高中数学简单的线性规划问题(一)

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《简单的线性规划问题(一)》导学案

【学习目标】
1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2． 能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
【重点难点】
教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题；
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解；
【知识链接】
阅读课本Ｐ
８７
至Ｐ
８８
的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．




【学习过程】
※ 学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有
A、B
两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个
A
配件耗时1h， 每
生产一件乙产品使用4个
B
配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A
配件和12个
B
配件，
按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是 什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产
x< br>、
y
件，由已知条件可得二元一次不等式组：





（2）画出不等式组所表示的平面区域：









注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？








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（4）尝试解答：






（5）获得结果：




新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量
x
、
y
的约束条件，这组约束条件都是关于
x
、
y
的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于
x
、
y
的一次式
z
=2
x
+
y
是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量
x
、
y
的解析式，
叫线性目标函数．
③线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线
性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解
(x,y)
叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

※ 典型例题
例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？








※ 动手试试
?
y?x
?
练1. 求
z?2x?y
的最大值，其中
x
、
y
满足约束条件
?
x?y?1

?
y??1
?











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【学习反思】
※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解

※ 知识拓展
寻找整点最优解的方法：
1. 平移找解法：先打网格， 描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种
方法应用于充分利用非整点最优解 的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数
又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函 数求值，经比较求最优解.
2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点
最优解.
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一< br>检验即可见分晓.
【基础达标】
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 目标函数
z?3x?2y
，将其看成直线方程时，
z
的意义是（ ）.
A．该直线的横截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的一半的相反数
D．该直线的纵截距的两倍的相反数
?
x?y?5?0
?
2. 已知
x
、
y
满足约束条件
?
x?y?0
，则
?
x?3
?
z?2x?4y
的最小值为（ ）.
A． 6 B．
?
6 C．10 D．
?
10
3. 在如图所示的可行域内，目标函数
z?x?ay
取得最小值的最优解有无数个， 则
a
的一个可能值是
（ ）.
C（4，2）

y





B（5，1）
A（1，1）

x

O



A.
?
3 B.3 C.
?
1 D.1
4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .
5. 已知点（3，1）和（
?
4，6）在直线
3x?2y?a?0的两侧，则
a
的取值范围是 .


【拓展提升】
1. 在
?ABC
中，
A
（3，
?
1），
B
（
?
1，1），C（1，3），写出
?ABC< br>区域所表示的二元一次不等式组.
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?
5x?3y?15
?
2. 求
z?3x?5y
的最大值和 最小值，其中
x
、
y
满足约束条件
?
y?x?1
.
?
x?5y?3
?



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