高中数学函数解题技巧方法总结

.
高中数学函数知识点总结
1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?lg
?
x?3
?
2
的定义域是

（答：?
0，2
?
?
?
2，3
?
?
?
3，4
?
）

函数定义域求法：
?
?
?
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
? 正切函数
?
??
y?tanx

?
x?R,且x?k
?
?,k?
?
?

2
??
y?cotx

?
x?R,且x?k
?
,k?
?
?
?
?
余切函数
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0,
π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围，再取他们的交集，就
得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是
?
a，b
?
，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：
?
a，?a
?
）

复合函数定义域的求法： 已知
出x的范围，即为
y?f(x)
的定义域为
?
m,n
?
，求
y?f
?
g(x)
?
的定义域，可由
m?g( x)?n
解
y?f
?
g(x)
?
的定义域。
例 若函数
?
1
?
y?f(x)
的定义域为
?
,2?
，则
f
(log
2
x
)
的定义域为 。
?
2
?
.

.
分析：由函数
11
?
1
?
所以
y?f(log
2
x)
中 有
?log
2
x?2
。
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
可知：
?x?
2
；
2
22
??
1
?
log
2
x?
2

2
解：依题意知：
解之，得
∴
2?x?4

f
(log
2
x
)的定义域为
x|2?x?4
1、直接观察法
??

4、函数值域的求法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
x
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有时也可以用其他方法进行化简，
不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
2
1
的值域
x
b
型：直接用不等式性质
k+x
2
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1

4、反函数法
.

.
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常
用的就是三角函数的单调性。
3x?4
值域。
5x?6
e
x
?1
2sin?
?12sin
?
?1
例 求函数y=
x
，
y?
，
y?
的值域。
e?11?sin
?
1?cos
?
e
x
?11?y
y ?
x
?e
x
??0
1?y
e?1
2sin
?
?11?y
y??|sin
?
|?||?1,
1?sin
?
2?y
2sin
?
?1
y??2sin
?
?1? y(1?cos
?
)
1?cos
?
2sin
?
?y cos
?
?1?y
4?y
2
sin(
?
?x)?1 ?y,即sin(
?
?x)?
1?y
4?y
2

1 ?y
4?y
2
又由sin(
?
?x)?1知?1
解不等式， 求出y，就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
.
2
x?5
?
log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域
x?1
的值域。

.
例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，

22
y
的取值范围
x?2
(2)y-2x的取值范围
y
解:(1)令?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线.

x?2

(1)
d?R(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?R
例求函数y=
(x?2 )
2
+
(x?8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=

x
2
?
6
x?
13
+
x
2
?
4
x?
5
的值域
解：原函数可变 形为：y=
(x?3)
2
?
(0?2)
2
+
(x? 2)
2
?
(0?1)
2


上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当 点P为线段
与x轴的交点时， y
min
=∣AB∣=
.
(3?2)
2
?
(2?1)
2
=
43
，

.
故所求函数的值域为[。
43
，+∞）
注：求两距离之和时，要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2
ab
，a+b+c≥3
3abc
（a，b ，c∈
R
?
），求函数的最值，其题型特征解析式是和
式时要求积为定值，解 析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：


x
2
?
2
(x?0)
x
1111??3
3
x
2
???3
xxxx
=x
2
?
(应用公式a+b+c?3
3
abc时，注意使3者的乘积变成常数）

x< br>2
(3-2x)(0x?x+3-2x
3
)?1
3
a?b?c
3
(应用公式abc?()时，应注意使3者之和变成常数）
3

=x?x?(3-2x)?(
10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
x?2
的值域
x?3
x?2
x?3
x?2?0 时，
1x?2?1
??x?2?
y
x?2
y?
x?2?0时 ，y=0
?0?y?
多种方法综合运用
1
x?2
?2?0?y?
1

2
1
2总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考 虑
直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。


5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
.

.
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，
与到手的满分失之交臂

如：f

令t

∴x
?
x?1?e
x
?x，求f(x).

?
?x?1，则t?0

?t
2
?
1


∴f
(
t
)

∴f
(x
)
?
e
t
2
?1
?
t
2< br>?1

?
x
2
?1
?
x
?0
?

?
e
x
2
?1
6. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：求函数
?
?1?x
f(x)?
?
2
?
?
?x
?
x ?0
?
的反函数

?
x?0
?

