高中数学论文多篇很实用

《几何画板》
在高中数学教学中的应用













《几何画板》在高中数学教学中的应用

对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实 ；但从人类数学思
维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要
的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论
思维的能力。同样，一 个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是
不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔 莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，
数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随 着计算机多
媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育
带来 了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越
受到重视。从国外引进的教育 软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的
优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国 内许多数学教师看好，并
已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学
教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念， 它的概念和思维方法渗透
在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系< br>的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所
说：“数缺形少直观 ，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象
——之间常常需要对照（如研究函数的单调性 、讨论方程或不等式的解的情况、
比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问 题，在有
关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；
应用几 何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂
效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并
b
y
可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函
T
A
数 y=x
2
、y=x
3
和y=x
12
的图象，比较各图象的形 状和位置，归纳幂函数的性质；
O
x
还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化 时函数图象也相应地变化，
如在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将A、ω、φ 代入有限个值，
??1
观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段 b、T
的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点

< br>（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改
变其振幅 ，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如 ，借助于图形对不
等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不
等式“a+b≥2
ab
（a、b∈R
+
）等；再比如，讲解数列的极限的概念 时，作出数
列a
n
=10
-n
的图形（即作出一个由离散点组成的函 数图象），观察曲线的变化趋势，
并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的 绝对值”
列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨 论空间图形的性质；它所
用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的
性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一
次飞跃。初学立 体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平
面与空间图形的转化能力，主要原因在于 人们是依靠对二维平面图形的直观来感
知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图 形的真实写
照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很
大的 抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体
的各面不能都画成正方形等。 这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象
真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。 而应用《几何画板》将图
形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生
从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知
识，还可以让学 生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲二面角的定义时（如图2），当拖

动点 A时，点A所在的半平面也随之转动，
即改变二面角的大小，图形的直观地变动有
利于帮助学生 建立空间观念和空间想象力；
在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成
图2

A
A
??3
??4

棱台的过程（如图3），更可 以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱
台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出 棱台的性质的同时，让学
生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将
三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想
象而难以理解， 又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原
理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能 作图5，当拖动点O时，平行于桌面的
平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学 得知识的同
时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的 一门数学学科，它研究的主要
问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系， 借助
形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再
通过方程， 研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何
量受各种因素的影响而变化，导致点 、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对
应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变 形与运动的整体过
O
??5
程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又 以其极强的运算功能
和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程
（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，
并显示该对象的“轨迹 ”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变
化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。 < br>具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所
y
A EB
y
A
A和图（
E
AE
示，分别拖动图（1）中的点2< br>B
）中的点B时，可以相应的看到一组斜率
A
B
2
x
B
F
1
F
2
F
1
F
2
O
F
1
O
F
2
x
（1）（2）
图7
（1）< br>（3）
（2）
图6

为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直 线（不包括y轴）。再比如在讲椭圆
的定义时，可以由“到两定点F
1
、F
2
的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如
图7，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取 一点E，分别以F
1
为圆心、AE
的长为半径和以F
2
为圆心、AE 的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。
先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己 见之后，老师演示图7
（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段 AB
的长），使得|AB|=|F
1
F
2
|，如图7（2），满足条 件的点的轨迹变成了一条线段F
1
F
2
，
学生开始谨慎起来并认真思 索,不难得出图7（3）（|AB|<|F
1
F
2
|时）的情形。经
过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几 何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，
能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学 作为单纯的知识去理解它，而
是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣 ，又
能大大提高课堂效率。




数学衔接教学研究论文



实施有轨尝试学习
搞好初高中数学衔接

我 省自2000年暑假后开始所招的高中新生，将使用新教材进行
国家数学新课程标准的试验。新教材将融 进近代、现代数学内容，精
简整合传统高中数学内容，与现行教材相比，教学内容将增多，教材
明显变厚，与义务教育初中阶段的课程相比，其教学容量和教学难度
大为提高，而高中新课程的课时数还 将比现在减少。如何研究新教材，
按照高中学生的个性特点和认知结构，设计出指导学生高效率学习的< br>有效方法，以使学生适应新教材，顺利完成初高中数学衔接学习，培
养学生自学、探索和创新能力 ，体现新课程标准的原则精神，将十分
紧迫地摆在我们面前。这使市教研室数学组主持的泰安市教学研究 重
点课题“初高中数学衔接问题研究”变得具有十分重要的现实意义。
宁阳一中数学教研室作为 泰安市高中数学学科教研活动基地，承担着
该课题的“衔接教学学法指导”的研究。为适应新教材，搞好 衔接教
学学法指导的研究，必须研究设计一种科学的学习方法，以提高学习
效率，变传统的被动 学习为主动学习，使学生不仅达到“学会”而且
实现“会学”，为此我们提出了实施“有轨尝试学习”这 一切实可行
的学习方法。本文将就实施“有轨尝试学习”进行初步的理性思考和

实践探索。
一、 有轨尝试学习的涵义
从九三年开始，我在宁阳一中全校主持实施了“高中 数学有轨尝试目标教
学实验与研究”，该课题是泰安市“九五”规划教科研重点课题（市拨经费资助）。
课题实验的特色是指导学生进行有轨尝试学习，即在编印以课时为单位的教学实
验提纲的基础上 ，通过教师的指导，让学生有步骤、有轨道地尝试学习和目标形
成训练，使每个学生都能够达到教学目标 的水平。
有轨尝试学习的设计，要依据学生的学习原理，有针对性地创设
条件，促使学生的尝 试学习顺利进行，实现学生主动的、生动的学习
和全面发展。有轨尝试学习是在教师的主导下，按照一定 的步骤、程
序，让学生有轨道、广泛主动地参与学习，积极思考、亲身体验、发
展个性。实施有 轨尝试学习，充分体现“以学生为主体，教师为主导”
的教学原则，符合学生的身心发展规律，充分尊重 学生的兴趣爱好。
在这里“有轨”主要体现在学生的尝试学习具有明确的学习目标、具
体的操作 学习材料、有效的练习反馈材料、规范的目标形成训练、及
时的小组议论和教师的精讲点拨，这是教师主 导作用的具体体现。尝
试学习可分为自学启导式、探求发现式、类比迁移式等主要形式。总
之， 有轨尝试学习可使学生尽快适应高中学习生活，搞好初高中数学
衔接教学。
二、 实施有轨尝试学习的有利因素
从高中学生的心理特征及认知规律分析，实施有轨尝试学习具有
较强的可行性：
1． 高中学生与初中学生相比，注意力更加集中，自觉性更强，
他们善于阅读分析，乐于自行钻研。所以在初 、高中数学教学衔接中，
指导学生进行有轨尝试学习，使学生对所要讲授的内容提前在头脑中
形 成兴奋点，真正做到带着问题听讲，可以明显地提高教学效率，适
应强度较大的高中新教材的学习。
2． 高中学生与初中学生相比，认识事物更加全面，他们善于
分析思考，勇于质疑探索。因此 ，在初、高中数学教学衔接中，让学

生完成值得深入思索的尝试问题，并组织学生分析讨 论，可以增强学
生思维的科学性和批判性。
3． 高中学生与初中学生相比，学习目的更加明 确，独立意识
更强。从而在初、高中数学教学衔接中，通过有轨尝试学习，培养学
生思维的独创 性，培养学生独立思考问题、独立解决问题的能力，进
而培养学生浓厚的学习兴趣和学习热情。
4． 高中学生与初中学生相比，更加自尊自爱，对成功充满信
心。根据这一特点，在初、高中 数学教学衔接中，通过尝试问题的解
决和目标形成问题的完成，使每个学生均获得成功的机会，体会到胜
利的喜悦，以激发学生不断进取的欲望和信心。
三、 有轨尝试学习的教育价值
国 家新课程标准要求，高中教育要坚持面向全体学生，因材施教，
充分发挥学生学习的自主性，促进学生生 动活泼主动地发展；使学生
形成独立思考，自主学习的能力；发展创新精神和实践能力，逐步形
成适应学习化社会需要进行终身学习的能力。因此，对学生进行有轨
尝试学习能力的培养，不仅是搞好初 、高中数学衔接教学的需要，同
时也是符合新课程标准要求的。
1． 有轨尝试学习有助于培养学生的自学能力
联合国教科文组织出版的《学会生存》一书中指出：未来的文 盲
不是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。这句话告诉我们，从
面向世界、面向未来的角 度考虑，对学生自学能力的培养要提到特别
重要位置上加以重视。而有轨尝试学习过程中，学生要认真地 阅读学
习课本，同步完成尝试学习问题，这无疑培养了学生的自学能力。
2． 有轨尝试学习有助于培养学生的探索能力
在有轨尝试学习中，学生会遇到一个一个的尝试问题由他们去 解
决，同时学生在教师所创造的问题情境中参与归纳发现新知，建构知
识体系，从而培养了学生 探索能力。

3． 有轨尝试学习能促进认知水平的发展
有轨尝试学习是一个 包括诸多认知因素的心理活动的过程，阅读
自学和解答尝试问题过程中，学生要不断地同化和顺应新的数 学概
念 、术语、符号，不断地进行假设、预测、检验、推理、想象，不
断地观察、比较、分析 、综合、抽象和概括，在这些活动中，学生的
认知能力便能得到有效发展。
4． 有轨尝试学习将使数学不再难学
构成一些学生学习困难的因素之一是他们的数学自主学习能力
较差。通过有轨尝试学习的锻炼，学生将会使自己的数学学习不再是
被动地在课堂上听讲，而是形成一种 自学、互学和听讲的全方位立体
化的学习新模式，这恰是培养学生适应高强度的高中数学学习的关
键。
5． 有轨尝试学习能促进学生数学语言水平的发展
在有轨尝试学习中，离不开阅读 自学课本，实现了学生与课本标
准语言的交流，规范了学生的数学用语，增强了数学语言的理解力，提高了数学语言的表达能力，进而有效地促进学生数学语言水平的发
展，提高了合乎逻辑、准确地阐 述自己的数学思想和观点的能力，从
而也就能避免出现那种不能正确、有序、逻辑合理地书写解题过程的
学习困难。

四、 有轨尝试学习的实施要点
在实施有轨尝试学习中，应充分注意以下几个要点：
1．展示教学目标，优化学习动机 教学目标是预期的学生学习的结果或者是预期的学习活动所要
达到的标准。教学活动是以教学目标来 定向控制的，教学目标通常具
有指导教学测量与评价，指导教学策略的选择，指引学生学习等三方
面功能。教师要在认真钻研教学大纲和教材，把握教学中各知识点的

