如何记忆高中三角函数公式

如何记忆三角公式？
三角及其御用函数无疑是高中数学举足轻重的戏份之一，对于一个 至少盘踞
着两本必修而且还携带着为数众多的家眷与公式招摇过市的家伙，这难道不足以
引起重 视吗？有不少先驱者就曾吐槽：本以为高中毕业就能甩掉这些讨厌的正弦
和余弦，没想到进了大学反而被 它们的祖宗十八代（包括正余割）给缠上了！三
角家族不仅花样缤纷种类繁多琳琅满目，更兼诡谲多变莫 测高深反复无常，仅是
把所有三角公式摆成一道豪华阵容就能让很多新手吓尿破胆望而却步。然而若是< br>不能把这些该死该活的臭公式给一口气全念对，你就休想在三角家族所控制的问
题中站稳脚跟。所 以要记下所有这些看似万分烫手的三角公式就不失为一件难于
上青天足可堪比过蜀道的超级难关，但是为 了能够到达高考独木的彼岸，你又不
得不硬着头皮冲破万层险阻，尤其是先过了三角公式这关。如果没有 足够的兴趣，
如果不掌握相当的规律与技巧，你就只有凭借多数影视剧漫中的主角才具有的铁
定 信念以及顽强魄力咯。
虽说三角家族乃名门望族，百年基业根深叶茂，不过本着事必有因的哲学精神追根溯源，其实并不难找出三角家族的开山鼻祖。其一便是
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
和
cos(
?
?
?
)?cos
?
c os
?
?sin
?
sin
?
，依稀记
得，教科书上 ，这二位便是由向量之法推导而成，据说构造某种几何图形也可解，
总之记住二位称作和角公式便是，为 所有三角公式的祖宗大爷。其二便是
sin
2
?
?cos
2
?
?1
也，从初中开始便与交道的常客熟者，巧妙利用亦能孕育出惊
sin
?
，可以说是家（初中生）喻户晓
cos
?
耳熟能详，关于它有个流传甚广的绯 闻是：sin问cos今晚是tan还是cot。其
喜的公式，这货有个亲密搭档叫做
tan< br>?
?
三，
sin(?
?
)??sin
?
,c os(?
?
)?cos
?
，这是由正余弦函数的对称性（奇偶性）决
定的，毕竟没有特定的推导方式，算是一种公理吧。就像某“邪教”中说亚当夏
娃创造了全人类，说和角 公式、“和一”公式、奇偶公式繁衍出整个三角家族也
并不为过，毕竟很多公式都是由此推导而出，并且 其中的罪魁祸首正是和角公式。
且听下文分解。三角公式的主要生殖方式（可能并不雅观）其实各位或多 或少应
该有所耳闻——赋值法。虽说赋值法不失为解决抽象函数诸如
f(x)f(y)?f(x ?y)
的专用利器，这是因为赋值能用具体数字或字母来解读抽
象事物，换句话说，缥缈幻象 实体化。对于一个附带了诸多未知变量的神秘函数，
精准有效的赋值一方面无疑为铲除多余变量做出了贡 献，另一方面则可直戳要害
迅速解决，也因此赋值在二项式相关函数之中能派上一定用场。如果把赋值之 精
神用在三角公式的孕育之中，将会带来意想不到的效果。
(?
?
?)那么就来看吧：
sin
?
sin
?
(?
?
?)
s
?
inc
?
o?s
?
cos
，
?
令β= -θ，则
co?
?
s?sin
?
()
?
?sin
?
co
，或
?
si
?
n?(?< br>?
(?))
?
sin?
?
co?s(
?
)< br>者直接用-β代替原来的β也可，这便是差角公式的由来，cos同理。接下来就

