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在高中数学中如何进行数学建模教学

作者:高考题库网
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2020-09-17 09:06
tags:如何学好高中数学

高中数学网络辅导班-天津市高中数学提纲


在高中数学中如何进行数学建模教学

专题1 从列方程解应用题到数学建模
专题2 韩信点兵的数学模型
专题3 函数建模——容器中小的深度与注水时间的关系
专题4 几何建模(一)——飞机飞行的最短路径
专题5 几何建模(二)追截走私船问题
专题6 有关复利的数学模型
专题7 最值模型
专题8 “命运的数学公式”
专题9 中奖概率
专题10 对策模型——嫌疑犯的选择
专题11 水污染治理方案的比较
专题12 “连环送”中的折扣问题
专题13 水库中鼻坝高度与挑角的确定
专题14 双瓶输液中的深度问题
附录 数学建模与中学数学
在高中数学中如何进行数学建模教学

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,研究和 学习数学模型,能帮助学生探索数学的
应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力, 加强数学建模教学与学习
对学生的智力开发具有深远的意义,现就如何进行高中数学建模教学谈几点体会 。
一.要重视各章前问题的教学,使学生明白建立数学模型的实际意义。
教材的每 一章都由一个有关的实际问题引入,可直接告诉学生,学了本章的教学内容及
方法后,这个实际问题就能 用数学模型得到解决,这样,学生就会产生创新意识,对新数学
模型的渴求,实践意识,要求学生学完后 尝试解决这一类问题。
(1)、一个木材贮运公司,有很大的仓库,用于贮运出售木材。由于 木材季度价格的变
化,该公司于每季度初购进木材,一部分于本季度内出售,一部分贮存起来以后出售。 已知:
该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米,贮藏费用为:(a+bu)元万立方米,其中:
a=70,b=100,u为贮存时间(季度数)。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为:

季度 买进价(万元立方米) 卖出价(万元立方米) 预计销售量(万立
方米)
冬 410 425 100
春 430 440 140
夏 460 465 200
秋 450 455 160
由于木材不易久贮,所有库贮木材于每年秋季售完。确定最优采购计划.(由于不能粘贴数学
符号图片 ,所以没有解题)
这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导,对所考察的实际问题进行抽象分 析,建
立相应的数学模型,并通过新旧两种思路方法,提出新知识,激发学生的知欲,如不可挫伤
学生的积极性,失去“亮点”。
二.通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。


学习几何、三角的测量问题,使学生多方面全方位地感受数学建模思想,让学 生认识更
多现在数学模型,巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程:
1、 现实原型问题
2、 数学模型
3、 数学抽象
4、 简化原则
5、 演算推理
6、现实原型问题的解
7、数学模型的解
8、 反映性原则
列方程解应用题体现了在数学建模思维过程,要据所掌握的信息和背景材料,对问题加以变形,使其简单化,以利于解答的思想。且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程,从
而使学生 明白,数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点,通过观察、类比、归纳、
分析、概括等基本思想 ,联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。
例如:购房购车模型
“ 自备款只需七万元人民币,其余由银行贷款,五年还清,相当于每月只需付1200元,就可
拥有属于自 己的住房。”“首付三四万元,就可开走一辆桑塔纳车。”报纸上此类广告比比皆
是,买房与购车是未来 消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法,利用数
学建模方法为工薪阶层制定购房或购 车的消费决策及还贷办法。
(由于不能粘贴数学符号图片,所以没有解题)
三.结合各章 研究性课题的学习,培养学生建立数学模型的能力,拓展数学建模形式的多
样性式与活泼性。
在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题;培养学生做生活的有心人及生
活中“数”意 识和观察实践能力,如记住一些常用及常见的数据,如:人行车、自行车的速度,
自己的身高、体重等。 利用学校条件,组织学生到操场进行实习活动,活动一结束,就回课
堂把实际问题化成相应的数学模型来 解决。如:推铅球的角度与距离关系;全班同学手拉手
围成矩形圈,怎样围使围成的面积最大等,用砖块 搭成多米诺牌骨等。
总之,只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题,根据当地及学生的实 际,使数学知
识与生活、生产实际联系起来,就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识,从而提高
学生的创新意识与实践能力。



第一章 引论
教学时数:2学时
教学目标:了解数学建模的含义,数学建模的一般步骤,通过例子理解建模 的有关环节,分析数学
建模和列方程解应用题的差别。
教材分析:本节介绍了数学建模的含义 ,数学建模的一般步骤,并举例说明了建模的各个环节,最
后给出了数学建模和列方程解应用题的差别, 并简单介绍了建模竞赛的情况。
重点:建模的一般步骤。