深浅度，找准重点 、难点、关键的知识点，找准新知识的“生长点”
的基础上，结合学生的实际，按照整体性、一致性、针 对性、可测性
等原则，准确恰当地制定出教学目标。每课时的教学目标均印制在有
轨尝试目标教 学实验教材上，展示给每个学生，使整个学生的尝试学
习活动始终以教学目标为中心，克服了一般意义上 的阅读与自学的随
意性和盲目性。从而规范了学生的学习行为，使学习行为变得明确、
具体、可 测，优化了学生的学习动机，这是符合教育规律和心理学要
求的。
2．揭示知识形成过程，优化思维品质
现代教科书及新教材所表现的是经过逻辑加工的严密的 演绎体
系，表现为“概念——定理（或性质、公式）——范例”组成的纯数
学系统，往往看不到 概念的形成，公式、定理的发现过程，解题的探
索过程，只看到完善的结论，新教材在更适合学生阅读上 作了大幅度
的改革。鉴于此，我们通过自编实验教材，设计尝试学习提纲，把知
识的形成过程， 用尝试问题的形式展示给学生，让学生逐条有步骤、
有层次、有轨道地完成，使学生的学习过程和思维过 程外显化地表露
出来，切实地提高了学生的自学能力和探索能力。我们编制尝试问题
的原则是： （1）目标性。即所设计的尝试问题应是本课时教学目标的
具体分解和直接体现，要为达成教学目标服务 。（2）启发性。所编制
的尝试学习问题要有较深刻的启发性，能充分启迪学生思维，激发学
生 头脑的兴奋点，诱导学生的求知欲，培养良好的思维品质。（3）自
主性。素质教育要求在充分发挥教师 的主导作用下，广泛地让学生参
与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识。所设计的尝试学习问题，是在学生充分进行课前预习的基础上完
成的，教师再根据反馈的学习信 息，精讲点拨。这样，使“学为主体，
教为主导”的教学原则得以很好的体现。（4）渐近性。心理学研 究表
明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复

杂的。 因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起
点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学 生认识活动划分为由易到
难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多次的获得成功，保护
学 生的旺盛的学习积极性。（5）科学性。所设计的尝试问题应在遵循
上述原则的基础上，全面地符合和体 现教学内容及教学要求，使设计
规范、科学，便于操作。
具体来说，对于新课引入，在实验教 材上设计成问题的形式，让
学生发现新旧知识的联系，并予以迁移和转化，所设计的问题要能充
分暴露新旧知识的联系，即问题既要建立在旧知识的基础上，使学生
不感到陌生，有思考的余地，又要在 此基础上向新课作自然延伸，使
学生在思考中有新的发现，而这种发现又使学生自然地进入到新课状态和新课情境中来。
对于新知识的学习，通过问题形式揭示知识的形成过程，让学生
自己 去尝试、去探索、去发现，其效果远胜于教师单纯的讲解。数学
上任何一个知识点都有其形成过程，或是 对实际问题的数学抽象，或
是对旧知识进行归纳、类比后推理得出的结论，这种数学抽象或推理
的过程就是知识的形成过程，如果学生能掌握这些知识的形成过程，
就能从整体上把握知识结构，沟通知 识的联系，弄清知识的来龙去脉，
将知识学“活”。这就要求教师善于挖掘这些知识的产生过程，并将< br>其分解成若干个问题，一步一步地去引导、去探求、去发现。在知识
的形成过程中，学生的发现思 维能力在不断形成、不断完善、不断总
结中得以提高，进而避免了知识上的死记硬背，应用上的生搬硬套 现
象。
要培养良好的思维品质，必须调动学生的思维积极性，使其产生
探索问题的愿 望和动力，改变传统的注入式教学法，多为学生创设问
题情境，使教学过程成为发现问题、分析问题和解 决问题的过程。在
完成知识尝试问题的过程中，还要多设计一些富有思考意义的练习，

< br>促使学生思索，使学生思维经常保持活跃状态，反馈和评价知识的学
习水平。此外，还要重视运用 准确的，科学而又简明的数学语言、符
号、图形进行严格的表达，培养学生思维的系统性和逻辑性。
3．通过目标形成训练，优化学生的数学能力
在有轨尝试目标实验教材中，每课时均设计了“ 目标形成训练”
这一教学环节。其目的就是使学生掌握新授知识，形成能力，达成目
标。作为可 操作性很强的形成性训练，是“训”和“练”这一动态矛
盾相互依托、激活、渗透、转化直到统一的活动 。（1）从知识点的角
度看，首先是对数学概念、法则、定理、公式等的训练，并在此基础
上进 行判断、推理，从而理解数学的原理和方法。（2）从能力点的角
度看，包括运算能力、逻辑思维能力、 空间想象能力及应用能力的训
练。应特别指出，在这里所说的应用能力，不仅是应用数学知识和方
法解决数学问题的能力，还应包括应用数学知识解决现实社会和生活
中的实际问题的能力。（3）就其 形式来说，目标形成训练，要以科学
为指导，遵循教育学、心理学规律，激发学生的“内驱力”，使用多
种多样的方式和手段进行。
目标形成训练的核心是基础知识和基本技能的训练。训练点的设< br>计要从能力训练着眼，从基础知识、基本技能的训练入手，训练的策
略始终让学生保持高度的注意 力和积极主动性。训练过程要先后有
序、层次清晰、衔接自然；重点突出、难点分散、疑点分明；反馈及
时、高潮迭起。训练步骤要环环相扣、逐步递进，使师生的训练活动
有张有弛、疏密有致。形成 性训练的目标要求相对集中，体现阶梯性，
既力求当堂达标，又要与单元目标一致，体现出整体性和反复 性。
在目标形成训练中，教师要做好训练指导，理清解题思路，选择
相应的方法，给出严密规 范的解答。要启发学生自己去想，独自发现
和探索；要激发和鼓励学生质疑，对学生解题中的“闪光点” ，要充
分肯定，发现错误要找出症结，使学生知其然更知其所以然。为了提

高思 维的深度和广度，目标形成训练可采用题组训练、变式训练、一
题多解训练、多题一解训练、纠错训练等 多种形式。
此外，在实施有轨尝试学习过程中，要充分注意学生的特点，循
序渐进，逐步形成 良好的学习习惯。由于学生年龄较小，阅历有限，
为数不少的学生容易急躁。有的学生贪多求快，不求甚 解；有的学生
想靠几天“冲刺”一蹴而就，不能稳定持久；有的顺利时洋洋自得，
遇到挫折时又 一蹶不振。针对这些情况，教师要做好有轨尝试学习的
方法性指导。高一开始实施时，教学进度应适当放 慢一些，对学生的
尝试学习方法要经常进行调查研究，对尝试学习的填写结果要经常检
查反馈， 对学生的不良习惯要善于引导，以确保有轨尝试学习健康稳
定的进行，使学生尽快形成自觉规范的尝试学 习习惯。
以上对有轨尝试学习的研究还是浅层次的，它有待于我们在使用
了高中新教材后，进 一步结合新教材的教学实践，作更加具体的深入
细致的研究，为学生较快适应高中新教材的学习、搞好初 高中数学衔
接教学发挥更大作用。
初写数学论文的几个注意点

作者：河北省黄骅市羊二庄中学 张振兴 文章来源：〖未知〗 点击数：
2574 更新时间：2003-7-23
随着教育科研意识的不断深化，很多教师希望把自己的研究成果，以论文形
式公开发表. 根据笔者的切身经历，我认为初写数学论文的教师, 为了尽可能的
少走弯路，应充分注意以下几点.

一、借鉴成果，博采众长

对他人的研究成果，进行吸收消化，为我所用 ，这是每一个科研工作者都在
做、并且必须做的事情. 一个人的精力、能力、水平等毕竟是有限的，要弥补这
个“先天性缺陷”，就一定要向他人学习借鉴. 就初中数学教师而言，我们所涉

猎的范围自然应以初中数学的教育教学科研信息为主，但 还应兼顾高中和小学的
数学，以及计算机、物理、化学等相关学科的信息.

信息 的表现形式多种多样，大致可以分为三类：（1）书面形式，比如各种书
籍、报纸、刊物等；（2）口头 形式，比如各种会议、听课、交流、咨询等；（3）
电子形式，比如以网络、光盘、软盘等为载体的信息 . 来源于不同形式的信息各
有千秋，有的权威性高，有的时效性快，有的针对性强，有的信息量大. 这些信
息的保存方式也各不相同，主要有四种：（1）制卡片，简要注明作者、题目、出
处、摘 要、编号、日期等项内容，主要用于一般性的信息；（2）做摘记，写在本
上，编好序号目录，以便查找 ，所记内容比卡片更详尽，适用于比较重要的信息；
（3）复印，对于特别重要并且篇幅较长的文章，可 以全文复印，复印件应用同
样大小的复印纸，对不同大小的原件缩放得一样大，便于装订、排序、编目； （4）
存盘，这是针对电子信息形式的特殊性采用的一种保存方式，复制到微机硬盘或
软盘上. 有条件的，还能使用录音、录像、刻录光盘等等方式.

自1996年以来，我手抄20多 万字，复印存盘10多万字，这些宝贵的文献
资料，为我的教育科研和论文写作，提供了强大的理论支持 和实践指导.

二、完备素材，厚积薄发

论文只是教研结果的表现形 式之一，有人提出“论文还自教研始”、“论文在
研不在写”等观点，有一定的道理. 如果只看重论文发表这一结果，急功近利，
做无病之呻吟，效果肯定不好. “厚积”是基础，没有来源 于实践的经验教训、
数据统计等等素材的积累，想要写出比较有价值的论文，几乎是不可能的. 这些
素材源于何处？如何去发现这些素材呢？答案是那句古话“处处留心皆学问”.
具体说来，素材的来源主要有以下几方面：（1）课堂教学，它是教研工作的
主阵地，也是素材最重 要的来源，这不但是一个教学实践的过程，还是一个发现
问题的过程，是一个向学生学习的过程；（2） 课后反思，对每节课的成败得失都

及时的总结下来，以便进一步研究；（3）作业记录， 从学生作业中不但能发现具
有共性的问题，提示我们教学教研的改革方向，而且学生中也会有许多新颖的 解
题思想，值得教师学习；（4）考试总结，测验考试是对学生知识的集中检验，即
使在素质教 育中，也不能把考试视为应试教育的“余孽”，“打入冷宫”，关键是
如何改革考试制度和内容，适应素 质教育；（5）解题分析，教师平时应坚持解答
一定数量的数学题，解题是数学的核心任务之一，这样做 可以活跃思维，并从中
探索解题规律和命题趋势；（6）调查反馈，调查可以用谈心、问卷等多种形式进
行，从中所反馈的信息是难得的写作素材；（7）成果质疑，学习他人但不要迷信
他人，在阅读 他人的论文时，有时也能发现其存在的不足甚至是错误之处，对此
只要自己的理由充分就要敢于质疑；（ 8）探讨争论，在日常探讨问题的过程中，
持有不同观点的人发生激烈争论是常有的事，从中往往加深了 对问题的理解程
度；（9）灵感顿悟，事实上很多自选课题的素材是平时工作、学习、生活甚至睡
梦中突然想到的，但这种灵感是对问题深入思考的结果，如果没有自觉教研的精
神，灵感就无从谈起.

几年来，我以“教学手记“形式，积累的素材已达200多份45万字，在此
基础上 进一步整理成文，已在国家级、省级报刊发表各类数学论文（或文章）100
余篇17万字. 其中，有 些论文的素材积累投入了很大力度，比如发表于《理科
考试研究》（初中版）2001年第10期的《“ 动”了五年的压轴题》一文，是在对
1997年~2001年五年间，河北省中考压轴题的命题规律进行 研究的基础上，汇总
整理而成的；发表于《校园学习•数学》2002年第1~2期的《方 程（组）
中考复习精要》一文，素材源于对2001年70余份中考试题的分析精选.

