高中数学函数解题技巧方法总结高考

高中数学函数知识点总结
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
? 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
?
?
?
?
?
正切函数
y?tanx

?
x?R,且x? k
?
?,k?
?
2
?
余切函数
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?

反三角函数的定义域
?
?

?
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定
义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是
.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变
量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
（答：a，?a）

复合函数定义域的求法：已知
y?f(x)
的定 义域为
?
m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域，
可由
m?g(x)?n
解出x的范围，即为
y?f?
g(x)
?
的定义域。
?
1
?
例 若 函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
，则
f(l og
2
x)
的定义域为 。
2
??
??
1
?
1
?
分析：由函数
y?f(x)
的定义 域为
?
,2
?
可知：
?x?2
；所以
y?f(lo g
2
x)
中
2
?
2
?
有
1
?log
2
x?2
。
2
解：依题意知：
1
?log
2
x?2

2
解之，得
2?x?4

∴
f(log
2
x)
的定义域为
x|2?x?4

4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例 求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y =
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有
时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值
域。
3x?4
例 求函数y=值域。
5x?6
5、函数有界性法
直接 求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值
域。我们所说的单调性，最常用的 就是三角函数的单调性。
e
x
?1
2sin
?
?12si n
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
??
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或
三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同
样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等
等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P（x.y）在圆x
2
+y
2
=1上，
例求函 数y=
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=
x
2
?6x?13
+
x
2
?4x?5
的值域
2
解：原函数可变形为：y=(x?3)
?
(0?2)
+
2
(x?2)
2
?
(0?1)

2
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2）， B（-2，-1）的距离
之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y
min
=∣
AB∣=
(3?2)
2
?
(2?1)
=
43
，
2
故所求函数的值域为[
43
，+∞）。
注：求两距离之和时，要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+ b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b，c∈
R
） ，求函数的最值，
其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有
时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
2
例：

x
2
?(x?0)
10.倒数法
x
有时，直接看不出
1111
2
3
x
2
? =x???3??3
函数的值域时，把
xxxx
它倒过来之后，你
(应 用公式a+b+c?3
3
abc时，注意使3者的乘积变成常数）
会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3
?
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细 、认真观察其题型特征，然后再
选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法， 然后才考虑
用其他各种特殊方法。
5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要
记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
6. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提
供了大方便。 请看这个例题：
(2004.全国理)函数
y?x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
A．y=
x
2
－2
x
+2(
x
<1)
C．y=
x
2
－2
x
(
x
<1)


B．y=
x
2
－2
x
+2(
x
≥1)
D．y=
x
2
－2
x
(
x
≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计
算问题的话 ，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯
了，不习惯计算。下面请看一下我 的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函
数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？
7. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的
y）
2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的
x）
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于
直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数
f(x)?log
3
(?2)
， 则方程
f
?1
(x)?4
的解
x?
__________.
4
x
8 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定 义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)
f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x )在关于点(a，0)的对称区间
里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的 ；当c＜0时，它
们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f 1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数
相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x )同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果
负值函数f1(2)与f2(x)同向 变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),< br>φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ
( x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若 函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它
们的增减性相同。
∴……）
f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(
9. 如何
) ) )] x) x) 都是
利用导
正数
数判断
增 增 增 增 增
函数的
增 减 减
单调
减 增 减
性？
减 减 增 减 减

如：已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大
值是

（ ）
A. 0
∴a的最大值为3）
10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个 偶函数的乘积是偶函
数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
11.判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函 数的
必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
f(?x)
，然后 根据函数的奇偶性
的定义判断其奇偶性.
三、 复合函数奇偶性
f(g) g(x)
奇 奇
f[g(x
)]
奇
f(x)+g(
x)
奇
f(x)*g(
x)
偶

奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
偶
非奇非
偶
非奇非
偶
偶
奇
奇
偶
12. 你
熟悉周
期函数
的定义
吗？
函数，T
是一个周期。） < br>我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反
应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：
f(x)?f(x?t)?0
?
?
??f(x)?f(x?2t)
，
f(x?t)?f(x?2t)?0
?
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说< br>同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再
除以2得到 。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a
对称。
如：
13. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联
想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称

联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称

联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多， 我还是写出来吧。对
于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y =f(x)得到，
可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看
出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——
二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
利用它的单调性求最值与利用均值 不等式求最值的区别是什么？（均值不等式
一定要注意等号成立的条件）
15. 你在基本运算上常出现错误吗？
16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1

