学们只要时刻记住从其概念
出发，一切问题都会迎刃而 解）

解：由已知，得|MF|=|MB|，据抛物线的定义，点M的轨 迹是以F为焦点，L为
准线的抛物线，其方程为y2=4x（抛物线定义与垂直平分线定义的理解）


心得：上述2道题只是反映了圆锥曲线问题的其中一些 方面，同学们要想彻底解
决这一难题，还需付出大量的心血与汗水。但是，“艰难困苦，玉汝于成”，我 相信，
经历“地狱”磨炼的你们，一定能拥有打造天堂的力量。总之，当同学们与圆锥曲线“狭
路相逢”时，一定要沉着冷静，熟练运用相关定义，灵活使用各种解题方法。只有这
样，复杂的关系，繁 冗的计算才会变得“和蔼可亲”，为大家 让开通往成功的路！二、

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2、数列专题

数列的题目是高考常 客，部分题目兼有思维和计算方面的难度。成功解决数列题
目，对高考成功有着不同寻常的意义。下面， 我将从一些常见方法入手，带大家去
挑战数列难题。

例1、已知正项数列{an}的通项公式为an=2n-1，若bn=，求{bn}的前n项和Tn。
解：由题意，得
bn==（2n-1）·（好戏在下面）
Tn=1×+3×+…+（2n-1）·①
Tn= 1×+…+（2n-3）·+（2n-1）—②
（这就是数列中又一条金钥匙——错位相减 此类题目计算较复杂，为防出错，请
同学们将相减项排在同一列，看起来一目了然）。
①-②，得Tn=+2（++…+）-（2n-1）·
∴Tn=1+4·×-（2n-1）·=1+2（1--（2n-1）·
=3-4--（2n-1）·=3-（2n-1）·
（复杂的运算，同学们务必要有勇气和 毅力去挑战，多少“数学高手”就是栽在这
里！因而，过了这关，你的数例知识定有质的飞跃。P.S： 算完后别忘合并同类项）



例2、已知an =，若数列｛bn｝满足bn=anan+1·3n，Sn=b1+b2+b3……+bn,求Sn
解： bn=anan+1·3n=···3n=
=（你可能发现了，这就是裂项相消法的 “前奏曲”,将裂成需要细致的观察和熟练
的运算技巧，同学们只要多练此类题目，慢慢就能把裂项相消 法运用自如）
Sn=b1+b2+……+ bn=（-）+（-）+……+（-）=
大功告成，裂项相消的精髓就在于此，裂项时，同学们千万要细心，要留意各项
分子的部分！）


心得：其实，数列的难题也不是那么可怕嘛！看完这几 道例题后，同学们应该能
总结出一些规律吧！提高数列的计算能力，我们应做到：
1、熟练运用裂项相消、错位相减，放缩等常见方法
2、学会观察题中式子的结构，寻找化简的突破口。
3、考虑问题一定要全面，千万别漏了n=1之类的情况。
总之，希望这几点小小的建议能使同学们有所启迪，从而扬起自信的风帆，征服
数列的大海！



3、函数与导数专题
自高考出现 之日起，函数的题目从没离开过高考试卷，函数与导数相结合，更是
高考常见题型。函数与导数的题目， 对考生思维能力和计算能力均有较高要求，解
决此类问题，除有赖于成熟的方法技巧外，更离不开耐心细 致的计算，同学们在做

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题时，务必以“稳”字当头， 一味求快将会带来无尽的遗憾，下面，我们还是从例题
出发，与函数、导数一决高下！


例1 已知函数若k=e,试确定函数f(x)的单调区间
解：（求单调区间时，求导是常见方法，同学们优先考虑）
由k=e,得f(x)=ex-ex,则f’(x)=ex-e (熟记求导公式) 由f’(x) ＞0,得x＞1,由f’(x) <0,
得x＜1,
(此步较简单,同学们注意细心算)
∴f(x)的单调递增区间为(1，+∞),递减区间为(-∞，1)
（上题为函数与导数 结合之经典例题，包含了求导的常规方法，同学们应在熟悉
掌握这些方法的基础上，冷静、全面地考虑问 题，昼避免失分）



例2、已知 函数f(x)=x3+ax2+bx(a、b为常数）是奇函数，并且它的图象在x=1
处的切线斜率为 6
求实数a、b的值
(本题为函数奇偶性与导数切线知识结合考查。)
解：依题意得f(-x)=-f(x),即(-x)3+a(-x)2+b(-x)=-x3-ax2-bx
∴a=0（耐心化简）, f(x)=x3+bx（函数奇偶性知识的运用）则f’(x)= 3 x2+b
依题意得k= f’(1)=3+b=6
∴b=3(切线知识)
（同学们，解决本题的关键在于熟悉切线的概念并灵活地运用，这是我们克敌制
胜的“倚天长剑”！）
心得：上述2道例题均为有代表性的函数与导数结合的题目，透过这几道例题，
我们不 难发现，相比起数列，导数方面的技巧性不是太强，它更需要我们踏踏实实，
一步一步地去分类讨论，运 算，除细致，全面外，此类问题的解决离不开同学们的
毅力与勇气。函数与导数类的题目既是思维与运算 的完美结合体，又能全面体现一
个人的数学水平和心理素质。只有熟练方法，不畏艰难的同学，才能又好 又快地计
算此类计算此类难题。