三、立足实践，提炼新意

初中数学教师都从事着一线教学工作，最清楚教学中的困 惑和喜悦，最了解
学生的想法和看法，最直接的进行着实践和改革，这些是专门从事教育科研工作
的专家、学者和部门所难以具备的. 正因如此，一线教师的论文多数源于实践，
具有强烈的实用性和 鲜明的针对性，对于我们的这些优势应该有充分的认识，并

不断保持和发展. 近期，我 正负责河北省“创新教育”子课题“培养学生创造性
思维能力”的研究工作，这一课题也是当前教育界的 一个热门话题，我将自己的
阶段性研究成果写成论文《培养学生创造性思维能力的常用方法》，参加了2 000
年8月在京举办的“全国初中数学教育第十届年会”论文评选，荣获二等奖. 再
比如， 教学中的一些“冷点”问题虽不常见，但一旦出现便会使学生无从插手，
据此李凤君老师和我合作写成《 怎样判断勾股数》一文，发表在《教育实践与研
究》2000年第2期上.

论文 的新意如何出？我认为有两点非常重要：一是在主题上，立意新颖，视
角独特；二是在时间上，意识超前 ，创作及时. 就拿对中考试题的研究来说：河
北省2000年中考于6月22日结束，我随即对当年的 中考试题加以分析，从考查
学生创造性思维能力的角度深入剖析，于7月份创作完成了《注重考查学生的 创
造性思维能力——2000年河北省中考数学试题评析》并寄给《中小学数学》（初
中教师版 ），后来发表于该刊2001年第3期；一般每年的全国各地中考试题汇编
资料最早在10月份面世，通 过研究我发现，1998年的中考试题中不等式应用题
异军突起，而且当年考生的得分率偏低，必将引起 以后中考师生的注意，针对这
一新动向，我于11月份写成《例谈中考不等式（组）应用题》一文，对此 进行
分类研究，并补充编拟新试题，指出命题趋势，该文发表于《河北教研》1999
年第2期 .

四、从小到大，循序渐进

写论文需要一个过程，循序渐进，不可能一蹴而就. 按照一般情况，提醒初
写者先尝试以下两个步骤：

第一步，练习写学习辅导类的文章. 几年来，我在《学习报》、《少年智力开
发报》、《初中 生周报》等报纸上，发表学习辅导类文章数十篇. 这些虽然一般称
不上“论文”，但是进行这样的写作 ，既可以当作练笔，又可以用于教学，还可
以视为一次小小的课题研究. 学习辅导类的报刊面向广大学 生，通常用稿量大，

发表得快；其内容突出针对性，深入浅出，形式灵活；所需稿件短小 精悍，通常
有1000字左右；要求与教学同步，应该比教学进度提前3个月寄稿；写稿还应
分 析用稿动向，目前学习辅导类报刊多数存在高年级稿多、低年级稿少，综合知
识稿多、单个知识稿少等等 现象，初写者可以倾向于写“少”的方面的稿；稿件
写完后要反复修改，确保无误，再抄写或打印寄出.

第二步，进行教学研究类论文的写作，侧重于解题方法研究等实践性强的，
由浅入深 ，不要急于写理论性太强的论文. 可以先探讨解题技巧，再挖掘思想方
法，后深究素质能力，进而分析命题原则，预测趋势走向等. 如果 写有些理论性
的文章，可以从教学实践中去寻找适应教育发展趋势的新课题，比如发表于《中
小 学数学》（初中教师版）2001年第9期的《谈计算器的教学》一文，就是在此
方面的尝试. 需要指 出的是，一篇论文的范围不求广，但求分析透彻，凝练精华；
论文篇幅不求长，大家都知道的少说或不说 ，适可而止，相信读者的阅读水平，
主要适于教师阅读的论文，长短不一，就我发表的论文而言，短的仅 千余字，长
的近7000字，一般在3000字左右；此类论文与学习辅导类的文章相比，格式要
规范得多，但对与教学同步性的要求则比较宽松；为提高发稿率，应认真研读报
刊风格，留心新增栏目 、征稿启事，对发现的问题勇于质疑争鸣.

五、文外功夫，提高修养

文外功夫，主要指一个人的思想境界、个人修养、意志品格等方面的表现. 它
具体体现在两个方面：

一方面是，讲究文德，不要过分看重名利、沽名钓誉. 必须信守承诺，尤其
是应约写稿，一定要迅速及时，保质保量；如所约稿件较多，也可以多写几篇给编辑以选择的余地；为避免信件丢失，可用挂号信寄稿，有时还需用特快专递、
传真、发E- mail等方式. 当前很多单位（甚至有的是个人）利用教师希望发表
论文的迫切心理，征集各种名目 的“自助论文”，对此应慎重对待，不能为了名
利，就写一些没有价值的文字，花钱发表. 一稿多发一 般是由一稿多投所致，如

果在约定时间内未收到用稿通知、样报样刊或稿费，而再投他刊 造成重复发表的
尚有情可原；但有的把一篇稿同时寄往多家报刊，甚至明知已经发表录用又另投
他刊，即使侥幸被重复发表，无论间隔时间长短，也很容易被读者识破，这样做
既不尊重编辑，影响报刊 质量，又坑害读者，降低个人声誉，结果适得其反. 更
为严重的是剽窃抄袭他人论文，不但可耻，而且是一种违法行为.

另一方面是，坚持不懈，持之以恒. 我从1996年初开始着手于素材的积累，
不断自觉的夯 实基本功，历时一年多，直至1997年开始投稿，结果投寄的第3
篇论文《代数式求值十法》就被发表 于《理科考试研究》1997年第6期，喜悦
之情溢于言表，细细回味，一年多的“寂寞”也是初次收获 的重要因素，如果坚
持不下来，也只能是半途而废了. 相对于更多的论文作者来说，我还算是幸运的，
他们在谈到自己的写作经验时，提到投稿数十次、甚至近百次以后才有作品问世，
其间的酸甜苦 辣、经验体会是难以言传的，“失败是成功之母”、“功夫不负有心
人”在他们身上得到了充分的体现.

以上所谈是我对初中数学论文写作的几点看法，希望能给刚刚开始写作的朋
友带来一些帮助. 所涉及的内容较为肤浅，如要在论文写作的道路上不断提高，
还需要借鉴更多人的成功之道，但无论如何 ，个人的实践创新才是最重要的因素
之一.
付 出 老 师 的 爱 挖 掘 学 生 的 美
——论情感教育在班集体建设中的作用
随着时代的发展，以高考为指挥棒的 传统教育模式已经越来越不能适应社会
的发展了。现在我们更多谈论的是素质教育，虽然高考这个指挥棒 并没有完全丧
失其作用，但素质教育再也不是刚被提出时的空洞口号了。在实际的教育教学过
程 中，从教学目标的制定到课程设置到教育形式、教学手段，素质教育都发挥了
其影响力。而我认为素质教 育也应更好地运用到德育工作中。那么，如何在德育
工作中贯彻素质教育呢？教育以人为本，所以我觉得 情感教育是一条重要途径。

青少年时期是个体发育、发展的最宝贵、最富特色的时期，然而 这个时期同

时又是人生的“危险期”。随着独立意识和自我意识的增强，学生迫切希望摆 脱
成人的监护，他们感到或担忧外界无视自己的独立存在。同时他们又需要成人的
爱与关心。所 以，恰倒好处的爱与关心对于这个时期的中学生在人格、心理等方
面的发展十分重要。一个班主任，只有 让学生感到并且接受老师的爱与关心，他
才能带领学生建设一个团结向上的班集体。以下是我在班主任工 作中的一点体
会。

一、彼此交流
中学生是渴望理解与交流的。对于一个 班主任来说，他可以借助于师生之间
的交流来传递老师的爱与关心。但要注意的是，交流应该建立在理解 的基础之上。
在实际的教育工作中，我进行了初步尝试，效果颇佳。举两个例子来说：
事例一 俞同学父母离异，性格自负并且逆反心理很强，但是成绩很差，经
常犯错误。一次，物理老师让他放学后 留下来补课，他却因为肚子饿先去吃饭了，
饭后他去找物理老师，物理老师已经走了。第二天，物理老师 找他进行教育批评，
他却不服气，与物理老师发生了争执。了解情况后，我并没有立即将他叫到办公室训斥一番，而是等到放学后，我等在他回宿舍必须经过的那条路上。看到他，
我走过去，就好像是 偶然遇到一样。我和他边走边聊，从目前的世界杯赛事到家
常到学习情况。可能还是因为昨天的事，他一 开始并不怎么说话。渐渐地发现我
并没有恶意，话终于多了起来。我见时机成熟了，便切入正题，问他昨 天究竟是
怎么一回事。他一五一十将情况告诉了我。还特别强调他是去过物理老师办公室
的，但 只是完了一点。我告诉他我相信他是去的，而且表示理解。因为肚子饿了
谁也做不了事情。接着我又问他 当时是几点钟，他有点迷惑，不解的说六点左右，
我告诉他物理老师的家离学校有半个多小时的路程，就 算帮他补习半个小时的
课，那么物理老师也得七点钟才能到家吃上晚饭。我又问他，物理老师为什么这< br>么做呢？他沉默了，但我看得出来这小子已经有点想法了。败兵不可穷追，我告
诉他我并不要这个 问题的答案，心里明白就行。然后拍拍他的肩膀让他去吃饭。
第二天，物理老师对我说他收到了一张条， 上面是这样写的：对不起，老师。
这件事情过后，俞同学各方面的表现确实比先前有了较大的进步。其 实，处
于青春期的学生逆反心理较强，尤其是男同学。他们做事情较少考虑后果，容易

< br>冲动。事情过后他们也会认识到自己的错误，但由于自尊心强，不肯轻易认错。
作为一个班主任， 应该用适当的方式方法来教育他们，让他们从教育中认识到自
己的错误，体会到老师对他们的爱与关心。 有时也要给他们一个台阶下，那么，
他们就能真正地从错误中吸取教训。
还有许多同学性格比 较内向，他们不愿意与老师面对面地交流，而是习惯于
将他们的想法、困惑用文字表达出来。我把这种文 字交流叫做“笔谈”。周记就
可以看作一种“笔谈”。“笔谈”确实也是一种不容忽视的了解学生，传递 老师关
爱的教育方式。
事例二 周同学先天残疾，从小受歧视，性格孤僻，不信任他人。一 开始，
我发现她在班级中少言寡语，对班级活动不很关心，就常找她谈话，询问她的家
庭、学习 情况，鼓励她不要自卑，投入到集体中去。可每次总是我说得多，她讲
得少。几次下来，似乎效果不好。 就在我感到困惑的时候，她在周记中写道：“老
师，我知道你关心我。可你每次找我谈话的时候，我总是 很紧张，我希望我们能
够通过周记来交流。”从此以后，我更认真地阅读学生的周记，并且给出详细的< br>批语和回复。通过周记，我确实更多地了解了学生的心理世界。尤其是周同学，
她在周记告诉我， 从小到大所有的人都看不起她，她也不相信其他人，更不需要
其他人的关心。我也在批语中告诉她：并不 是所有的人都歧视她，她应该自信，
她也不是为其他人活着的，她应该用自己的成绩来回击那些歧视她的 人。知道了
她的情况，我也让几个女同学经常关心、帮助周同学。一次周同学由于贫血晕倒
在课 堂上，好几个同学因为照顾她，陪着她等她父亲来接她而没能吃上晚饭。事
后，我就在她周记的批语中写 道：“一个人病倒了，却有好几个同学陪伴在她的
周围。生活在这样一个集体，是多么幸福的一件事啊！ ”以后我通过周记告诉她，
许多人都希望能帮助她，不要把自己封闭在自己的天地里，放飞自己，让爱流 通，
生活就会快乐！不知不觉，周同学渐渐地开朗起来，话多了，笑容多了，班级活
动中她的身 影也多了。
通过适当的交流，让学生体会到老师的关心与爱，是引导学生身心健康发展
的关键 。作为班主任，更应该在班集体建设中付出自己的关心与爱，让学生实实
在在地体会到，感受到。用爱感 化所有的学生，所有的学生就会在班集体的建设
中奉献出他们的那份爱。