难点:怎样建模
教学过程
一. 数学建模的含义
数学建模是指:根据实际问题,在一定的假设 下把问题归结为数学问题,求出数学问题的解并对解进行检
验的全过程。所归结的问题称为实际问题的数 学模型。
注意:数学建模一般不是一蹴而就的,而是从实践到理论,再从理论到实践,不断反复修正 (教材中说的
“迭代”)以使模型最后与实际相符的过程。
二. 数学建模的一般步骤 包括六个环节:建模准备,作假设,建立模型,模型求解,讨论和验证,模型应用。各步骤的关系
可 以用下面的框图表示:


特别要注意图中:当通过讨论和验证,数学模型的解和实 际情况不符时,必须重新研究实际问题,修
改假设并重新建立模型;只有当模型的结果和实际情况相符时 ,才可以进入下一步在实践中应用所得的数
学模型,即考虑利用模型或作预测或求最佳方案或解释客观实 际现象等。


要弄请各环节的含义
各环节的含义:
模型准备:了解 实际问题的背景、建模的目的,收集数据和相关信息,了
解决定事物性质和发展的各种量及
其关系,找寻其变化的客观规律。
作假设:对各种量及其关系进行分析,抓住主要矛盾,忽略 次要因素,对
问题作出合理的假设。注意所作假设不能太粗略,这样会使所归结的数学模型
不能 反映事物的主要性质,从而难以在实际中应用;假设也不能太复杂,即考
虑的因素太多,这样会使得到的 数学模型过于复杂,从而得不到解或求解太困
难。模型假设的恰当选择可能要经过多次反复才能达到。假 设是推导模型的理
论基础和依据。
建立模型:根据问题的要求和假设,应用适当的数学方法把 问题化为数学
研究的对象即数学模型。这里所用的数学方法会因人、因事而异。不同的建模
者, 可能会选择他所熟悉的方法;不同的实际问题,可能适宜用不同的数学方
法去研究。模型可能是离散的, 如归结为初等数学问题、规划问题、网络问题、
马尔可夫链等;模型也可能是连续的,如归结为微积分问 题、微分方程问题、
变分问题等。这里,最终判断模型优劣的标准是模型的结果是否合乎实际,是
否合乎解决实际问题的要求,而不是把问题所含数学知识是否高深作为标准。
模型求解:对归结的数 学问题利用恰当的方法求解。有时可以求出解的表
达式,有时只能求出数值解。通常还把解的结果列表或 画出图形。大多数数学
模型要使用计算机计算,这时要求能正确地使用各种软件。
讨论和验证 :根据模型求解的结果,讨论得到的解是否和情况相符。模型
的各个环节都可能影响模型的结果,例如假 设是否合适,归结为数学问题时推
理是否正确,求解所用的方法是否恰当,数据是否满足一定的精确度要 求等等,
都应该在讨论的范围之内。
模型应用:在模型的结果符合实际的前提下,可以利用所 的模型对实际问
题作预测、寻优、分析、解释、决策等。


三. 通过例子理解建模的有关环节
下面我们结合例 1 说明上述建模的有关环节:
〔例1〕一 个星级旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践,旅馆经理得到一些数据:如果每间
客房定价为1 60元,住房率为55%;每间客房定价为140元,住房率为65%;每间客房定价为120元,
住房 率为75%;每间客房定价为100元,住房率为85%。欲使每天的收入最高,问每间住房的定价应是
多少?
要注意在例子中提到的情景和经分析后所作的三个假设之间的区别和联系。
假设一“每间客房的最高价为 160 元”,这是原先情景中没有的。这个假设使我们在下面求函数的 最
小值时能够确定自变量的范围。同时要注意到这个假设是合理的,因为“无其它信息”。
假 设二“住房率随房价下降而线性增长”也是原先情景中没有的。这个假设可以使得我们可以具体地写
出旅 馆一天的总收入函数 的表达式。同时要注意到这个假设是合理的, 其合理性容易从经理给出的数
据中看出:房价每下降 20 元,住房率就增加 10 个百分点。 < br>假设三“各间客房定价相等”的假设,一方面是由于情景中没有给出“各间客房定价不同”的信息,另一< br>方面是为了计算的简便。容易理解:如果各间客房定价不同将会使问题变得复杂而难以分析。
这三个假设在下面的建模过程中的作用已在上面文字中用蓝色标出。
其次要注意把实际问题归结为数学问题的过程。
首先设变量:以 记旅馆的总收入,以 记与 160 元相比降低的房价,即房价为
通过分析可以得到 和 的关系为


注意这个表达式自变量的变化范围为
问题就变成求
.