??
x?1
?
x?1
?
（答：f(x)?
?
）< br>
?
?
??x
?
x?0
?
?1
在 更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：
(2004.全国理)函数
A．y=
x
－2
x
+2(
x
<1)
C．y=
x
－2
x
(
x
<1)
2
2
y?


x?1?1(x?1)
的反函数是（ B ）
B．y=
x
－2
x
+2(
x
≥1)
D．y=
x
－2
x
(
x
≥1)
2
2
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现 计算问题的话，答案还是可以做出
来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下 面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域
为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？
7. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、
2、
3、
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
.

.

③设y

?f
?1
?
f(x)的定义域为A，值域为 C，a
?
A，b
?
C，则f(a)=b
?
f
?1< br>(b)?a

?
f(a)
?
?f
?1
(b) ?a，f
?
f
?1
(b)
?
?f(a)?b
f(x)?log
3
(
4
?
2)
，则方程
f< br>x
?1
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数
(x)?4
的解
x?
__________.
8 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对 称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函
数）
② 若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性 。（特例：偶
函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函 数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与 f2(x)同向变
化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
在f(x)的同号区间里反向变化。
f(x)
f(x
1
)
f(x
1
)?f(x
2
)
的正 负号或者与1的关系
f(x
2
)
x
1
?x
2⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β) ,φ(α)]同向变化，则在[α，
β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x) ,x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ
(β)，φ(α)]反向 变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
⑦若函数y＝f(x) 是严格单调的，则其反函数x＝f
(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)
都是正数
增
增
减
减
增
减
增
减
增
减
减
增
增


减
增


减







.
－1

.

如：求 y?log
1
?
?x
2
?2x
?
的单调区间

2

（设u??x
2
?
2
x，由u?< br>0
则
0
?x?
2


且log
2
1
u?
，
u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
∴……）
9. 如何利用导数判断函数的单调性？

在 区间
?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点 上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f
(
x
)
?x
3< br>?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大
值是（< br> A. 0

（令f
'(
x
)?3
x
2
?
a
?3
?
?
a
??
a
?
?
x
?
3
?
?
?
?
x?3
?
?
?0


则x
??
aa
3
或
x?
3


由已知f
(
x
)
在
[1
，
??)
上为增函数，则
a
3
?1
，即
a?3

∴a的最大值为3）
10. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
.
）

.

若f(?x)

若f(?x)
??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称

?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若
f(x)?
x
2?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)

?0

a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）


即
0
2?1
2
x
，

又如：f< br>(
x
)
为定义在
(?1
，
1)
上的奇函数， 当x
?(0
，
1)
时，f
(
x
)?
x4?1
求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x
?
?
?1
，
0
?
，则
?
x
?
?
0
，
1?
，f
(?
x
)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(
x
)
为奇函数，∴f
(
x
)??
?x
4?11?4
x


?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?4
x
?1
11.判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
x? (?1，0)
x?0
x?
?
0，1
?
）

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关 于
原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、
.
奇偶函数定义法

.
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
f(?x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
三、

f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非偶
非奇非偶
偶
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶



12. 你熟悉周
期函数的定义
吗？

（若存在实数T（T
函数，T是一个周期。）

如：若f
复合函数奇偶性

?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

?
x?a
?
??f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.
f(x)?f(x?t)?0
?
推导：
f(x?t)?f(x?2t)?0< br>?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时可能也会遇到这种样子： f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关 于直
线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示
函数关于直线x=a对称。
如：
.

.
又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x )?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
???
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
?
f(x)?f(2b? x)
?
令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)即f(x)?f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的 大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值

13. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于

y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)
x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)
原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与?f(x)的图象关于

f(x)与?f(?x)的图象关于

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y
?
x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)
点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于

左移a(a?0)个单位
y ?f(x?a)
将y?f(x)图象??????????
右移a(a?0)个单位
y ?f(x?a)
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根 本不用这么
麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0 ,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，
就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面

f(x)???f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面

.

.

如：f(x)

作出y

?log
2
?
x?
1
?

?log
2
?
x?
1
?
及y?log
2
x?
1< br>的图象


y

y=log
2
x


O 1 x


14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y

?kx?b
?
k?0
?
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

（2）反比例函数：y
的双曲线。
?
kk
?
k?
0
?
推广为
y?b?
?
k?
0
?
是中心
O'(a
，
b)
< br>xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
2

（3）二次函数
y?ax?bx?c
?
a?
0
?
? a
?
x?
图象为抛物线

?
?
?
2a?
4a
?
b4ac?b
2
?
b
，

顶点坐标为
?
?
?
，对称轴
x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a
?0
，向上，函数y
min
4ac?b
2
?
4a

.