二、相互合作
随着教育要求的改变，班主任工作的要求与作用也发生了改变。 班主任不是
班级的“老板”，学生也不是班主任的“工人”。如何处理班主任与学生之间的关
系 ，是班集体的建设中一个需要好好解决的问题。我认为作为一个班主任，应该
在相互合作中体现出平等， 体现出爱与关心。
作为一个班主任，班级的日常管理总是一个老大难的问题。就拿班级的劳动
卫生来说，经常会有部分同学出工不出力，干活马马虎虎。于是我制订班规，试
图用“惩罚”的手段来解 决这个问题。开始我觉得问题似乎解决了，可渐渐地情
况又不行了，甚至有时还不如从前。我找来几个学 生，询问他们为什么劳动任务
总是完成不好。尽管说法各异，但最关键的一点还是劳动的时候同学们相互 依赖，
缺少合作。后来，我与班委商量，终于想出一个办法：把班级的各项劳动任务尽
可能公平 地分配给每一个人，作为班主任的我也有一份。劳动任务平均分配，每
个人包干负责，谁出了问题找谁， 想偷懒的同学再不能偷懒了。一到劳动的时候，
我和班委先干起活来，看到老师也加入到劳动当中，其他 同学也跟着干起来，所
有的学生都会自觉地完成自己的任务，整个劳动又快又好的完成了，以前的卫生< br>死角由于有了专人负责，再也不会出问题了。我们班的劳动难题就这样被解决了。
确实，对于一 个班主任来说，在班集体的日常管理中，身先士卒显得非常重
要。班集体的事情不仅仅是学生的事情，也 应该是老师的事情。老师和学生都是
班集体的成员，都应该为班级出力，为班级争光。通过师生之间平等 的合作，让
学生感受到自己在班集体中的重要性，培养学生的集体主义荣誉感，这也是班集
体建 设中重要的环节。

三、共同提高
一个班级只有有了明确的奋斗目标，才能不断进 取。所以，老师总是给学生
提出一个又一个目标，让学生不断进步。但是一个班级的进步除了学生的进步 还
应该包括老师的进步。作为老师，在班集体的建设中感受学生进步的同时，也应
该多多向学生 学习，提高自己。
一次举行全年级拔河比赛，由于有一点事情我没有去，而是让体育委员组织
同学参加比赛。赛后，同学们纷纷跑到办公室告诉我：我们班得了第三名。看着

那一张张 洒满汗水的笑脸，我心里很开心：这就是我的学生，一群积极向上团结
互助的学生。以前，一些同学对班 级活动总是漠不关心，但这一次全班同学都积
极参加进来，比赛的拼尽全力，加油的喊声震天。正是有了 这种凝聚力，才取得
了这样的好成绩。事后，他们也说了一点他们的遗憾——我没有去给他们加油。本来我想解释一下，告诉他们我有事才没有能去。可是我心里确实有点惭愧，一
直教育学生要热爱集 体，积极为班集体争光。学生做到了，可是到头来我这个老
师又是怎么做的呢？老师是一个不平凡的职业 ，他的一言一行直接影响着他的学
生，要教育好学生，老师自己就必须做好。但更多的时候，老师应当看 到学生的
长处，找到自己的不足。老师也是一个平凡的人，师不必贤于弟子，弟子不必不
如师。 能虚心向学生学习，这才是一个好老师。老师自身素质的提高，也会促进
学生不断进步，只有这样的老师 才能真正教会学生怎样做人。

班集体建设是充满人性与挑战的，值得所有班主任去思考，去 探索。让学生
能感受老师心底的爱，让老师用心去感受学生的美，让情感在师生之间传递，师
生 共同提高，共同进步，班集体一定能建设成为一个团结向上的班集体！
高中数学“分层次教学”的理论和实践
内容摘要：高中学生在生理发展和心理特征上的差异是 客观存在的；对
数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的，继续在
教学 中采用“一刀切”的教学方法，已根本不符合素质教育的要求。“分层
次教学”是一种符合因材施教原则 的教学方法，它能面向全体学生，为学生
的全面发展创造条件，有利于学生数学素质的普遍提高。本文结 合自己的教
学实践和探究，从“分层次教学”的指导思想，“分层次教学”的理论和实
践依据， 普通高中数学“分层次教学”的实施，“分层次教学”的成果，“分
层次教学”的启示等方面阐述“分层 次教学”教学法的概况。
关 键 词：高中数学 分层教学 理论和实践
《中共中央国务院关于深化教育改革 全面推进素质教育的决定》中明
确指出：“实施素质教 育就是全面贯彻党的教育方针，以提高国民素质为根
本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点， 全面推进素质教育，要
坚持面向全体学生，为学生的全面发展创造适应的条件，尊重学生身心发展
特点和教育规律，使学生生动活泼，积极主动地得到发展。”教学是实施素
质教育的有效手段，我们要 面向全体学生，为学生的全面发展创造条件，因
而必须探究行之有效的教学方法，才能承担起时代赋予我 们教师的神圣使

命。
教学实践告诉我们：高中学生在生理发展和心理特征上的 差异是客观存
在的；对数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的。
尤其 是普通高中，学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知
识的领悟与掌握能力的差距很大， 这势必对高中阶段的数学教学带来负面影
响。此外，教学中还存在教材衔接问题－－初中使用省编新教材 ，高中仍使
用部编旧教材，初、高中教学内容脱节，而教师在教学中又常常忽视知识的
衔接问题 ，易造成高中学生接受新知识的困难。在这样的情况下，如果在高
中数学教学中仍采用“一刀切”，不顾 学生水平和能力差异，以为教学就是
把学生聚在一起上课，沿用过去同一教材下采用统一要求，同一方法 来授课，
势必造成“优生吃不饱，差生吃不了”的现象。这样，必然不能面向全体学
生，充分照 顾学生的个性差异，也就不能很好地贯彻“因材施教，循序渐进”
原则，不利于学生的充分发展，甚至会 出现严重的两极分化，这根本不符合
素质教育的要求，面对这些现实情况，在普通高中数学教学中试行“ 分层次
教学”的教改实验，就显得格外重要。
一、“分层次教学”的指导思想
“分 层次教学”的指导思想是教师的教要适应学生的学，而学生是有差
异的，所以，教学也应有一定的差异。 根据差异，学生可以分为不同的层次，
教学也可以针对不同层次的学生进行分层；教学要最大限度地开发 利用学生
的差异，促进全体学生的发展。分层次教学是一种重视学生间的差异，强调
教师的“教 ”一定要适应学生的学，教学中针对不同层次学生的实际，在教
学目标、内容、途径、方法和评价上区别 对待，使各层次学生都能在各自原
有基础上得到较好发展的课堂教学策略。
分层次教学与以往 分快慢班有着本质的区别。以往重点班、普通班是以
学生的学习成绩划分的，所以往往可以通过一般性的 考试选拔，而分层次教
学就是根据学生的数学基础知识、学习能力的差异和提高学习效率的要求，
结合教材和学生学习的可能性，按教学大纲所要达到的基本目标、中层目标、
发展目标这三个层次的教 学要求，将学生依次分为A、B、C三个层次。分层
次教学中的层次设计，就是为了适应学生认识水平的 差异，根据人的认识规
律，利用学生的个别差异把学生的认识活动划分为不同的阶段，在不同的阶
段完成适应认识水平的教学任务，进行因材施教，逐步递进，以便“面向全
体，兼顾两头”，逐渐缩小 学生间的差距，达到提高整体素质的目的，这完
全符合变传统的应试教育为素质教育的要求。
二、“分层次教学”的理论和实践依据

1、心理学研究依据。人的认识，总是 由浅入深，由表及里，由具体到
抽象，由简单到复杂的。教学活动是学生在教师的引导下对新知识的一种 认
识活动，数学教学中不同学生的认识水平存在着差异，因而必须遵循人的认
识规律进行教学设 计。分层次教学中的层次设计，就是为了适应学生认识水
平的差异，根据人的认识规律，把学生的认识活 动划分为不同的阶段，在不
同的阶段完成适应认识水平的教学任务，通过逐步递进，使学生在较高的层< br>次上把握所学的知识。
2、教育教学理论依据。由于学生基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、
潜在能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况也就有所
不同，所以教师必须 从实际出发，因材施教，循序渐进，才能使不同层次的
学生都能在原有程度上学有所得，逐步提高，最终 取得预期的教学效果。
3、教育教学实践依据。目前普通高中，面对传统教学模式，有不少困
难。首先，现行高中数学教材理论性强，运算能力要求高，课本习题及复习
题量大，但学生基础普遍较差 ，对大部分学生来说“学不进去”，“学了也无
用”，导致教与学陷入困境。其次，就普通高中目前的状 况，若依《大纲》
规定按部就班完成授课，根本无法保证使全部学生“一步到位”地通过会考，
于是平时加课时、节假日补课，教学中“掐头去尾烧中段”，极力压缩知识
的形成过程，以达到及早进行 会考、高考复习之目的。“生吞活塞”，“枯燥
无味”，使教与学陷入苦境。再次，对普通高中，以高考 升学率的高低去衡
量办学的成败的观念至今未打破，于是，多数教师往往不惜血本，绞尽脑汁，
采用多种手段，使大多数学生，陪同几个所谓“有希望”的“尖子”，为之
而“奋斗”，这样就使大多数 “陪”读生“劳师无功”，大大挫伤了他们学习
的积极性，也严重影响了普通高中的教育教学质量，这显 然与素质教育背道
而驰。
鉴于上述原因，本着普通高中“为毕业生参加社会劳动和进一步学习 打
基础”的职能，我们只有充分认识到学生差异的客观存在及教学现状，切实
开展教改实验，探 究“分层次教学”的有效途径，才能从根本上摆脱困境，
以全面提高教学质量，使数学教学符合素质教育 要求，以适应社会需要。
三、普通高中数学“分层次教学”的实施
1、创造良好的环境。无 论任何方案，免不了人与人之间的关系协调，
而实施分层次教学，师生之间的关系是一个重要条件。有良 好的师生关系，
才能创造出良好的学习环境，激发学生的学习兴趣，使学生的心理健康发展。
分层次教学中的分法是非常重要的环节，其指导思想是变传统的应试教
育为素质教育，是成绩差异的分层 ，而不是人格的分层。为了不给差生增加
心理负担，必须做好分层前的思想工作，了解学生的心理特点， 讲情道理：

