和差倍问题的公式三项式因式分解(例析)

“三项式”的因式分解（例析）
知识点复习：
复习乘法公式中的完全平方公式

同样反过来即为因式分解的公式

运用完全平方公式因式分解的公式特点是：
公式的左边是二次三项式，首末两项是两个数或某 个式子的平方，且这两项的符
号相同，中间一项是这两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可。
例1. 把下列各式分解因式
（1）
分析：本式可直接利用完全平方公式分解因式
解：（1）

（2）
，分析：式中每一项的系数都是负数，先提出“－” 号，得
括号里的多项式恰好是完全平方公式的形式。
（2）

（3） < br>分析：本式的特点是系数含分数，系数为分数时，有的可以直接分解，但有的如
果不把系数化为整 数无法分解。本题的多项式不满足完全平方公
，得式的特点，用我们现有的方法很难将其分解因式，但是 如果提出
便不难发现括号里的多项式恰好是完全平方式。
（3）

（4）
分析：式中有公因式
（4）

，先提公因式，再继续分解。


例2. 把下列各式因式分解
（1）
分析：式中的
公式的特点。
解：

（2）


可看作一个整体，它也是一个二次三项式，符合完全平方
分析：本式显然是完全平方式

（3）
分析：式中的
（3）

可写成

，所以可先用平方差公式分解。

（4）
分析：本式先提公因式
（4）




十字相乘

1. 首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即

将上式反过来， < br>得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，使这种方法来分解因式的关键在于
确定上式中的p和 q，例如，为了分解因式
件的p、q；
，就需要找到满足下列条

这可以通 过尝试，猜测加上检验的方法来完成，例如：分解因式
数项分成2与的积，且
，常
，因 此
=
，我们把上例的分析写成竖式。

例3. 分解因式
1.
2.
解：1.
2.




2. 二次项系数不为1的二次三项式的因式分解
二次三项式中，当时，如何用十字相乘法分解呢分解思路可 归
，首先要把二次项系数2纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式
分成，常数项6分成，写 成十字相乘，左边两个数
的积为二次项系数，右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为
，正好 是一次项系数，从而得
3. 含有两个字母的二次三项式的因式分解
如果是形如
如< br>的形式，则把
，则先写成
看作一个整体，相当于x，如果是形
把y看作已知数， 写成十字相
。
乘的形式是，所以，即右边十字
上都要带上字母y，分解的结果也是含 有两个字母的两个因式的积。
例4. 分解因式：
分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。
解：


例5. 分解因式：
分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。
解：


例6. 分解因式：
分析：首项系数为3应分解为
号且应与一次项系数

，常数项为10是正数，分解成的两个因式同
的符号相同，用十字相乘法尝试如下：

其中符合对角两数之积的和为的只有第三个。
解：