word公式编号右对齐因式分解(竞赛题)含问题详解

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因式分解

序号 公式 记忆特征
(1) 常数项两数积
(2) 一次项系数两数和
(3) 二次项系数为1

x
2
+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)
1
（十字相乘法）
a
2
-b
2
= (a-b)(a+b)
2
（平方差公式）
a
2
+2ab+b
2
= (a+b)
2

3 a
2
-2ab+b
2
= (a-b)
2

（完全平方公式）
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)
2

4
（完全平方公式扩展）
a
3+3a
2
b+3ab
2
+b
3
= (a+b)
3

5 a
3
-3a
2
b-3ab
2
+b
3
= (a-b)
3

（完全立方公式）
a
3
+b
3
= (a+b)(a
2
-ab+b
2
)
6
33
a-b = (a-b)(a
2
+ab+b
2
)
7 a
3
+b
3
+c
3
-3abc = (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc)

(1) 三数平方和
(2) 两两积的2倍
对照完全平方公式相互加强记忆
(1) 近似完全平方公式
(2) 缺项之完全立方公式
(a+b)[(a+b)
2
-3ab]=(a+b)
3
-3ab(a+b)
(a-b)[(a+b)
2
+3ab]=(a-b)< br>3
+3ab(a+b)
对照公式4相互加强记忆
短差长和；
a指数逐项递减1；
b指数逐项递增1；
长式每项指数和恒等于 n-1。
短式变加长式加减相间；
a指数逐项递减1；
b指数逐项递增1；
每项符号b指数决定偶加奇减。
(1)
a
n
-b
n
= (a-b)(a
n-1
+an-2
b+a
n-3
b
2
+…+ab
n-2
+ b
n-1
) n=整数 (2)
8
（平方差公式扩展） (3)
(4)
(1)
a
n
-b
n
= (a+b)( a
n-1
-a
n-2
b+a
n-3
b
2
- …+ab
n-2
-b
n-1
) n=偶数 (2)
9
（立方差公式扩展） (3)
(4)
a
n
+b
n
= (a+b)(a
n-1
-an-2
b+a
n-3
b
2
-…+ab
n-2
- b
n-1
) n=奇数
10
对比公式9的异同
（立方和公式扩展）

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰
当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1
y
n
+4 x
3n-1
y
n+2
-2x
n-1
y
n+4
； (2)x
3
-8y
3
-z
3
-6xyz；
解 (1)原式=-2x
n-1
y
n
(x
4
n-2x
2
ny
2
+y
4
)
=-2x
n-1
y
n
[(x
2
n)
2
-2x
2
n y
2
+(y
2
)
2
]
=-2x< br>n-1
y
n
(x
2
n-y
2
)
2< br>
=-2x
n-1
y
n
(x
n-y)
2
(x
n
+y)
2
．
标准文案
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(2)原式=x
3
+(-2y)
3
+(-z)< br>3
-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x
2
+4y
2
+z
2
+2xy+xz-2yz)．
例2 分解因式：a
3
+b
3
+c
3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2+b
3

的正确性，现将此公式变形为
a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
=［(a+b)3+c
3
］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c) ［(a+b)
2
-c(a+b)+c
2
]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc- ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公
式(6)变形为
a
3
+b
3
+c
3
-3abc




33
显然，当a+b+c=0时，则a
3< br>+b
3
+c
3
=3abc；当a+b+c＞0时，则a
3+b
3
+c
3
-3abc≥0，即a
3
+b
3
+c
3
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a
3
≥0，y=b
3
≥0，z=c
3
≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
※※变式练习
1分解因式：x
15
+x
14
+x
13
+…+x
2
+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x
1 5
开始，x的次数顺次递减至0，由
此想到应用公式a
n
-b
n来分解．
解 因为
x
16
-1=(x-1)(x
1 5
+x
14
+x
13
+…x
2
+x+1)，
所以

