浅谈如何理解高中数学函数的应用

浅谈如何理解高中数学函数的应用
在高中阶段，函数是在实际中应用最多的 内容之一，它是反映现实生活和其
它学科规律的基本的数学模型。能在情境中识别函数是很重要的本领， 识别函数
除了数学概念清晰之外，主要依赖对实际问题的领悟，对其它学科的认识。识别
数学模 型、发现内在规律是一个基本的数学能力。我们曾做过这样的调查，在地
质学方面的论文中，会出现大量 的数学的公式、概念等等，地质学并不是用数学
多的学科。

数学应用进入中学，有 几个重要作用。通过应用使学生对数学有一个比较全
面的认识和感受。中小学阶段的感受是很重要的，对 绝大部分学生，将来在工作
和生活中仅仅是用数学，直接使用的数学公式和结果并不多，使用的主要是数 学
中蕴含的思想。例如：在讨论问题时，有较好数学素养的人希望明确讨论问题的
前提，对这些 前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到
基本一致，这样会使讨论的效率提高。 这样的思维是数学特有的，我们总是要从
很多实际问题中发现规律，例如：“数量”和“空间形式”方面 的规律，形成确定的
定义和大家都认可的“公理”，给出证明的结论又会成为探索新结果的前提，这是< br>数学中最基本的思维方法，也是最有用的思想。

以上是数学应用的一个层面，还有一 些比较具体的应用思想，例如：函数思
想是其中极为重要的一个。变量刻画了一种事物的变化，两个变量 反映两种事物
的变化，它们之间是否有关系？这是实际中关心的问题。我们会经常遇到这样的
情 况，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，前一个变量称为自变量，后一
个称为因变量，例如：在物 体运动的过程中，时间是一个量，物体离开初始位置
的距离是一个量，随着时间的变化，物体的距离也在 变化，也可以说，物体的距
离是随时间变化而变化，当时间为t秒时，物体的距离一定是唯一的值s米， 物
体的距离是时间的函数。函数建立起了时间和距离之间的一座“桥”。不难看出，
函数抽象定 义的“要点”都可以从这样实例中体现，例如：研究物体的运动总在一
定的时间范围里，如，从0秒到6 0秒，这就是定义域，距离也在一定的范围中，
即值域；对每一个时间，一定只有唯一的距离与之对应， 否则就不是一个物体的
运动了。从这个例子还可以了解，识别和承认一个函数存在与把这个函数用某种< br>形式表示出来，这两件事还是有一些区别的，识别函数不一定就能很好地表示它，
“存在”和“求 出”在数学上是非常不同的。极限存在与求出极限，导数存在与求出
导数，存在隐函数与表示出这个函数 ，等等，它们是不同的。举这些例子的目的
是希望重视识别函数的能力，这是函数应用的重要组成部分， 在今后的工作和学
习中是很有用，也是很重要的。

在教学中，教师应该能设置一些 情景，或者请学生到某些情境中，例如：邮
电局，火车站，飞机场，加油站，商店，等等；也可以在其它 学科中，例如：物
理，化学，生物，地理，甚至历史，社会，语文，等等；发现和识别一些函数关
系，并利用它们讨论一些问题。这些实践和应用能帮助学生理解函数是建立两类
事物数量变化联系的基 本工具，学会或有意识用学习过的函数近似地刻画问题。

一方面 应用问题提供了丰富的背景，这些背景将会随着时间不断的变化，很
难用固定的模式进行分类。传统中小 学数学习题的求解分类不适用于应用问题，
极端地说一个问题要作一种思考，要理解问题的背景，仅仅依 靠数学知识是不够
的，需要在平时积累实际的经验，积累其它学科的知识，这在一定程度上反映学
生的综合素质。

另一个方面，在传统中小学数学习题中，条件和结论之间是“可丁可卯” 的，
就是说完成（证明、求解）结论的条件是恰好的，不多不少，每一个条件都起作
用。这样的 问题对于数学学习来说是非常必要的，这样的问题可以帮助我们理解
数学的概念，掌握数学技能，体会数 学思想，等等。但是，讨论数学问题或应用
数学解决实际或其它学科问题，并不是像解习题，很多时候结 论是在探索过程中
逐渐形成的，有时会给一些猜想，在探索过程中会做不断地修改。什么条件（结
论）能发挥作用，什么条件需要改进，都需要进行思考。应用问题提供了一种体
验解决实际问题（包括 数学问题）过程的载体。有背景的数学问题也会进入中小
学课程，例如：课程标准提出进行数学探究，这 些都会逐渐在中小学教学中发挥
影响。

应用问题要求学生有很好的阅读理解的能力 。数学阅读能力是一个基本能
力。把有关数学的东西读懂，知道它是什么意思，要解决什么问题，什么是 对解
决这个问题有用的条件，这个问题与学过的内容有什么关系，等等，是非常重要
的，这些都 是学习数学，应用数学最重要的东西。实际上对提高解决传统的数学
习题也是十分有益的。培养数学阅读 能力，不能一蹴而就，需要较长时间的培养。
希望教师认真思考如何从初一、高一开始培养。现在，很多 教师急功近利，把题
型教学变成唯一的教学方式。这方面，学校和某些教育行政部门有不可推卸的责任，每个月，甚至每个星期都进行“排队”或“选拔”考试，试图以此提高教学质量，
甚至与“政绩 ”挂钩，这是违反认知规律的，非常不利于提高学生的素质。希望教
育行政部门能认真对待，采取措施， 改变这种情况。

数学应用是课程标准的一个基本要求，函数与函数的应用贯穿在高中课程的
始终。对此教师应予以充分的重视，在设计课程讲授时，需要有一个整体的考虑。