布格公式三项式因式分解

“三项式”的因式分解（例析）
知识点复习：
复习乘法公式中的完全平方公式

同样反过来即为因式分解的公式

运用完全平方公式因式分解的公式特点是：
公式的左边是二次三项式，首末两项是两个数或某 个式子的平方，且这两项的符
号相同，中间一项是这两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可。
例1. 把下列各式分解因式
（1）
分析：本式可直接利用完全平方公式分解因式
解：（1）

（2）
分析：式中每一项的系数都是负数，先提出“－”号 ，得，括号里的多项式恰好
是完全平方公式的形式。
（2）

（3） < br>分析：本式的特点是系数含分数，系数为分数时，有的可以直接分解，但有的如
果不把系数化为整 数无法分解。本题的多项式不满足完全平方公式的特点，用我
们现有的方法很难将其分解因式，但是如果 提出，得便不难发现括号里的多项式
恰好是完全平方式。
（3）

（4）
分析：式中有公因式，先提公因式，再继续分解。
（4）

例2. 把下列各式因式分解
（1）
分析：式中的可看作一个整体，它也是一个二次三项式，符合完全平方公式的特
点。
解：

（2）
分析：本式显然是完全平方式

（3）
分析：式中的可写成，所以可先用平方差公式分解。
（3）

（4）
分析：本式先提公因式
（4）

十字相乘
1. 首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即

将上式反过来，
得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，使这种方法来分解因式的关键在 于
确定上式中的p和q，例如，为了分解因式，就需要找到满足下列条件的p、q；

这可以通过尝试，猜测加上检验的方法来完成，例如：分解因式，常数项分成2
与的积，且，因此=
，我们把上例的分析写成竖式。

例3. 分解因式
1.
2.
解：1.
2.

2. 二次项系数不为1的二次三项式的因式分解
二次三项式中，当时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路 可归纳为“分两头，
凑中间”，例如，分解因式，首先要把二次项系数2分成，常数项6分成，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数，右边两个数相乘为常数项，交叉相乘
的和为，正好是一次 项系数，从而得。
3. 含有两个字母的二次三项式的因式分解
如果是形如的形式，则把看 作一个整体，相当于x，如果是形如，则先写成把y
看作已知数，写成十字相乘的形式是，所以，即右边 十字上都要带上字母y，分
解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。
例4. 分解因式：
分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。
解：


例5. 分解因式：
分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。
解：


例6. 分解因式：
分析：首项系数为3应分解为，常数项为10是正数，分解成 的两个因式同号且
应与一次项系数的符号相同，用十字相乘法尝试如下：

其中符合对角两数之积的和为的只有第三个。
解：