标准文案
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说明 在本题的分解过程中 ，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变
形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同 类项合
并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需
要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项
式中添上两个仅 符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多
项式能用分组分解法进行因式分 解．
例3 分解因式：x
3
-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添
项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x
3
-9x-1+9
=(x
3
-1)-9x+9
=(x-1)(x
2
+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x
3
-x-8x+8
=(x
3
-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法3 将三次项x
3
拆成9x
3
-8x
3
．
原式=9x
3
-8x
3
-9x+8
=(9x
3
-9x)+(-8x
3
+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x
2
+x+1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
解法4 添加两项-x
2
+x
2
．
原式=x
3
-9x+8
=x
3
-x
2
+x
2
-9x+8
=x
2
(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x
2
+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法 分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一
定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此 拆项、添项法是因式分解诸
方法中技巧性最强的一种．
标准文案
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※※变式练习
1分解因式：
(1)x
9
+x
6
+x
3
-3；
(2)(m
2
-1)(n
2
-1)+4mn；
(3)(x+1 )
4
+(x
2
-1)
2
+(x-1)
4
；
(4)a
3
b-ab
3
+a
2
+b
2
+1．
解 (1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x
9
+x
6
+x
3
-1-1-1
=(x
9
-1)+(x
6
-1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x
6
+x
3
+1)+(x
3-1)(x
3
+1)+(x
3
-1)
=(x
3
-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x
2
+x+1)(x
6
+2x
3
+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m
2
-1)(n
2
-1)+2mn+2mn
=m
2
n
2
-m
2
-n
2
+1+2mn+2m n
=(m
2
n
2
+2mn+1)-(m
2
-2mn+n
2
)
=(mn+1)
2
-(m-n)
2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．
原式=(x+1)
4
+2 (x
2
-1)
2
-(x
2
-1)
2
+(x -1)
4

=［(x+1)
4
+2(x+1)
2< br>(x-1)
2
+(x-1)
4
]-(x
2
-1)2

=［(x+1)
2
+(x-1)
2
]2
-(x
2
-1)
2

=(2x
2< br>+2)
2
-(x
2
-1)
2
=(3x
2+1)(x
2
+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式 =a
3
b-ab
3
+a
2
+b
2
+1+a b-ab
=(a
3
b-ab
3
)+(a
2
-ab)+(ab+b
2
+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b
2
+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)
=[a(a-b)+1](ab+b
2
+1)
=(a
2
-ab+1)(b
2
+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加
+ab-ab，而且添加项 后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，
找到公因式．这道题目使我们体会 到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
2
222222
标准文案
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换元法指的是将一个较复 杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替
代这个整体来运算，从而使运算过程简明清 晰．
例4 分解因式：(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x
2
+x看作一
个 整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解 设x
2
+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y
2
+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x
2
+x-2)(x
2
+x+5)
=(x-1)(x+2)(x
2
+x+5)．
说明 本题也可将x+x+1看作 一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，
有兴趣的同学不妨试一试．
例5 分解因式：
(x
2
+3x+2)(4x
2
+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x
2
+5x+3)(2x
2
+5x+2)-90．
令y=2x
2
+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y
2
+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x
2
+5x+12)(2x
2
+5x-7)
=(2x
2
+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
※※变式练习
1.分解因式：
(x
2
+4x+8)2+3x(x
2
+4x+8)+2x
2
．
解 设x
2
+4x+8=y，则
原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)
=(x
2
+6x+8)(x
2
+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x
2
+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分 解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需
要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可 以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
1．双十字相乘法
22
22
标准文案
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分解二次三项式时，我们常用十 字相乘法．对于某些二元二次六项式
(ax
2
+bxy+cy
2
+d x+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x
2
- 7xy-22y
2
-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，
于是上式可变形为
2x
2
-(5+7y)x-(22y
2
-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即：-22y
2
+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果 把这两个步骤中的十字相乘图合并
在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y；
(x-3)(2x+1)=2x
2
-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y
2
+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax
2
+bxy+cy< br>2
+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax
2
+bxy+cy
2
，得到一个十字相乘图(有两列)；
22
标准文案
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(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列 上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的
和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的 和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x
2
-3xy-10y
2
+x+9y-2；
(2)x
2
-y
2
+5x+3y+4；
(3)xy+y
2
+x-y-2；
(4)6x
2
-7xy-3y
2
-xz+7yz-2z
2
．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x
2
项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如a
nx
n
+a
n-1
x
n-1
+…+a
1
x+a
0
(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并
用f(x)，g(x )，…等记号表示，如
f(x)=x
2
-3x+2，g(x)=x
5< br>+x
2
+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=1
2
-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)
2
-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
标准文案
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定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个
因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即
整 系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必 有p是a
0
的约数，q是a
n
的约数．特别地，当a
0
=1 时，整系数多项式f(x)
的整数根均为a
n
的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式
分解．
例2 分解因式：x
3
-4x
2
+6x-4．
分析 这是一个 整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约
数：±1，±2，±4，只有
f(2)=2
3
-4×2
2
+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x
3
-2x
2< br>)-(2x
2
-4x)+(2x-4)
=x
2
(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x
2
-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