有
tan(
?
?
?
)?
sin(
?
??
)sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
tan
?
?tan
?
，其中有一步分
??
c os(
?
?
?
)cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?
1?tan
?
tan
?
子分 母同时除以
cos
?
cos
?
，恕良辰直言，因为这种齐次分式（三 角里可以把一
个sin或者cos当成一次，故上述分式近似看成二次除二次）在三角中尤为常见，故可通过分子分母同除某个余弦相关的式子而达到弦化切的效果，该手法在三角
之中极为常见，在某 些分式中为了消灭多余变量这也是惯用伎俩。
tan(
?
?
?
)的
推导方式颇多，各位可以照葫芦画瓢，自行感受下，这里就不赘述了。
还是
s i
?
n?(
?
?
si
?
n?2
)
?
si
?
?nc
?
o
，若
?
令
?
?
?
，则有
?
?si
?
n?(
?
)
?
?sin
?
c?o
?
s
，于是一个崭新的二倍 角
??
公式从此庄严地向全世界宣告自己的诞生。余二倍角亦同理，
cos2
?
?cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?cos
2
?
?s in
2
?
，这时如果再添油加
醋一把，用
sin
2
?
?cos
2
?
?1
来偷梁换柱，就有了
和
cos 2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?(1? sin
2
?
)?sin
2
?
?1?2sin
2?
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?(1?cos
2
?
)?2co s
2
?
?1
是也。cos的这三个二倍
角公式平起平坐，建议一起记 住以便灵活运用，有时sin和cos一山不容二虎，
必须挤掉一个，这时可以随机应变。tan2α异 曲同工，就不多说了。当然，有人
对二倍角稍加变形相应逆着推出带有根号的半角公式（用一倍角表示半 角的正余
弦）
sin
?
2
??
1?cos
?
，（cos和tan略），个人以为毫无必要，不仅艰涩难记且
2
无半毛卵用，关键在于海是 倒过来的天，它其实就是反过来的二倍角公式，和二
倍角本质皆是一般，记住二倍角足矣。另外也有推出 三倍角公式的，方法同上，
在考题之中似乎鲜有用武之地，故也不需要记，最重要的是学会推导方式，如 果
有吃饱了撑的闲得百无聊赖者大可试着自行推导下三倍角公式作为一种闲情逸
致聊以自慰。这 里要补充的是，把二倍角公式稍加改造便能升级为“升角降次公
1?cos2
?
1?c os2
?
,cos
2
?
?
式”：
sin
2
?
?
，这俩式子的作用就是降次。毕竟血压
22
高了要吃降压药，次 数高了还是降下来为宜。
接着上述二倍角公式继续扯蛋，
sin2
?
?2s in
?
cos
?
，这时如果让
sin
2
?
?cos
2
?
?1
掺和进来会发生什么奇妙的事情呢？这里就要说到三角问题 中
的另一思想咯（或者也可以说是一种魔术）——“1”的妙用。别小看了这个微
不足道的1， 它可是触发齐次的催化剂，为了说明1妙在何处，先举个例子：已
知
sin2x?2cos2x ??1
，求tanx。有的人一看就心血来潮，各种平方各种联立，
结果只能徒增麻烦四处碰壁 自讨没趣，当然稍微清醒点的人都会用二倍角公式把

角倍数给降下来，不过很多人可能也 就止步于此了，主要是因为想不到1可以摇
身一变而成为俩二次之和。
2sinxcosx?2 cos
2
x?2sin
2
x
sin2x?2cos2x?2sinx cosx?2cosx?2sinx?

1
22
2sinxcosx?2co s
2
x?2sin
2
x(2sinxcosx?2cos
2
x?2sin
2
x)cos
2
x

??
sin2
x?cos
2
x(sin
2
x?cos
2
x )cos
2
x
2tanx?2?2tan
2
x
???1，关键之处正是平凡的
1?sin
2
x?cos
2
x
发 挥了次方升
2
tanx?1
天之效，正如屌丝逆袭、咸鱼翻身做了主人，于是齐次同除 的重要思想得以委任
重用。其实这个例子绝非空穴来风，因为它正是千万个这类三角问题的高度结晶与智慧浓缩，同时也为接下来登场的公式做了铺垫。下面就看刘谦是怎样变魔术
的：
s?
?
2
?
1
2
2
?
?
i?
?
，这便是传说中的万能公式。虽说“万能”二字疑有吹嘘之嫌，但在千钧一发的
关键时刻该公式权当是救命稻草亦不为过，因此记住了并不会导致你的脑细胞不
够用。正所谓技多不压 身，磨刀不误砍猪羊。尤其是大学高数的某些不定积分，
如果不用上万能公式多半只有死路一条。关于c os和tan的推导如出一辙，米娜
?
桑们自行解决吧。不过平时我们所见的万能公式都用半角 ，令
t?tan
，则
2
1?t
2
2t
sin
?
?
，
cos
?
?
，与上文相比，其实也就是用θ顶替了 2α而已。
2
2
1?t
1?t
k
?
，则有同样是
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
，如果令
?
??
?,
?
???
2
kkk
sin(?
?
??
?
)?sin(?
?
)cos(??
?
)?cos(?
?
)sin(??
?
)
，根据整数k的不同取值以
222
及正 负号的分配，结果可以说是千奇百怪五花八门。当然，到这里各位应该心知
肚明本人要说的到底是什么鬼 ，当然是大名鼎鼎的诱导公式了。有能人从中总结
出一项重要的诀窍——“奇变偶不变，符号看象限”。 所谓奇变偶不变者，便是
看整数k的奇偶性以决定是否变换名称，即sin与cos互换，tan与co t互换。
kk
?
)?0,cos(??
?
)??1
，结果被 诱导从上述展开不难分析，k是偶数时，
sin(??
22
的三角式保
sin (?
?
)
，意味着名称不变；同理可知k奇数时名称改变。所谓符号
k
?
)??sin(?
?
)
，那么sin前看象限者，仍假设k为偶数吧，于 是得到
sin(?
?
??
2
是取正取负呢，这就要看θ所在的象限了 ，一般假设θ落在第一象限，那么估摸
kk
?
落在哪个象限，这时
sin(?
?
??
?
)
是正是负就决定了后面是正是负；下
?
?
??
22