.

a
?0 ，向下，
y
max
4ac?b
2
?
4a

根的关系：x?
?b?
2a
bc
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?
aa|a|
二次函数的几种表达形式：
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)

f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m， n）为顶点
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x
2
是方程的2个根）
f(x)?a(x?x
1
)(x? x
2
)?h(函数经过点（x
1
,h)(x
2
,h)

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二 次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
b
） fmax?f(m),fmin?f(n)
2a
b
区间在对称轴右边（m??） fmax?f(n),fmin?f(m)
2a
b
?m）

区间在对称轴2边 （n??

2a
4
a
c?b
2
fmin?,fmax?max(f( m),f(n))
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系， 距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

?
??0
?
?
b
2

如：二次方程 ax
?
bx
?
c
?0
的两根都大于k
?
?
??k

2a
?
?
?
f(k)?0
.

.
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


一根大于k，一根小于k?f(k)?0

?
??0
?
b< br>?
?n
?
m??
在区间（m，n）内有2根?
?
2a

?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0< br>在区间（m，n）内有1根?f(m)f(n)?0

（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?


（5）对数函数y
?log
a
x
?
a
?
0 ，a
?
1
?

y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0
由图象记性质！ （注意底数的限定！）

（6） “对勾函数”y
?
x
?
k
?
k?
0
?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
y




?k





.
O
k


x

.







15. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
m
n
0
?1(
a
?0)
，a
?p
?
?
m
n
1
(a?0)

a
p

a< br>?
n
a
m
(
a
?0)，
a
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log
a
(
M?N
)
?
log
a

log
a
M?
log
a
N
?
M?
0
，N?
0
?

M1
?
log
a
M?
log
a
N，
log
a
n
M?
log
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a
?
x

对数换底公式：log
a
b?

log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am
1
log
a
x?
log< br>x
a

16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)

（先令x
?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。

?y?0?f(0)?0再令y??x，……）

?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。

（2）x?R，f(x)满足f(xy)

（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)

∴f(?t)
?f(t)?f(t)

?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

.
??

.
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、
2、
3、

几类常见的抽象函数
1.
2.
正比例函数型的抽象函数
幂函数型的抽象函数

f（
x
）＝
x
----------------
f
（< br>xy
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）；
f
（
3. 指数函数型的抽象函数

f
（
x
）＝
a
-------------------
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）；
f
（
x
－
y
）＝
4. 对数函数型的抽象函数
x
a
代y=x，
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1


f
（
x
）＝
kx
（
k
≠0）--------- ------
f
（
x
±
y
）＝
f
（
x
）±
f
（
y
）
x
y
）＝
f(x)

f(y)
f(x)

f(y)
f
（
x
）＝lo
g
a
x
（
a
>0且
a
≠1）-----
f
（
x
·
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）；
f
（
5.

三角函数型的抽象函数
x
y
）＝
f
（
x
）－
f
（
y
）
f
（
x
）＝t
gx--------------------------

f
（
x
＋
y
）＝
f(x)?f(y)
< br>1?f(x)f(y)
f
（
x
）＝cot
x-------- ----------------

f
（
x
＋
y
）＝

f(x)f(y)?1

f(x)?f(y)
例1已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
均有
f
（x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），且当
x
>0时，
f
(
x
)>0，< br>f
(－1)＝ －2
求
f
(
x
)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先 证明函数
f
（
x
）在R上是增函数（注意到
f
（
x
2
）＝
f
[（
x
2
－
x
1
）＋
x
1
]＝
f
（
x
2
－
x< br>1
）＋
f
（
x
1
））；再根据
区间求其值域 .

例2已知函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
均有
f
（
x
＋
y
）＋2＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），且当
x
> 0时，
f
(
x
)>2，
f
(3)＝ 5，
求不等式
f
（
a
－2
a
－2）<3的解.
分析：先证明函 数
f
（
x
）在R上是增函数（仿例1）；再求出
f
（1）＝ 3；最后脱去函数符号.

例3已知函数
f
（
x
）对任意 实数
x
、
y
都有
f
（
xy
）＝
f
（
x
）
f
（
y
），且
f
（－1） ＝1，
f
（27）＝9，当0≤
x
＜1
时，
f
（< br>x
）∈[0，1].
（1）判断
f
（
x
）的奇偶性；
.
2

.
（2）判断
f
（
x
）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； < br>（3）若
a
≥0且
f
（
a
＋1）≤
分析：（ 1）令
y
＝－1；
（2）利用
f
（
x
1
）＝
f
（
（3）0≤
a
≤2.