4．其他专题
大的计算专题就讲到这里，接下来，我将为大家补充几道其他方面的典型题目，
希望能有助于提高同学们 在这些方面的计算能力。

例1、三角函数与正余弦定理
已知在Δabc中，a、b、c分别为的对边，

（Ⅰ）求∠C的大小。
（Ⅱ）求a+b的值
（三角函数与正余弦定理在高中的难度逐年降低，但始终是必考题。此类题目的计

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算时常能出现“浅水淹死鸭”的结果。因而，同学们还是要多加小心）
解：（1）
（防止此类计算出错的关键在于准确运用公式）
（Ⅱ）由题意可知：
（三角形面积公式的化简运用）



（余弦定理与完全平方公式的综合应用，可使计算又准又快）
由上题可见，此类题目比较简单，同学们只要熟悉公式，快速完成此类题目应不成
问题）



例2、（线性回归方程）
下表提供了某厂节能降耗技术改造 后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的
产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
X 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
（线性回归系列的题目 是同学们比较生疏的一类题。在不允许使用计算器的情况下，
运算量较大。）
（）
解：由题所给数据计算得：

（答案上写得简单，运算过程可不简单）

由最小二乘法确定的回归方程系数为

终于算出来了，坚持就是胜利！
因此，所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35 < br>在没有计算器的情况下，大家必须坚持计算，多找些类似题目做，工多自然手熟！
在平常做题时， 大家千万别养成计算器的习惯，否则高考时将后悔莫及！）



二、能力训练
1．已知直线x+y-1=0与椭圆相交于A、B两点，M是线段AB上的一点， ,且M在
直线L：上。
求椭圆离心率
（离心率的计算向来是综合考查思维与运算能 力的“招牌菜”，对离心率的计算如把
握不好，极易引发很多不必要的麻烦，同学们得留点神）
解：由,知M是AB的是AB的中点（向量的知识）
设AB两点坐标分别为A(x1,y1)、B（x2,y2）由 , ,得（a2+b2）x-2a2x+a2-a2b2=0

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（联立方程组的思想，永远是“万金油”）
所以x1+x2=y1+y2=-(x1+x2)+2=耐心！
M点坐标为（，）（中点的知识）
又M在直线L上，=0
a2=2b2=2(a2-c2) a2=2c2 e=
（离心率的计算，务必 要从e=出发找相应的关系，尽可能找到a与c的等量关
系，b这个量常用b2=a2-c2加以消去。 ）


2．已知等比数列｛bn｝的通项公式为bn=，记cn=,数列｛cn｝前n项和为Sn，
求证Sn＜
解： Cn===+（关键！注意学会把分子构造成与分母相似的结构以利于约分，这
是一种十分巧妙的运算方法！）
∴Cn＜+（精华所在！这是巧妙地运用了“放缩法”）
所以Sn=c1+ c2+ ……cn＜+(++……+)
=+（1-）＜
（本题精髓在于“放缩法”的应用。“放缩”看似高深实则不难，当同学们 在解题中
看到形如“数列前n项和大于（或小于）某数或式子时，应多考虑“放缩”。通俗来看，
“放缩”就是将式子中累赘多余部分干掉。学会“放缩法”，你的运算能力定会大有提
高，同时可以少 走弯路！



3、已知函数f(x)=x2- 4ax+a2(a∈R)，设函数g(x)=2x3+3af(x)，如果g(x)在 (0，1)上
存在极小值，求a的取值范围。
解：g(x)=2x3+3ax2+3a3 , g’(x)=6x2+6ax-12a2=6(x-a)(x+2a)
（十字相乘法的运用能大大减轻计算负担）
①当a=0时，g’(x)=6x2≥0, g(x)在R上递增，没有极值点，与条件不符（细心！
别漏此情况）
②当a＞0时，-2a＜a由g’(x) ＞0解得x＜-2a或x>a,由g’(x) ＜0解得-2a＜x＜a，
∴g(x)的单调区间为(-∞，2a)和（a，+ ∞），递减区间为（-2a，a）,则在g(x)处x=a
处取得极小值，由已知得0＜a＜1
（注意紧扣题目要求解题，留意a的设定范围）
③当a＜0时，同理可求得g(x)在x=-2a处取得极小值，从而0＜-2a＜1，则-＜a
＜0。
综上所述，实数a的取值范围是（-，0）∪（0，1）
（上题综合考 查同学们二次不等式，极值等方面知识，熟悉“十字相乘”等解二次
不等式的方法是解答此类问题提高计 算能力之关键。本题的另一焦点是分类讨论方
法的运用，分类讨论时，细心、全面的考虑是必不可少的。 分类讨论的成功有赖于
同学们平常的大量训练和良好的考场心态。只有参悟“细、稳、全”三字的真谛， 同
学们才不会在分类讨论步骤上“摔跟头”）




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