这就是问题的数学模型。
求解该数学问题。
这里应用配方法求得函数的最大值。此时定价应为


元。
最后是模型的讨论与验证。
教材中验证了得到的 元确实是使总收入达到最大的房价。
在实际应用时,更重要的是上述结论是否符合实际。例如现在的定价不是 25 元,改按这种方法定价
是否能使旅馆的总收入有所增加?实际每间客房的房价不同是否对总收入影响很大而不可忽略,从而我们
这里的假设三不再成立等等。
四. 数学建模和列方程解应用题的差别
作为中学教 师,应该注意数学建模和列方程解应用题的差别。两者初看起来都和实际问题有关,但是至少
在三个方面 有着质的差别:
问题的起点不同:应用题的情景是经过数学教师加工提炼出来的,而数学建模面对的是实际问题本身。
作为数学建模的例子来说,上述例 1 的情景可以设想为:旅馆提出了如何提高旅馆总收入的问题,即 最
原始的实际问题是“房价如何定可以使旅馆的总收入达到最大?” 为解决这个问题,经过调查,从旅 馆经
理那里得到了一些以往房价与住房率的关系;接着在分析后作出例中的三个假设。而对应用题来说, 问题
就从经理的数据和三个假设以后开始,即假设由题目给出。这样,对应用题来说,假设是否合理是否 符合
实际是不需要考虑的。而对数学模型来说,作出合理的假设是正确解决问题的一个至关重要的环节。
结果的讨论与验证不同:例如求方程根的问题,应用题会讨论在求解的过程中是否有失根或增根发生,< br>根是否合乎题意等;数学模型除了需要讨论这些问题外,还要讨论求得的根是否合乎实际情况,有时还要< br>根据实际情况讨论:当改变方程中的某些系数时,根会如何变化等。
解是否唯一不同:应用题的 正确答案只有一个。但对数学建模而言,由于人们对实际问题的认识不同、
分析的角度不同、所具有的数 学知识的背景不同,即使是对同一个实际问题,也会得到不同的数学模型。
判断数学模型的正确性只能看 其结论是否符合实际情况,例如根据数学模型所计算的结果是否和已知的数
据相符;根据数学模型对某些 事物的发展所作的预测是否和事物后来的变化一致等等。在这里模型的不同,
甚至计算得到的解的数值在 一定的范围内有些差别都是允许的。
如果我们把例 1 改写成应用题,应该有不同的形式。
一个星级旅馆有150个客房,各个客房的房价一样。经过一段时间的经营实
践,旅馆经理得到一些数 据:如果每间客房定价为160元,住房率为55%;每
间客房定价为140元,住房率为65%等等: 即房价每降低20元,住房率上升


10个百分点。现在已知该旅馆的房价最高不超过16 0元。为欲使每天的收入最
高,问每间住房的定价应是多少?
试将上述形式和例1作比较,看看应用题和数学建模问题有何不同?
课后作业题答案
1. 初想想,把只比地球赤道长 1 米的铁丝“分配”到半径为 6400 千米的球
面上 ,仍然会紧紧地“裹”在地球上而不会留下一个让老鼠钻过去的空隙。让
我们用数学方法来研究研究,事 情是否真是如此?
我们的假设是:地球是一个“严格”的球体,半径为 6400 千米。因而其赤道
的长度为
圆的半径为
就是铁丝和地球表面的空隙,为
千米,铁丝的长度为 米。用这样的铁丝作成的
米。该圆的半径与地球的半径之差,也
0.159 米 。这是大约 16 厘米的空隙,
足以让一只老鼠自由通过。这个结论和我们开始的猜想完全不同,可见计算的
重要性。
2. 鞋店共损失 20 元加上一双鞋子的成本价:如果鞋子进货为 20 元,则鞋店
共损失为 40 元。
我们分别分析用假钞的顾客、鞋店老板、豆腐店老板的得失。
用假钞的顾客:无代价地得到了一双鞋子,又从鞋店老板处得到找回的 20 元。
豆腐店老板:没有损失也没有收益。
鞋店老板在借到豆腐店老板的 50 元后找给顾客 20 元,还剩 30 元;还钱给
豆腐店老板时要贴出 20 元;此外还白给了顾客一双鞋。
3. 除去从甲地出发时同时有一班从乙地来的船恰好到达甲地,以及到达乙地时
恰有一班船从 乙地出发外,在旅程中将遇到 11 班船:从甲地出发同时和以后
将有 6 班船从乙地出发,这些船将会在途中相遇;另有在该船从甲地出发前已
经出发而尚未到达甲地的 5 班船也将在途中相遇。
思考题:


1.两只同样大小的杯子分别盛有数量相同 的咖啡和牛奶。先从牛奶杯子里舀出
一满匙牛奶放入咖啡杯里,搅匀后,再从掺有牛奶的咖啡杯子里舀出 一满匙咖
啡放入牛奶杯里,搅匀。这样,两只杯子中的液体又一样多了。问,咖啡杯子
里的牛奶 和牛奶杯子里的咖啡,哪个更多一些?
2. 试分析在例 3 的数学模型中作了哪些情景中没有的假设?
3. 报纸上报道: “在离某城 A 的正东方向 300 千米处有一台风中心, 该台风
中心以每小时 40 千米的速度向西北方向移动, 离台风中心 250 千米以内的
地方将受其影响.” 请作适当的假设, 建立数学模型以分析: 大约经过多少时
间该城将受到台风影响? 影响的持续时间将是多少?

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