几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数

f
（
x
）＝
kx
（
k
≠0）---------------
f
（x
±
y
）＝
f
（
x
）±
f
（
y
）
2. 幂函数型的抽象函数

f
（
x< br>）＝
x
a
----------------
f
（
x y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）；< br>f
（
3. 指数函数型的抽象函数

f
（
x）＝
a
x
-------------------
f
（x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（< br>y
）；
f
（
x
－
y
）＝
4. 对数函数型的抽象函数
x
）＝
f
（
x
）
y
x
f(x)
）＝
y
f(y)
f(x)

f(y)
f
（
x< br>）＝lo
g
a
x
（
a
>0且
a
≠1 ）-----
f
（
x
·
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）；
f
（
－
f< br>（
y
）
5. 三角函数型的抽象函数
f
（
x）＝t
gx--------------------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)?f(y)
< br>1?f(x)f(y)
f
（
x
）＝cot
x-------- ----------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
例1已知函数
f
（
x
）对任意实数x
、
y
均有
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），且当
x< br>>0时，
f
(
x
)>0，
f
(－1)＝ －2求
f
(
x
)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（注意到
f
（
x
2
）＝
f
[（
x
2
－
x
1
）＋< br>x
1
]
＝
f
（
x
2
－
x< br>1
）＋
f
（
x
1
））；再根据区间求其值域. 例2已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y均有
f
（
x
＋
y
）＋2＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），且
2
当
x
> 0时，
f
(
x
)>2，
f
(3)＝ 5，求不等式
f
（
a
－2
a
－2）<3的解.
分析：先证明函 数
f
（
x
）在R上是增函数（仿例1）；再求出
f
（1）＝ 3；最后脱去
函数符号.
例3已知函数
f
（
x
）对任意实 数
x
、
y
都有
f
（
xy
）＝
f< br>（
x
）
f
（
y
），且
f
（－1）< br>＝1，
f
（27）＝9，当0≤
x
＜1时，
f
（x
）∈[0，1].

（1）判断
f
（
x
）的奇偶性；
（2）判断
f
（
x
）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； < br>（3）若
a
≥0且
f
（
a
＋1）≤
3
9
，求
a
的取值范围.
分析：（1）令
y
＝－1；
（2）利用
f
（
x
1
）＝
f
（
x
1
x
·
x
2
）＝
f
（
1
）
f
（
x
2
）；
x
2
x
2
（3）0≤
a
≤2.
例4设函数
f
（
x
）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在
x
1
≠
x
2
，使得
f
（
x
1）≠
f
（
x
2
）；对任何
x
和
y，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x< br>）
f
（
y
）成立.求：
（1）
f
（0）；
(2)对任意值
x
，判断
f
（
x
）值的符号.
分析：（1）令x=
y
＝0；（2）令
y
＝
x
≠0.
例5是否存在函 数
f
（
x
），使下列三个条件：①
f
（
x
）>0,
x
∈
N
；②
f
（
a
＋b）
＝
f
（
a
）
f
（b），
a
、b∈N
；③
f
（2）＝4.同时成立？若存在，求出
f
（
x
）的解析
式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出
f
（
x
）＝2
x
；再用数学归纳法证明.
例6设
f
（
x
）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
f
（
x
·
y
）＝
f
（
x
）
＋
f
（
y
），
f
（3）＝1，求：
（1）
f
（1）；
（2） 若
f
（
x
）＋
f
（
x
－8）≤2，求x
的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数
y
＝
f（
x
）的反函数是
y
＝
g
（
x
）.如 果
f
（
a
b）＝
f
（
a
）＋
f< br>（b），
那么
g
（
a
＋b）＝
g
（
a
）·
g
（b）是否正确，试说明理由.
分析：设
f
（< br>a
）＝
m
，
f
（b）＝
n
，则
g< br>（
m
）＝
a
，
g
（
n
）＝b， < br>进而
m
＋
n
＝
f
（
a
）＋
f
（b）＝
f
（
a
b）＝
f
[
g
（
m
）
g
（
n
）]….

例8已知函数
f
（
x
）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件 ：
①
x
1
、
x
2
是定义域中的数时，有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
②
f
（
a
）＝ －1（
a
＞0，
a
是定义域中的一个数）；
③ 当0＜
x
＜2
a
时，
f
（
x
）＜0.
试问：
（1）
f
（
x
）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4
a
）上，
f
（
x
）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用
f
[－（
x
1
－
x
2
）]＝ －
f
[（< br>x
1
－
x
2
）]，判定
f
（
x）是奇函数；
（3） 先证明
f
（
x
）在（0，2
a
）上是增函数，再证明其在（2
a
，4
a
）上
也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解
题意.有 些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针
对不同的函数要进行适当变通 ，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数
f
（x
）（
x
≠0）满足
f
（
xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），