例4设函数
f
（
x
）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在
x
1
≠
x
2
，使得
f
（
x
1
）≠
f
（
x
2
）；对任何
x
和
y
，
3
9
，求
a
的取值范围.
x
1
x
2
·
x
2
）＝
f
（
x
1
x
2
）
f
（
x
2
）；
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）成立.求：
（1）
f
（0）；
(2)对任意值
x
，判断
f
（
x
）值的符号.
分析：（1）令x=
y
＝0；（2）令
y
＝
x
≠0.

例5 是否存在函数
f
（
x
），使下列三个条件：①
f
（
x
）>0,
x
∈
N
；②
f
（
a
＋ b）＝
f
（
a
）
f
（b），
a
、b∈< br>N
；③
f
（2）＝4.同时成立？若存在，求出
f
（
x
）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出
f
（
x
）＝2；再用数学归纳法证明.
< br>例6设
f
（
x
）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
f
（
x
·
y
）＝
f
（
x
）＋f
（
y
），
f
（3）＝1，求：
（1）
（2）
x
f
（1）；
若
f
（
x
）＋
f
（
x
－8）≤2，求
x
的取值范围.
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
分析：（1）利用3＝1×3；

例7设函数
y
＝
f
（
x
）的反函数是
y
＝
g
（
x
）.如果
f
（
a
b）＝
f
（
a
）＋
f
（b），那么
g
（
a
＋b）＝
g
（
a
）·
g
（b）
是否正确 ，试说明理由.
分析：设
f
（
a
）＝
m
，
f
（b）＝
n
，则
g
（
m
）＝
a
，
g
（
n
）＝b，
进而
m
＋
n
＝
f
（
a
）＋
f
（b）＝
f
（
a
b）＝
f
[
g
（
m
）
g
（
n
）]….

例8已知函数
f
（
x
）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件 ：
①
②
③
试问：
（1）
（2）
.
x
1
、
x
2
是定义域中的数时，有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1)f(x
2
)?1
；
f(x
2
)?f(x
1
)
f
（
a
）＝ －1（
a
＞0，
a
是定义域中的一个数）；
当0＜
x＜2
a
时，
f
（
x
）＜0.
f
（
x
）的奇偶性如何？说明理由；
在（0，4
a
）上，
f
（
x
）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用
f
[－（
x
1
－
x
2
）]＝ －
f
[（< br>x
1
－
x
2
）]，判定
f
（
x）是奇函数；

.
（3） 先证明
f
（
x）在（0，2
a
）上是增函数，再证明其在（2
a
，4
a
）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型 理解题意.有些抽象函数问题，对应的
特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要 进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决
抽象函数问题.
例9已知函数f
（
x
）（
x
≠0）满足
f
（
xy< br>）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），
（1）
（2）
（3）
求证：
f
（1）＝
f
（－1）＝0；
求证：
f
（
x
）为偶函数；
若
f
（x
）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式
f
（
x
）＋
f
（
x
－
1
）≤0.
2
分析：函数模型为：f
（
x
）＝lo
g
a
|
x
|（
a
＞0）
（1）
（2）
（3）

例10已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）·
f
（
y
），且当
x
＜0时，< br>f
（
x
）＞1，
求证：
（1）
（2）
（3）
当
x
＞0时，0＜
f
（
x
）＜1；
先令
x
＝
y
＝1，再令
x
＝
y
＝ －1；
令
y
＝ －1；
由
f
（
x
）为 偶函数，则
f
（
x
）＝
f
（|
x
|）.
f
（
x
）在
x
∈R上是减函数.
受指数函数单调性的启发：
分析：（1）先令
x
＝
y
＝0 得
f
（0）＝1，再令
y
＝－
x
；
由
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）可得
f
（
x
－
y
）＝< br>f(x)
，
f(y)
进而由
x
1
＜
x2
，有
练习题：
f(x
1
)
＝
f
（
x
－
x
）＞1.
f(x
2
)
12
1.已知：
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
）对任意实数
x
、
y都成立，则（ ）
（
A
）
f
（0）＝0 （B）
f
（0）＝1
（C）
f
（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f（
xy
）＝
f
（
x
）＋
f
（
y
），则下列各式中错误的是（ ）
（
A
）
f
（1）＝0 （B）
f
（
1
）＝
f
（
x
）
x
n
（C）
f
（
x
y
）＝
f
（
x
）－
f
（
y
） （D ）
f
（
x
）＝
nf
（
x
）（
n< br>∈
N
）
3.已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足：
f
（0）≠0，
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）
f
（y
），且当
x
＜0时，
f
（
x
）＞1，则当< br>x
＞0时，
f
（
x
）的取值范围是（ ）
（
A
）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
.