学习成绩的差异是客观存在的，分层次教学的目的不是人为地制造等级，而< br>是采用不同的方法帮助他们提高学习成绩，让不同成绩的学生最大限度地发
挥他们的潜力，以逐步 缩小差距，达到班级整体优化。分层次教学的原则是
在完成《大纲》任务的前提下，对学生个体要求有所 不同，使学生心理平衡，
互相帮助，形成一个团结友爱的集体。
作为合格的教师必须有良好的 心理素质，民主的教风，要敢于承认工作
中的不足，在学生中树立威信，要注意师生感情的交流，注意信 息反馈，不
断纠正工作中的失误和偏差。只有这样，才能真正创造出一个良好的学习环
境。 < br>2、学生层次化——学生自愿，因能划类，依类分层。在教学中，根据
学生的数学基础、学习能力 、学习态度、学习成绩的差异和提高学习效率的
要求，结合教材和学生的学习可能性水平，再结合高中阶 段学生的生理、心
理特点及性格特征，按教学大纲所要达到的基本目标、中层目标、发展目标
这 三个层次的教学要求，可将学生依下、中、上按2：5：3的比例分为A、B、
C三个层次：A层是学习 有困难的学生，即能在教师和C层同学的帮助下掌
握课文内容，完成练习及部分简单习题；B层是成绩中 等的学生，即能掌握
课文内容，独立完成练习，在教师的启发下完成习题，积极向C层同学请教；
C层是拔尖的优等生，即能掌握课文内容，独立完成习题，完成教师布置的
复习参考题及补充题，可主 动帮助和解答B层、A层的难点，与A层学生结
成学习伙伴。分层次教学的主体是班级教学为主，按层次 教学为辅，层次分
得好坏直接影响到“分层次教学”的成功与否。为此，对学生进行分层要坚
持 尊重学生，师生磋商，动态分层的原则。首先，要向学生宣布上述分层方
案的设计，讲清分层的目的和意 义，以统一师生认识；其次，教师应指导每
位学生实事求是地估计自己，通过学生自我评估，完全由学生 自己自愿选择
适应自己的层次；最后，教师根据学生自愿选择的情况进行合理性分析，若
有必要 ，在征得学生同意的基础上作个别调整之后，公布分层结果。这样使
部分学生既分到了合适的层次上，又 保留了“脸面”，自尊心也不至于受到
伤害，也提高了学生学习数学的兴趣。但学生的层次也不是永远不 变的，经
过一段学习后，由学生自己提出要求，教师根据学生的变化情况，作必要的
调整（一般 是半个学期或一个学期为一次），最终达到A层逐步解体，B、C
层不断壮大的目的。
3、在各教学环节中施行“分层次教学”。
（1）教学目标层次化。分清学生层次后，要以“ 面向全体，兼顾两头”
为原则，以教学大纲、考试说明为依据，根据教材的知识结构和学生的认识
能力，将知识、能力和思想方法融为一体，合理地制定各层次学生的教学目

标，并将层 次目标贯穿于教学的各个环节。对于教学目标，可分五个层次：
①识记。②领会。③简单应用，④简单综 合应用。⑤较复杂综合应用。对于
不同层次的学生，教学目标要求是不一样的：A组学生达到①－③；B 组学
生达到①－④；C组学生达到①－⑤。例如，在教“两角和与差的三角函数
公式”时，应要 求A组学生牢记公式，能直接运用公式解决简单的三角函数
问题，要求B组学生理解公式的推导，能熟练 运用公式解决较综合的三角函
数问题，要求C组学生会推导公式，能灵活运用公式解决较复杂的三角函数
问题。
（2）课前预习层次化。针对高中生阅读理解能力相对提高，学习的目
的性、 自觉性明显增强的特点，只要教师能深钻教材，领会一“纲”两“说
明”之精神，把握其弹性，根据己定 的教学目标，明确提出各层次的预习目
标，指导学生掌握正确的看书预习方法，就会获得满意的预习效果 。比如，
让高一学生预习时，可要求A层学生主动复习旧知识，基本看懂预习内容，
试着完成相 应的练习题，不懂时主动求教于别组的学习伙伴，带着疑问听课；
B层学生初步理解和掌握预习内容，会 参照定理、公式、例题的推演自行论
证，并据此完成练习题，遇阻时，能自觉复习旧知识，能主动求教或 帮助别
组；C层学生深刻理解和掌握预习内容，定理、公式要主动推导，例题要先
行解答，能独 立完成相应的习题，力求从理论和方法上消化预习内容，并能
自觉帮助别组同学。
（3）课堂 教学层次化。课堂教学是教与学的双向交流，调动双边活动
的积极性是完成分层次教学的关键所在，课堂 教学中要努力完成教学目标，
同时又要照顾到不同层次的学生，保证不同层次的学生都能学有所得。在安
排课时的时候，必须以B层学生为基准，同时兼顾A、C两层，要注意调动
他们参与教学活动的 比率，不至于受冷落。一些深难的问题，课堂上可以不
讲，课后再给C层学生讲。课堂教学要始终遵守循 序渐进，由易到难，由简
到繁，逐步上升的规律，要求不宜过高，层次落差不宜太大。要保证C层在听课时不等待，A层基本听懂，得到及时辅导，即A层“吃得了”，B层“吃
得好”，C层“吃得饱 ”。从旧知识到新知识的过渡尽量做到衔接无缝、自然，
层次分明。例如，高一“函数概念”一课的教学 过程中，要学生复习完相应
的旧知识后，可设计如下一组问题：
① 什么叫函数？映射？
② 为什么说：“自变量x有一定取值范围？”
③ 为什么说：“函数y有确定的范围与之对应？”
④ x、y的取值范围可分别构成集合吗？它们有何特点与关系？
⑤ 你能从映射的角度重新定义函数吗？

⑥ 函数记号如何？新定义与原定义相同吗？
然后让A层学生回答①②题，B 层学生回答③④题，C层学生回答⑤⑥
题。通过提问分析，既复习了旧知识，充分暴露出概念的形成过程 。又可调
动各个层次学生的学习积极性，使全体学生基本上搞清函数的概念，从而在
“成功的体 验”中，不知不觉中突破这一难点。
同时，对新知识的理解、知识点的应用和题型的变换等，每个层次 的设
计都要照顾各层次学生的思维能力。例如，学习了函数概念后，又可设计如
下一组问题：
①函数由哪三个要素组成？与映射有何关系？
②如何求自变量x取a时的函数值f（a）？并说明f（a）与f（x）的
异同。
③自变量是否一定用x表示？两个函数相同的条件是什么？
④说出二次函数f(x)=2x
2
+2的定义域、对应法则、值域，并求f(0),
f(1),f(a),f(x+1)。
⑤下列各式能表示y是x的函数吗？为什么？
1) y=
x?1
2) y=
1
1?x
1
1?x
3) y=
x?1?
4) y
2
=x
2

⑥下列各组中是否表示同一函数？为什么？
x
2
1) y=x与z=u 2） y=x与y= 3） y=
x
2
与y=(
x
)
2

x
2 2
先让C层学生解决①②题后，请B层学生解决③④题，再由A层学生解
决⑤⑥题。从而使全体 学生悟出道理，学会方法，掌握规律，提高了信心。
此外还要安排好教学节奏，做到精讲多练，消除“满 堂灌”，消除拖泥带水
的成份，把节省下来的时间让学生多练。在此基础上可适当补充些趣味数学，以便活跃课堂，努力做到全体学生动脑、动口、动手参与教学全过程。
（4）布置作业层次化。在 教完一个概念、一节内容后，学生要通过做
练习来巩固和提高，因此课后布置多层次习题是分层次教学不 可缺少的环
节。课后作业一刀切，往往使A组学生吃不消，C组学生吃不饱。为此根据
不同层次 学生的学习能力，布置不同的课后作业，一般可分为三个层次：A
层是基础性作业（课后练习），B层以 基础性为主，同时配有少量略有提高的
题目（课后习题），C层是基础性作业和有一定灵活、综合性的题 目（课后复
习题）各半。布置作业要精心安排，一般学生在20至30分钟内完成，如在
“一元 二次不等式”的教学中，布置如下三个层次的作业供各层次学生选择：
第一层：解下列不等式：
1) 4x
2
-4x＞15， 2） 14-4x
2
≥x
3） x(x＋2)＜x（3-x）＋1， 4) -x
2
-2x+8≥0

第二层：求下列函数中自变量x的取值范围：
l） y=
x
2
?4
2） y＝
1
x
2
?x?12
3） y=
?x
2
?2x?1

第三层：已知不等式 kx
2
-2x+6k＜0 （k≠0）
1)如果不等式的解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值：
2）如果不等式的解集是实数集R，求k的值；
分层次布置作业充分考虑到学生的能力，并由学生选择 适应自己的作业
题组，克服了“大一统”的做法，使每个学生的思维都处于“跳一跳，够得
着” 的境地，从而充分调动了学生的学习积极性，对A层的学生也没有过大
的压力，可以减少抄袭作业的现象 ，减轻学生的课业负担，提高学生学习数
学的兴趣。
（5）单元考核层次化。每一单元学完后 ，均安排一次过关考核，它以
课本习题为主，着重基本概念和基本技能，根据A、B、C三层次学生的实 际
水平，同一份试卷拟定出不同层次的单元测试题，提出不同的要求，供三个
层次学生按规定要 求自由选择完成，也可直接注明部分题只要求A层学生完
成，部分题只要求C层学生完成（可用附加题形 式）。就是在统考中，也可
针对不同的学生提出不同的目标，如上次考50分的，这次考60分就算达标
了。在每次考核后，每层次的人员应作适当的变动，如A、B层中成绩最好
的两名学生分别升为 B、C层，而B、C层中成绩最差的两名学生分别降为A、
B层。这样一来，基础差的学生感到有奔头， 基础好的学生不敢有丝毫放松。
（6）课外辅导层次化。教师要做补缺、提高工作，充分利用课余时间 ，
积极开展第二课堂，因材施教，给没有过关的A层学生补课，给C层学生增
加次竞赛讲座。这 样可进一步使A层学生“吃得了”，能奋发向上，C层学生
“吃得饱”，能充分发展，形成一种你追我赶 的学习气氛。
四、“分层次教学”的效果
1、学生分层是通过学生学生自我评估完成的，完 全由学生自愿选择适
合自己的层次，这样既充分尊重学生的心理健康发展，切实减轻了学生的心
理负担，保护了学生自尊心和自信心，又调动了学生学习数学的积极性和主
动性，使学生感到轻松自如， 提高了学生学习数学的兴趣。
2、分层次教学符合因材施教原则，保证了面向全体学生，并特别重视< br>对后进生的教学力度。由于注重学生的主体地位，使不同层次的学生的知识、
技能、智力和能力都 有所发展。由于教学目标和教学进度符合学生的实际，
减轻了学生的课业负担。由于优化了课堂教学结构 ，提高了课堂教学质量和
效率，学生的数学成绩有一定的提高。