（1）
（2）
（3）
求证：
f
（1）＝
f
（－1）＝0；
求证：
f
（
x
）为偶函数；
若
f
（x
）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f
（
x
）＋
f
（
x
－
1
）
2
≤0.
分析：函数模型 为：
f
（
x
）＝lo
g
a
|
x
| （
a
＞0）
（1） 先令
x
＝
y
＝1，再令
x
＝
y
＝ －1；
（2） 令
y
＝ －1；
（3） 由
f
（
x）为偶函数，则
f
（
x
）＝
f
（|
x
|）.
例10已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）·
f
（
y
），且 当
x
＜0时，
f
（
x
）＞1，求证：
（1） 当
x
＞0时，0＜
f
（
x
）＜1；
（2）
f
（
x
）在
x
∈R上是减函数.
分析：（1）先 令
x
＝
y
＝0得
f
（0）＝1，再令
y
＝ －
x
；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由
f
（x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（< br>y
）可得
f
（
x
－
y
）＝
f(x)
，
f(y)
进而由
x
1
＜
x
2
，有
f(x
1
)
＝
f
（
x
1
－< br>x
2
）＞1.
f(x
2
)
练习题：
1. 已知：
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x< br>）＋
f
（
y
）对任意实数
x
、
y
都 成立，则（ ）
（
A
）
f
（0）＝0 （B）
f
（0）＝1
（C）
f
（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f（
xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），则下列各式中错误的是（ ）
1
（
A
）
f
（1）＝0 （B）
f
（）＝
f
（
x
）
x
（C）
f
（
x
）＝
f
（
x
）－
f
（
y
） （D ）
f
（
x
n
）＝
nf
（
x
）（< br>n
∈
N
）
y
3.已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足：
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）f
（
y
），
且当
x
＜0时，
f
（x
）＞1，则当
x
＞0时，
f
（
x
）的取值范 围是（ ）
（
A
）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数
f
（
x
）定义域关于原点对称，且 对定义域内不同的
x
1
、
x
2
都有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
)?f (x
2
)
，则
f
（
x
）为（ ）
1 ?f(x
1
)f(x
2
)
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
满足
f
（
x
＋
y
）＋
f
（x
－
y
）＝2[
f
（
x
）＋
f
（
y
）]，则函数
f
（
x
）是（ ）
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
函数典型考题
1.若函数
f(x)?(m ?1)x?(m?2)x?(m?7m?12)
为偶函数，则
m
的值是 （B ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2．已知函 数
f(x)
是定义域在
R
上的偶函数，且在区间
(??,0)
上单调递减，求满足
22
f(x
2
?2x?3)?f(?x
2< br>?4x?5)
的
x
的集合．
．解：
f(x)
在
R
上为偶函数，在
(??,0)
上单调递减
?f(x)
在
(0,??)
上为增函数 又
f(?x
2
?4x?5)?f(x
2
?4x?5)

x
2
?2x?3?(x?1)
2
?2?0
，
x2
?4x?5?(x?2)
2
?1?0

由
f(x?2x?3)?f(x?4x?5)
得
x
2
?2x?3?x
2
?4x?5

22
?x??1

?
解集为
{x|x??1}
.
3.若f(x)是偶函数，它在?
0,??
?
上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ C ）
A. (
11
，1) B. (0，)
1010
(1，
??
) C. (
1
，10) D. (0，1)
10
(10，
??
)
4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ D ）
a
?
1
?
?
1
?
A. a
2
>b
2
B. <1 C.
lg
?
a?b
?
>0 D.
??
<
??

b
?
2
?
?
2
?
5.设a,b,c都是正数，且
3
a
?4
b< br>?6
c
，则下列正确的是 （B ）
(A)
1
c
?
1
a
122112212
?
b
?
a
?
b
?
a
?
b
(B)
C
(C)
C
(D)
2
c
?
a
?
b

ab
6．对于函 数
f
?
x
?
?ax?bx?
?
b?1
?< br>（
a?0
）．
2
（Ⅰ）当
a?1,b??2
时，求函数
f(x)
的零点；
（Ⅱ）若对任意实数
b
，函数
f(x)
恒有两个相异的零点，求实数
a
的取值范围．
7. 二次函数
y?ax?bx?c
中，
a?c?0
，则函数的零点个数是（ C ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定
8．若函数
f
?
x
?
?x?ax?b的两个零点是2和3,则函数
g
?
x
?
?bx?ax?1
的零点是（D）
22
2

A．
?1
和
?2
B．
1
和
2
C．
1111
和 D．
?
和
?
2323
9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶 函数的图象
关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是
f(x)
＝0（x∈ R），其中正确命题的个数是
（ D ）
A 4 B 3 C 2 D 1
10.已知函数f(x
2
-3)=lg
x
2
,
2
x?6
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[
?
(x)
]=lgx,求
?
(3)
的值。 < br>2
2
x
(x?3)?3
x?3
?0
得x
2< br>-3>3,∴ f(x)的定义域为解：（1）∵f(x
2
-3)=lg
2,∴f(x)=lg,又由
2
（3，+
?
）。
x?6
x?3
(x?3)?3
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
x
3(10
y
?1)
3(10?1)< br>x?3
-1
(x)=
(x?0)

?
（3）由y=lg,x>3,解得y>0, ∴f
,
得x=
10< br>y
?1
x?3
10
x
?1
(4) ∵f[
?
(3)
]=lg
?
(3)?3
?
(3)?3
?lg 3
,∴
?3
，解得
?
(3)=6。
?
(3)?3
?
(3)?3
11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同 的函数是（ C ）
e
x
?e
?x
1?x
（A）y=（ B）y=lg（C）y=-x
3
（D）y=
x

2
1?x
零点问题