所以
原式=(x-2)(x-2x+2)．
说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有 理根一定是-4的约数，反之不成立，
即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个 代入多项式进行验证．
标准文案
2
实用文档
※※变式练习
1. 分解因式：9x
4
-3x
3
+7x
2
-3x-2．
分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

所以，原式有因式9x
2
-3x-2．
解 9x
4
-3x
3
+7x
2
-3x-2
=9 x
4
-3x
3
-2x
2
+9x
2
-3x- 2
=x
2
(9x
3
-3x-2)+9x
2
-3x-2
=(9x
2
-3x-2)(x
2
+1)
=(3x+1)(3x-2)(x
2
+1)
说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题
中的因式
可以化为9x
2
-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高 次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解
为(x-a)g(x )，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进
行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的
应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式
中的某些系数尚未 确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几
个因式的乘积，根据多项式恒等的 性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字
母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方 程组)，解出待定字母系数的值，这种因
式分解的方法叫作待定系数法．
例3 分解因式：x
2
+3xy+2y
2
+4x+5y+3．
标准文案
实用文档
分析 由于
(x
2
+3xy+2y
2
)=(x+2y)(x+y)，
若原 式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定
系数法即可求 出m和n，使问题得到解决．
解 设
x
2
+3xy+2y
2
+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x
2
+3xy+2y
2
+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
※※变式练习
1.分解因式：x
4
-2x
3
-27x
2
-44x+7．
分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能
是 ±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有
一次因式．如 果原式能分解，只能分解为(x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)的形式．
解 设
原式=(x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)
=x4
+(a+c)x
3
+(b+d+ac)x
2
+(ad+bc) x+bd，
所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

标准文案
实用文档

所以
原式=(x
2
-7x+1)(x
2
+5x+7)．
说明 由于 因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，
d=7代入方程组 后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出
待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了
二次因式．由此可 见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1. 分解因式：(x
2
+xy+y
2
)-4xy(x
2
+y
2
)．
分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项
式 叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因
式．
解 原式=[(x+y)
2
-xy]
2
-4xy[(x+y)< br>2
-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u
2
-v)
2
-4v(u
2
-2v)
=u
4
-6u
2
v+9v
2

=(u
2
-3v)
2

=(x
2
+2xy+y
2
-3xy)
2

=(x
2
-xy+y
2
)
2
．



五、
真题精解：

1） 已知多项式ax
3
+b x
2
+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1) (x-2)时所得
的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）
解：设原式=(x-1)(x -2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+ n=3，
解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x -1

2） k为何值时，多项式x
2
-2xy+ky
2
+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）
解：原式中不含y的项为x
2
+3x+2可分解为 (x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：
x
2
+(a+b)xy+aby
2
+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系 数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-3
3） 如 果x
3
+ax
2
+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。（美 国犹他州中学竞赛试题）
32
解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得 ：x+(3+k)x+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，
所以a+b=4k+5=16+5=21
解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14

真题实练：
标准文案
实用文档
1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1)=x
2
B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3m)
（第8届“希望杯”试题）（提示：本题简单，因式分解的概念）

2．下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（ ）
①a2b2-a2-b2-1 ②x
3
-9ax
2
+27a
2
x-27a
3
③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b
④3m(m-n)+6n(n-m) ⑤(x-2)
2
+4x
A.①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①②④
（第10届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）
3．设b≠c，且满足()(a-b)+(b-c)=a-c，则的值（ ）
A.大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 正负号不确定
（第12届“希望杯”试题）（提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并）
4．已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a的个数是（
A .3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
（第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）

5．y-2 x+1是4xy-4x
2
-y
2
-k的一个因式，则k的值是（ ）
A. 0 B. -1 C. 2 D. 4
（第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）

6．将多项式x
2
-4y
2
-9z
2
-12yz因式分解结果是（ ）
A. (x+2y-3z)(x-2y-3z) B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)
C. (x+2y+3z)(x+2y-3z) D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)
（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）

7．分解因式：x
2
-4y
2
-9z
2
-12yz= 。
（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）

8．分解因式：x
5
+x-1= 。
（第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）

9．x
3
+3x
2
-3x+k有一个因式是x+1，则k= 。
（第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）

10．分解因式：xy-1-x+y= 。
（第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）


标准文案
）