五、“分层次教学”的启示
分层次教学的目标，预习、课堂、作业、考核、辅 导等层次化固然重要，
但还有一些表面上看不见的因素影响着分层次教学的实施。主要有以下几
点：①注重成绩水平，轻视能力培养；②层次分得过死，加重两极分化；③
只重视部分优生，忽视全体学 生；④学生层次分明，教师教法单一；⑤缺乏
思想引导，学生心理负担过重；⑥教学分层与考查不配套。 对这些不利因素
在教学实践中要注意克服。此外，课后做好学生的思想工作，与家长密切配
合， 与班主任的协调，教师的责任心，教态，语言，作风，人格等都会对分
层次教学产生一定的影响。在进行 分层次教学的实践中值得注意。
最后需要指出的是分层次教学对教师的要求更高，教师工作量更大．需
要教师有强烈的责任心，求实、创新的工作作风。面对学生“参差不齐”的
实际水平，在普通高 中数学教学中正确地运用“分层次教学”，可使学生的
学习目的性更明确，自觉性更强，学习兴趣更浓厚 ，达到缩小两极分化，大
面积提高数学教学质量的目的。分层次教学是一种新的操作难度大的工作，有待在今后的实践中探讨与改进。


参考文献：
1、《数学课堂教学中的层次设计》中学数学 1997.2冯跃峰；
2、《在层次教学中培养学生的思维能力》 中学数学教学参考 1997.10
付海峰；
3、《数学“符号语言”教学的层次性》数学通报 1999.3 冯德雄 章明富。

《高中数学“问题解决”课堂教学模式的研究与实践》
研究报告摘要
随着素质教育 的全面推进，“创新精神与实践能力”的培养已成为素质教
育的核心。问题解决能力就是“创新精神与实 践能力”在数学教育领域的具体体
现，是一种重要的数学素质。本课题力图通过教学实践研究，寻找“问 题解决”
能力培养与课程教材知识体系学习之间的互补与平衡，形成稳定简明的教学理论
框架及 其操作性较强的数学课堂教学模式，促进学生的数学意识、逻辑推理、信
息交流、思维品质等数学素质的 提高，为学生的自主学习、发展个性打下良好基
础。
（一） “问题解决”课堂教学模式的理论框架：

(1) 在一定的问题情境背景下，学生可以 利用必要的学习材料，借助教师
和同伴的帮助，通过意义建构主动获得知识。
(2) 问题解 决能力的培养为学生学习数学知识提供动力，而系统的数学知
识体系为问题的解决提供保障。问题解决能 力的培养与数学知识体系的建构两者
之间的互补与平衡有助于学生认知结构的完善。
(3) 学生和教师是教学活动中能动的角色和要素，师生关系是互为主体、
互相依存、互相配合的，师生双方的 主体性在教学过程中都应得到发展和发挥。
(4) 学生主体作用主要体现在学生的学习活动过程中。
(5) 教师的主体作用主要体现在对教学活动进行科学认识的过程中，教学
过程中教师的主导 是发挥主体作用的具体表现形式。
（二） “问题解决”课堂教学模式的功能目标：
学习发 现问题的方法，开掘创造性思维潜力，培养主动参与、团结协作精
神，增进师生、同伴之间的情感交流， 形成自觉运用数学基础知识、基本技能和
数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。
（三） 数学问题解决能力培养目标：
1. 会审题——能对问题情境进行分析和综合。
2. 会建模——能把实际问题数学化，建立数学模型。
3. 会转化——能对数学问题进行变换化归。
4. 会归类——能灵活运用各种数学思想和数学方法进行一题多解或多题
一解，并能进行总结和整理。
5. 会反思——能对数学结果进行检验和评价。
6. 会编题——能在学习新知识后，在模 仿的基础上编制练习题；能把数学
知识与社会实际联系起来，编制数学应用题。
（四） “问题解决”课堂教学模式的操作程序：
教学流程：

创设 尝试 自主 反馈
情境 引导 解决 梳理

1. 创设问题情境，激发学生探究兴趣。
从 生活情境入手，或者从数学基础知识出发，把需要解决的问题有意识地、
巧妙地寓于符合学生实际的基础 知识之中,把学生引入一种与问题有关的情境之
中，激发学生的探究兴趣和求知欲。
创设问题 情境的主要方法：(1)通过语言描述，以讲故事的形式引导学生

进入问题情境；(2) 利用录音、录象、电脑动画等媒体创造形象直观的问题情境；
(3)学生排练小品，再现问题情境；(4 )利用照片、图片、实物或模型；(5)组织
学生实地参观。
2. 尝试引导，把数学活动作为教学的载体。
学生在尝试进行问题解决的过程中，常常难以把握问题解决的 思维方向，
难以建立起新旧知识间的联系，难以判断知识运用是否正确、方法选择是否有效、
问 题的解是否准确等，这就需要教师进行启发引导。
常用启发引导方式：(1)重温与问题有关的知识。 (2)阅读教材，学习新概
念。(3)引导学生对问题进行联想、猜测、类比、归纳、推理等。(4)组 织学生开
展小组讨论和全班交流。
3. 自主解决，把能力培养作为教学的长远利益。 让学生学会并形成问题解决的思维方法，需要让学生反复经历多次的“自
主解决”过程，这就需要教 师把数学思想方法的培养作为长期的任务，在课堂教
学中加强这方面的培养意识。
常用方式： (1)对于比较简单的问题，可以让学生独立完成，使学生体会
到运用数学思想方法解决问题的快乐。( 2)对于有一定难度的问题，应该让学生
有充足的时间独立思考，再进行尝试解决。(3)对于思维力度 较大的问题，应在
学生独立思考、小组讨论和全班交流的基础上，通过合作共同解决。
4. 练习总结，把知识梳理作为教学的基本要求。
根据学生的认知特点，合理选择和设计例题与练习，培养 主动梳理、运用
知识的意识和数学语言表达能力，达到更好地掌握知识及其相互关系和数学思想
方法的目的。
常用练习形式：(1)例题变式。(2)让学生进行错解剖析。(3)让学生根据
要求进行命题，相互考察。
总结是把数学知识与技能通过“同化”或“顺应”的机能“平衡”认知结
构的必要步骤。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更
好地学习、记忆 和应用。
常用总结方式：(1)在概念学习后，以辨析、类比等方式进行小结。(2)对
解题 过程进行反思。(3)从数学知识、数学思想、学习的启示三个层面进行课堂
小结。(4)布置阅读、练 习和实践等不同形式的课外数学活动。(5)让学生撰写考
后感、学习心得、专题小论文。(6)指导学 生开展研究性课题研究。
（五） 数学问题解决能力培养的课堂教学评价标准：
1. 教学目标的确定：

(1)知识目标的确定应重视数学基础知识和基本技能；(2)能力 目标的确定应
强调数学思想方法的揭示和培养；(3)情感目标的确定应注意学习兴趣的激发、
良好人际关系的建立、科学态度和创新精神的培养等等。
2. 教学方法的选择：
采用探究 式、启发式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学
生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流 的形式，在教师的
指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识、基本技能和基本
数学思想 方法，培养积极探索和团结协作的科学精神。
3. 问题的选择：
合适的问题至少应有如下特点之一：
(1) 重视情景应用，即给出一种实际情景和需求，以解决现实困难为标志。
(2) 具有探究性，即问题不 一定有解，答案不必唯一，条件可以变化，试验
方案可以自己设计，允许与别人讨论等等。
(3) 非形式化，即不是教材内容的简单模仿，不是靠熟练操作就能完成的，
需要较多的创造性。
4. 师生双主体意识的体现：
(1) 在课堂教学活动过程中，学生主动参与学习意识强， 能主动发现和分
析问题，能联系新旧知识，能在独立思考的基础上，与同伴开展交流、讨论，能
提出解决问题的各种方法，并努力进行验证。
(2) 在课堂教学活动过程中，教师能创造性地设计教 学过程，洞察课堂中
发生地各种问题，并准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，< br>把握教学活动地主动权。
5. 教学策略的运用：
(1) 主体发展策略——在课堂 教学中，强调发挥学生学习的主动性，充分
体现学生的主体作用。在课堂教学设计的过程中应充分发挥教 师的主体作用，组
织并落实多种形式的课堂实践活动，使学生在活动的参与过程中，提高认识能力
和增强情感体验、情感控制能力，发展个性特长。
(2) 动机激发策略——在课堂教学中，教师应 该把学生吸引到有兴趣的、
有挑战性的学习活动中，让学生体验成功所产生的愉悦和成就感，学会正确地 对
待挫折，从正、反两方面来有效地激发学生的学习动机。
(3) 层次设计策略——在课堂 教学中，应该从“自主、合作、体验、发展”
等层次为学生提供概念、定理的实际背景，设计定理、公式 的发现过程，让学生

体验分析问题、解决问题的思考过程，领悟寻找真理、发现规律的方 法和思想。
(4) 探究创新策略——在课堂教学中，教师应该为学生提供动手实践的机
会和 探究的时间，指导学生大胆质疑，鼓励学生敢于发表不同意见和独特见解。
（六） 数学问题解决能力的评价标准与方法：
1. 数学问题解决能力的评价标准:(1)能否把实际问题转化为
数学问题；(2) 能否应用各种策略或思想方法去解决问题；(3) 能否
有效地解决问题；(4) 能否证明和解释结果；(5) 能否概括和推广解
法。
2. 数学问题解决能力的评价方法： (1)观察学生解题过程的细
节；(2)聆听学生对解题方法的讨论；(3)批改学生的作业、测验和考
试卷；(4)分析学生的学习体会或考试心得；(5)阅读学生的数学小论
文。
（七） 研究的成效
1. 青年教师的课堂教育思想和观念从“灌输型”向“启发探究型”转化。
2. 学生的学习方式从“接受性学习”向“研究性学习”转化。
3. 师生关系从“从属型”向“平等型”转化。
4. 基础性的数学知识体系的构建可以通过“发现问题 ----分析问题----解
决问题”的研究性学习方式来实现。“问题解决”课堂教学模式成为“基础 型课
程”与“研究型课程”有机结合的一种尝试。
[主要参考文献]（略）
高中数学多媒体教学的探索与思考
摘要：
现代教育技术是当前教育的制高点。如何利 用多媒体进行辅助教学，探讨多媒体
教学模式已成为教育界关注的话题，数学作为一门独立的自然科学， 有它自身的特点、体系
和规律，本文就两年来从事数学多媒体教学的收获与困惑谈几点体会。

关键字：
多媒体、高中数学、课堂教学

21世纪人类已进入信息时代，以计 算机和网络为核心的现代科学技术不断发展,其应用
已逐步进入教育领域。使我们的教育由“一支粉笔、 一块黑板、一本书”的枯燥无味的课堂教
学走向生动活泼的“屏幕教学”，真正向创新型教育教学发展。