.
4.函数
f
（
x
）定义域关于原点对称 ，且对定义域内不同的
x
1
、
x
2
都有
f
（
x
1
－
x
2
）＝
f(x
1
) ?f(x
2
)
，则
f
（
x
）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（
A
）奇函数非偶函 数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
满足
f
（
x
＋
y
）＋
f
（
x
－
y
）＝2[
f
（
x
）＋
f
（
y
）]，则函数
f
（
x
）是
（ ）
（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B


函数典型考题
1.若函数< br>f
(
x
)
?
(
m?
1)
x
2
?
(
m?
2)
x?
(
m
2
?< br>7
m?
12)
为偶函数，则
m
的值是 （B ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

f(x)< br>是定义域在
R
上的偶函数，且在区间
(??,0)
上单调递减，求满足 2．已知函数
f(x
2
?2x?3)?f(?x
2
?4x?5)的
x
的集合．
．解：
f(x)
在
R
上为偶函数，在
(??,0)
上单调递减
?f(x)
在
(0,??)
上为增函数 又
f(?x
2
?4x?5)?f(x
2
?4x?5)

x
2
?2x?3?(x?1)
2
?2?0
，
x2
?4x?5?(x?2)
2
?1?0

由
f (x
2
?2x?3)?f(x
2
?4x?5)
得
x
2
?2x?3?x
2
?4x?5

?x??1

?
解集为
{x|x??1}
.

3.若
f
(
x
)是偶函数，它在
A. (
?
0,??
?
上是减函数,且
f
（lg
x
）>
f< br>(1),则
x
的取值范围是（ C ）
(1，
??
) C. (
11
，1) B. (0，)
1010
1
，10) D. (0，1)
10
(10，
??
)
4.若a、b是任意实数，且
a
>
b
,则 （ D ）
.

.
a
?
1
?
22
A.
a>b
B.
<
1

C.
lg
?
a?b
?

>
0 D.
??< br>b
?
2
?
5.设a,b,c都是正数，且
3
(A)
1
c
6．对于函数
a
a
?
1
?
<
??
?
2
?
b

?
4
b
?
6
c
，则下列正确的是 （B ）
1122112212
?
a
?
b
?a
?
b
?
a
?
b
(B)
C
(C)
C
(D)
2
c
?
a
?
b

．
f
?
x
?
?ax
2
?bx?
?
b?1
?（
a?0
）
（Ⅰ）当
a?1,b??2
时，求函数
f( x)
的零点；
f(x)
恒有两个相异的零点，求实数
a
的取值范围． （Ⅱ）若对任意实数
b
，函数
7. 二次函数
y?ax
2
? bx?c
中，
a?c?0
，则函数的零点个数是（ C ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定
8．若函数
f
?
x
?
?x
2
?ax?b
的两个零点是2和3,则函数
g
?
x
?
?bx
2
? ax?
1
的零点是（D）
A．
?1
和
?2
B．
1
和
2
C．
1111
和 D．
?
和
?

233
2
9．下面四个结论：①偶 函数的图象一定与
y
轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于
y< br>轴对称；④既是
奇函数又是偶函数的函数一定是
f(x)
＝0（
x∈R），其中正确命题的个数是（ D ）
A 4 B 3 C 2 D 1
x
2
10.已知函数f(x-3)=lg
2
,
x?6
2
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[
?
(x)
]=lgx,求
?
(3)
的值。 < br>x
2
(x
2
?3)?3
x?3
?
0
得x-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+
?
）解：（1）∵f(x-3)=lg,∴f (x)=lg,又由
2
。
2
x?3
x?6
(x?3)?3
22
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
3 (10
y
?1)
x?3
（3）由y=lg,
?
x>3,解得 y>0, ∴f
,
得x=
y
x?3
10?1
(4) ∵f[
?
(3)
]=lg
.
-1
3(10
x
?1)
(
x?
0)
(x )=
x
10?1
?
(3)?3
?
(3)?3
?lg3
,∴
?
3
，解得
?
(3)=6。
?
(3)?3
?
(3)?3

.
11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ C ）
e
x
?e
?x
（A）y=
2
（B）y=lg
1? x
（C）y=-x
1?x
3
（D）y=
x

零点问题
.

.
.

.





.