换做cos或者tan皆是同理分析。其实毋庸置疑前面的 正负是由k的取值来决定
的，但由于正余弦的变换过于圆滑，如果对k的取值进行分类势必是一项繁琐浩
大工程，倒不如观测象限反而直观简洁。虽然诱导公式总是成群结队组团现身教
科书，但无须各 个死记，这只会竹篮打水。理解这个口诀，从此再也不用担心组
队出现的一大波诱导公式正在接近，而自 己连向日葵都还没种。
对于像Asinx+Bcosx这样的，如果A和B是正余弦的话，那就刚好能 用逆反
的和角公式赶回到一个弦名中去。说对了，就这么办。为了能构造出平方和为1
的正余弦 ，所做的处理便是提取常数
A
2
?B
2
，于是
b
A sinx?Bcosx?A
2
?B
2
?sin(x?
?
)< br>，其中
?
?arctan
，如果想用余弦表示倒也
a
不会有人 取你狗命，只要方便就好。该公式诨名“颠三倒四的和角公式”，学名
“辅助角公式”，听起来高大上， 其实就是反过来的和角公式，重点是提常数。
一般用于压轴题杂糅三角函数化简合并为同一个名称管辖的 三角函数，与二倍角
公式配合使用效果最佳。
根据和角公式不难证明
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)?2sin
?
cos
?
，稍加修改便成
1
了
sin
?
cos
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?< br>?
?
)]
，这就是积化和差公式，如果令
2
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
? ,
?
?cos
，就有了
sin
?
?sin
?
?2sin
，和差化积。由于
2222
sin和cos是可以换的，因此它们总是四 个四个组队出马。这公式干脆统称“和
差化积化和差”（还不如叫“积化和差化积”），大概是因为华而 不实（难记，也
不易施展）故在高中界被禁用。然而最坑！最坑！最坑！（The important things
must be repeated for three times）之处莫过于此 ——高中老湿说大学老湿会
讲，大学老湿却说高中老湿讲过了。积化和差化积就是这样一个货色，高中不 讲，
大学也不详讲，然而大学老湿在讲不定积分的时候会直接用它！这也更加证明了
“上大学就 解放”是一句天大的笑话，自从学了高等数学，三角的祖宗十八代全
都会让你遇到了，包括高中封印的神 兽sec、csc神马的全都放出来咬人，再加
上万能公式、和差化积??算了不说了，反正目前高中积 化和差化积公式没多大
卵用就是，想当年金戈铁马，算而今重到须惊，今日毕竟不比从前。
如 果要说到冷门点的公式，之一就是
(sinx?cosx)
2
?1?2sinxcos x?1?sin2x
，它告诉你sinx+cosx和sinx·cosx之
间是有渊源的，是 唇亡齿寒的，捉住了一个的值，另一个就是瓮中之鳖。
总之就是，和角差角公式、二倍角公式、万能公 式、诱导公式、辅助角公式、积
化和差化积。和角公式似乎是浑然天成与生俱来的，非记不可了。和角公 式里的
俩角其中一个带负号就是差角公式了；俩角相等就有了二倍角公式；其中一个角
?
和攀亲附缘就有了诱导公式；把和角公式反过来看就成了辅助角公式；和角公
2
式之间做加减 运算又能生出积化和差化积；然而二倍角公式只要妙用1来变魔术
就有了万能公式。所以说和角公式是所 有三角公式的列祖列宗并不过分吧。当然，
本人废话讲了这么多无非就是想表达：神马口诀技巧的全特么 都是扯淡。每类公
式都有一个口诀，然而除了一个“奇变偶不变符号看象限”在高中广为流传外，

其他口诀都去哪了？因此重点是理解每种公式的来历。其中和角公式是所有公式
的祖宗 十八代，故这货是必记不可了，因为当你忘了某个公式的时候，就可由此
推导而去。如果连和角都记不住 ，估计老天大爷在上瞪着也无能为力。