去年，我校在高中部全面实行多媒体辅助教学模式，让多媒体的最佳效果完全深入课堂，

增大课堂容量、提高课堂效益、活跃课堂气氛、提高学生学习的兴趣。逐渐地，数学教师改< br>变以往的讲述、板书等手段、“一支粉笔、一个三角板（圆规）等媒介，借助多媒体强大的
图形处 理功能和动画处理功能，出色的完成每一堂数学课。数学是一门集数形关系知识于一
身的学科，而多媒体 教学的交互性、可控制性、大容量性、快速灵活性，正好符合数学教学
的要求。在此，本人就一年多来的 对数学多媒体辅助教学的探索谈几点体会;根据现状请同
行们思考几个问题：

一、

高中数学多媒体课堂教学的优越性
（1）

运用多媒体的声像效果，创设情境、导入新课、激发兴趣

俗话说：“好的开始是成功 的一半”。在数学课的开始阶段，迅速集中学生的注意力，把
他们思绪带进特定的学习情境，激发起学生 浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对一堂数学课
的成败与否起着至关重要的作用。数学课直白地提问复习 引入新课，平淡无奇。不如运用多
媒体的声光、色形、图象的翻滚、闪烁、定格及色彩变化、声响效果更 能有效地开启学生思
维闸门，由被动到主动，轻松愉快地进入新知识的学习。



例如1：在引入《四种命题》时，通过flash动画演示一个故事情节：有一个主人很热情地约了四个朋友一起过生日，结果只有三个朋友赴约，主人见人没来齐，便说：“该来的
没来” 。过一会儿，有一个朋友走了。主人又说：“不该走的走了”。这时另一位朋友也走了。主
人见情形不对 ，对剩下的一位说：“我又没说他”。结果三个全走了。提问：主人的朋友为什么
会走？激发学生强烈的 探索欲。

例如2：在讲解高二数学（人教版）上册《直线的倾斜角和斜率》引入时，利用Po w
point制作幻灯片。画有两个一大一小的正方形，提问：有一把三角板怎样画出两个正方形
的对角线？

（注：大正方形的对角线长大于等腰直角三角板的斜边长）





图1



（一点与一角确定一条直线） （两点确定一条直线）

（2）运用多媒体的动画效果，突出重点、突破难点、呈现过程

轴的 距
爱因斯坦曾说过：“教育
让学生直接轻松地作为一种宝
应该使提供的东西，
贵的礼物来享受，留
下深刻印象，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。”因而要求在课的重点、难点讲 解阶段，
由浅入深、由易到难、由具体到抽象，这就需要运用多媒体的动态画面展示事物发展或推理全过程。利用它的图画特性将抽象的、理论的东西形象化，将空间的、难以想象的内容化。

在突出重点方面

例如1在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能 将A、ω、φ代入有限个值，观的
“量变”而怎样发生“质变”的，可利用FLASH动画展示的变化对 曲线形状的改变，有
利于学生更好地总结比较圆锥曲线的异。












（3）用多媒体强大的交互功能，巩固知识、提升能力

多媒体强大的交互性，使得在 课堂教学中，学生与教师能自由调整和控制学习进程。
尤其是对于重难点的巩固练习上的效果非常好，能 化抽象为具体，通过娱乐性的分层测验，


轻松巩固已学知识，切实激发学生发自内心的学习兴趣，达到“减负提素”的目的。

二、

多媒体在数学教学中的几大误区
（1）
恰当地追求它的“外在美”，忽视它的“内在美”。忽视对教学的干扰。一些
课件背景五颜六色，学 生无法看清字幕；课前就是一段躁人的音乐，似乎是
活跃课堂气氛，实际上是扰乱了学生思维。数学课必 须实在，落到实处，不
能讲究华丽的外表。



（2）

重视演示现象，说明问题，传授知识，忽视揭示过程，培养能力。在使用多
媒体的同时，往往注 重演示过程，而没有指出数学方法、贯穿数学思想。导
致学生只会模仿做题。

（3）

重视课堂的“教”， 忽视与学生的互动和情感交流。学生上课就会象看电影
一样，只看屏幕，不看老师。使双边的活动更少。


三、

数学多媒体教学的几点思考
数学是一 门抽象的自然科学，我们利用多媒体技术制作和使用数学课件无非是要将
数学中抽象的概念、几何图形的 变换过程直观地显示在学生眼前，

为学生提供操作示范，便于学生动手操作，在实践中感知、 发现、创造、培养学生思维能力
和口头表达能力。因此应用多媒体在数学教学中应努力做到：

注入更多人文思想，优化教学思想

注意多媒体的辅助性、工具性，坚持教师的主导地位

注重德育、美育的渗透及高中学生年龄特征

注重思维训练，贯穿数学思想
总而言之，多媒体辅助教学进入数学课堂的实践时间还很短，虽然对于传统
数学来说，确实是一次深 刻的变革，但还在探索、实验和研究阶段。我们要借助
这一现代化的工具真正丰富数学教学内容，提高课 堂效益，在《现代教育技术环
境下数学新课程教学方式与方法》的课题研究中探索出教学模式的新路，提 高学
生数学学习兴趣，切实贯穿数学思想，充分展示数学美，吸引每一位学生，让我
们高中数学 教育蒸蒸日上。


高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略



分析和解决问题的能 力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材
料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决 在相
关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表
述．它是逻辑思维能力、 运算能力、空间想象能力等基本数学能力的
综合体现．由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基 础上，
注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合

性．这 就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷
的题型更新，更具有开放性．纵观近几年的 高考，学生在这一方面失
分的普遍存在，如97年的理科24题、98年的理科24题、99年的理科23、24题、2000年的文科21题，这就要求我们教师在平时教学
中注重分析和解决问题能 力的培养，以减少在这一方面的失分．笔者
就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见．
一、分析和解决问题能力的组成
1．审题能力
审题是对条件 和问题进行全面认识，对与条件和问题有
关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提． 审题
能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐
含条件以及化简、转化 已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，
掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐 含条件是至
关重要的．
例1 已知
sin
?
?sin
?
?2,cos
?
?cos
?
?
23
,< br>求
tg
?
tg
?
的值．
3
分析：怎样利用 已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的
联系．只好从未知
tg
?
tg
?
入手，当然，首先想到的是把
tg
?
、
tg
?< br>分别
求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑
将
tg
?
tg
?
写成
sin
?
sin
?
，转向求
sin
?
sin
?
、
cos
?
c os
?
．令
cos
?
cos
?
x?cos
?
cos
?
，
y?sin
?
sin
?
， 于是
tg
?
tg
?
?
y
．
x
从 方程的观点看，只要有
x
、
y
的二元一次方程就可求出
x
、
y
．于

是转向求

x?y?cos(
?
?
?
)
，
x?y?cos(
?
?
?< br>)
．
这样把问题转化为下列问题：
已
①

cos
?
?cos
?
?
②
求
cos (
?
?
?
)
、
cos(
?
?
?< br>)
的值．
102
．

,cos(
?
?
?
)?
33
21
②
2
-①
2
得< br>cos2
?
?cos2
?
?2cos(
?
?
?
)?
，
cos(
?
?
?
)??
． 这样问
35
23

3
知
s
?
?si
?
?i2nn

①
2
+②
2
得
2?2cos(
?
?
?
)?
题就可以解决．
从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所 求和
条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是
分析和解决问题能力的 一个基本组成部分．
2． 合理应用知识、思想、方法解决问题的能力
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体
几何、解析几何等内
－１－

容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等
价 转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、
配方法等基本方法．只有理解和掌握 数学基本知识、思想、方法，才

能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知 识、思想、
方法可以使问题解决得更迅速、顺畅．
例2 （2000年全国高考题）设函数
f(x)?x
2
?1?ax
其中
a?0.

（Ⅰ）解不等式
f(x)?1
；
（Ⅱ）求
a
的取值范围，使函数
f(x)
在
?
0,???
上是单调函数．
解：（Ⅰ）不等式
f(x)?1
即

x
2
?1?1?ax,

由此得
1?1?ax,
即
ax?0,
其中常数
a?0.

所以，原不等式等到价于

x
2
?1?(1?ax)
2
，

x?0.

即

x?0,
(a?1)x?2a?0.
2

所以， 当
0?a?1
时，所给不等式的解集为
2a
??
x0?x?;

?
2
?
1?a
??
当
a?1
时，所给不等式的解集为
?
xx?0
?
.

（Ⅱ）在区间
?
0,??
?
上任取
x
1,x
2
,
使得
x
1
?x
2
.

2

f(x
1
)?f(x
2
)? x
1
2
?1?x
2
?1?a(x
1
?x
2
)

2
x
1
2
?x
2

?
x?1?x?1
2
1
2
2
?a(x
1< br>?x
2
)


?(x
1
?x
2
)(
(ⅰ)当
a?1
时，
x
1
?x
2
x?1?x?1
2
1
2
2
?a).

∵
∴
x
1
?x
2
x?1?x?1x
1
?x
2
x?1?x?1
2
1
2
2
2
1
2
2
?1,

?a?0,

又
x
1
?x
2
?0,

∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0,

即
f(x
1
)?f(x
2
).

所以，当
a?1
时，函数
f(x)
在区间
?
0,??
?
上是单调递减
函数．
（ⅱ）当
0?a?1
时，在区 间
?
0,??
?
上存在两点
x
1
?0,x
2
?
2a
,
满足
2
1?a
－２－
< br>f(x
1
)?f(x
2
)?1,
所以函数
f(x)< br>在区间
?
0,??
?
上不是单调函数．
综上，当且仅当a?1
时，函数
f(x)
在区间
?
0,??
?
上是单调函数．
在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函
数的单调性等 基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力．
3． 数学建模能力
近几 年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这
给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战．而数 学建模能力是解决
实际应用问题的重要途径和核心．
例3 （1999全国高考题）下图为一 台冷轧机的示意图．冷轧机由
若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

（Ⅰ）输入带钢的厚度为
?
，输出带钢的厚度为
?，若每对轧辊的
减薄率不超过
r
0
．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（
一对轧辊减薄率?
输入该对的带钢厚度度?从该对输出的带钢厚度
输入该对 的带钢厚度
）
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊
周长 为1600mm．若第
k
对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个
疵点，在冷轧机 输出的带钢上，疵点的间距为
L
k
．为了便于检修，请
计算
L
1
、
L
2
、
L
3
并填入下表（轧钢过程中，带钢 宽度为变，且不考虑
损耗）．
轧辊序
号
k
1 2 3 4
疵点间距
L
k
（单
1600
位:mm）

解：厚度为
?
的带钢经过减薄 率均为
r
0
的
n
对轧辊后厚度为
?
(1?r
0
)
n
．
为使输出带钢的厚度不超过
?
，冷轧机的轧辊数（以对为单
位）应满足

?
(1?r
0
)
n
?
?
，
即
(1?r
0
)
n
?
?
．
?

由于
(1?r
0
)
n
?0,< br>nlg(1?r
0
)?lg
?
?0
，对上式两端取对数，得
?
?
，
?
lg
?
?lg
?
．
lg(1?r
0
)
由于
lg(1?r
0
)?0
,所以
n?
因此,至少需要安装不小于
lg
?
?lg
?
的整数对轧辊．
lg(1?r
0
)
（Ⅱ）第
k
对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长 ，在此处出口的
两疵点间带钢的体积为

1600?
?
(1?r)
k
?宽度
（其中
r?20
%），
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
L
k
?
?
(1?r)
4
?宽度
．
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

1600?
?
(1?r )
k
?L
k
?
?
(1?r)
4
(r?20
%）
即
L
k
?1600?0.8
k?4
．
－３－

由此得
L
3
?2000(mm),L
2
?2 500(mm),L
1
?3125(mm)
．
填表如下
轧辊序
号
k
1 2 3 4
疵点间距
L
k
（单
3125 2500 2000 1600
位:mm）

评述：（Ⅰ）题是一个常见的等比数列模型问题，即平均变 化率类
型，要解决该问题关键是理解题中“若每对轧辊的减薄率不超过
r
0
”
的含义；（Ⅱ）题若通过合理联想，带钢从第
k
对轧辊出口处两疵点

< br>间的距离和冷轧机出口处两疵点间的距离的关系，由于在此过程中，
两疵点间的钢板体积相等，故 是一等体积几何模型问题，可列式：
1600?
?
(1?r)
k
? 宽度?L
k
?
?
(1?r)
4
?宽度
．
在该题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此
题实属不易．因此，建模能力是分析和解 决问题能力不可或缺的一个
组成部分．
二、培养和提高分析和解决问题能力的策略
1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与
方法
数学思想较之数 学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数
学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识， 属于思维的
范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．数学方法是数学思想的
具体体现，具有 模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手
段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决 问题时得心应
手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成
自已的能力．
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理
论，如分类讨论思想可以分成： （1）由于概念本身需要分类的，象等
比数列的求和公式中对公比
q
的分类和直线方程 中对斜率
k
的分类
等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解 不
等式组中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配
方法，含参问题常用待定 系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视

通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“ 思想”或“方法”的个
性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效．从而培
养和 提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能
力．
2．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数 学知识和方法分析问
题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考
查这方 面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》
中对能力的要求的区别可见一斑．（新课 程版将“分析和解决问题的
能力”改为“解决实际问题的能力”）
数学是充满模式的，就解应 用题而言，对其数学模式的识别是解
决它的前提．由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产 、
生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型．如1997
年的“运输成本问题 ”为函数与均值不等式；1998年的“污水池问
题”为函数、立几与均值不等式；1999年的“减薄 率问题”是数列、
不等式与方程；2000年的“西红柿问题”是分段式的一次函数与二
次函数 等等．在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要
对应用题进行专题训练，引导学生总结、归 纳各种应用题的数学模型，
这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问
题．
3．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题， 必先理解题意，才能进一步运用数学思想和

方法解决问题．近年来，随着新技术革命的飞 速发展，要求数学教育
培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高
考上 就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．由
于开放题的特征是题目的条件不充分，或 没有确定的结论，而新背景
题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不
少的麻烦,导致失分率较高.如1999年理科的第16题和第22题,很多
－４－
学生由 于对“垄”和“减薄率不超过
r
0
”不理解而不知所措；又
如2000年文科 第16题和第21题、2001年春季高考的第11题，只
有在读懂所给的图形的前提下，才能正确作出 解答．因此，在高中数
学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高
学生 分析和解决问题能力的必要的补充．
４．重视解题的回顾
在数学解题过程中，解决问题以后 ，再回过头来对自己的解题活
动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节．这是
数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有
意义的阶段．
解题教学 的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为
了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创 造精神，而这一教
学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现．所以，在数学教学中要
十分重视 解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分
析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型 问题的解法进行概括，

可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并 将
它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．
参考文献
1．简洪权．高中数学运算能力的组成及培养策略．《中学数学教
学参考》2000．1-2
2．张卫国．例谈高考应用题对能力的考查．《中学数学研究》
2001．3
3．普通高等学校招生全国统一考试说明．2001

高一数学竞赛辅导材料
空间角和距离
一
方法指要

1. 二面角的求法:
(1)定义法:作出二面角的平面角.常用作法有:三垂线定理法,辅助垂面法,平移
法等.
(2)面积射影定理:设平面
?
内面积为S的某一平面图形在另一平面
?内的射影
S
'
的面积为
S
则平面
?
与平面?
夹角满足
cos?

S
'
(3)异面直线上两点 间距离公式法:
EF?d
2
?m
2
?n
2
?2mn cos
?
,其中
E,F
分
别为二面角两个面上的点,
E, F
到棱的距离分别为
m,n
,
d
是
E,F
在棱上射
影间的距离,
?
是二面角的度数
2. 异面直线距离的求法
(1)定义法:作出异面直线的公垂线段
(2)线面平行法:已知异面直线a,b,若a平行于b所在的平面
?
,则 a与
?
距离就
是a与b的距离
(3)线面垂直法:已知异面直线a,b,若 a垂直与b所在平面
?
,则垂足到直线的距
离就是a与b的距离.
(4)体 积法:把异面直线的距离转化为求某类几何体的高,借助与体积相等来建立
方程来求高.
(5 )最值法:根据异面直线距离为了解异面直线上任意两点间线段长的最小值,利
用求极值的方法. (6)异面直线上两点间距离公式法
EF?d
2
?m
2
?n2
?2mncos
?

3. 空间点到平面(线面距离,面面距离)的距离的求法:
(1)直接过点作平面的垂线 (2)体积法
注:无论是求角还是求距离,其方法大致可以分为两类:一类是直接法,即作出所
求的角和距离 ;另一类是转化法.
二 题型示例
1.选择题
(1)如图正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上使得

AECF
??
?
(
?
?0)
,记
f(
?
) ?
?
?
?
?
?
,其中
?
?
表示E F与AC所成的角
?
?
表
EBFD
A
示EF与BD所成的角,则
(A)
f(
?
)
在
(0,??)
单调增加 (B)
f(
?
)
在
(0,??)
单调减少
E
(C)
f(
?
)
在
(0,1)
单调增加
f(
?
)
在
(1,??)
单调减少
D
(D)
f(
?
)
在
(0,??)
为一常数.
B

F
(2)三棱锥V- ABC,AH
?
侧面VBC,且H是
?VBC
的垂心,已知二面角H-AB—
C
C平面角为30
0
,则VC与平面ABC所成的角为( )
(A)30
0
(B)60
0
(C)45
0
(D)90
0

(3)在正方体的12条 面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中两条异面
直线间的距离为1,那么,这个正方体棱长可能 的的值的集合是
(A)
?
1
?
(B)
3
(C)
1,3
(D)
1,2

??
????
2.填空题
(1)已知一平面与一正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
的12条棱的夹角都等 于
?
,则
sin
?
?
异面直线
B1
D
1
与
A
1
C
的距离为
(2)已知将给定的两个全等的正三棱柱的底面粘在一起恰得到一个所有二面角
都相等的六面体 ,并且设六面体的最短棱长2,则最远两个顶点距离为
(3)在棱长3的 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中,
E
为棱
AA
1
上,且
A
1
E?1
,
F
为截面
A
1
BD
内一动点,则
AF? EF
的最小值为
(4)已知三棱锥P- ABC中,PA
?
底面ABC, AB=AC=BC=PA=a, AH
?
平面PBC于H,
则二面角B-PC-A的正弦为
3.解答题
?A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为
BC
的中点,
F
在
AA
1
上, 且(1)在正方体
ABCD
A
1
F:FA?1:2
,求平面
B
1
EF
与底面
A
1
B
1
C
1< br>D
1
所成的二面角.

高中数学课堂教学实践总结
---设疑的作用
在数学教学中，教师根据课堂情况、学生的心理状态和教学内容
的 不同，适时地提出经过精心设计、目的明确的问题，这对启发学生
的积极思维和学好数学有很大的作用。 笔者在近几年的教育教学研究
活动中，听过许多学科的课堂教学，经常会看到一些教师在课堂教学
中能很快使学生带着一种高涨的、激动的和欣悦的心情从事学习，给
我留下了深刻的印象。本文就高中 数学教学设疑谈谈自己的浅见。

一、教学要从矛盾开始
教学从矛盾开始就 是从问题开始。思维自疑问和惊奇开始，在教
学中可设计一个学生不易回答的悬念或者一个有趣的故事， 激发学生
强烈的求知欲望，起到启示诱导的作用。如在教授等差数列求和公式
时，有位教师先讲 了一个数学小故事：德国的“数学王子”高斯，在
小学读书时，老师出了一道算术题：1＋2＋3＋…… ＋100=?，老师刚
读完题目，高斯就在他的小黑板上写出了答案：5050，其他同学还在
一个数一个数的挨个相加呢。那么，高斯是用什么方法做得这么快呢?
这时学生出现惊疑，产生一种强烈 的探究反响。这就是今天要讲的等
差数列的求和方法--倒序相加法……。
二、设疑于重点和难点
教材中有些内容是枯燥乏味，艰涩难懂的。如数列的极限概念及
无穷等比数列各项和的概念比较抽象，是难点。如对于
0.9
=1这一等
式，有些同 学学完了数列的极限这一节后仍表怀疑。为此，一位教师
在教学中插入了一段“关于分牛传说的析疑”的 故事：传说古代印度
有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子。老大分
总数的 12，老二分总数的14，老三分总数的15。按印度的教规，
牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分， 先人的遗嘱更必须无条件遵
从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，却计无所出，最后决
定诉诸官府。官府一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了
之。邻村智叟知道了，说：“这好办 !我有一头牛借给你们。这样，
?

总共就有20头牛。老大分12可得10头； 老二分14可得5头；老
三分15可得4头。你等三人共分去19头牛，剩下的一头牛再还我!”
真是妙极了!不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。老大似乎
只该分9.5头，最后他怎么竟得 了10头呢?学生很感兴趣，……老师
经过分析使问题转化为学生所学的无穷等比
数列各项和公式
S?
a
1

1?q
(|q|<1)的应用。寓解疑于趣味之中。
三、设疑于教材易出错之处
英国心理学家贝 恩布里奇说过：“差错人皆有之，作为教师不利
用是不能原谅的。”学生在学习数学的过程中最常见的错 误是，不顾
条件或研究范围的变化，丢三掉四，或解完一道题后不检查、不思考。
故在学生易出 错之处，让学生去尝试，去“碰壁”和“跌跤”，让学
生充分“暴露问题”，然后顺其错误认真剖析，不 断引导，使学生恍
然大悟，留下深刻印象。
如：若函数
f(x)?ax
2
?2ax?1
图象都在X轴上方，求实数a的取
值范围。
学生因 思维定势的影响，往往错解为a>0且
(2a)
2
?4a?0
，得出
0四、设疑于结尾

一堂好课也应设 “矛盾”而终，使其完而未完，意味无穷。在一
堂课结束时，根据知识的系统，承上启下地提出新的问题 ，这样一方
面可以使新旧知识有机地联系起来，同时可以激发起学生新的求知欲
望，为下一节课 的教学作好充分的心理准备。我国章回小说就常用这
种妙趣夺人的心理设计，每当故事发展到高潮，事物 的矛盾冲突激化
到顶点的时候，当读者急切地盼望故事的结局时，作者便以“欲知后
事如何，且 听下回分解”结尾，迫使读者不得不继续读下去!课堂何
尝不是如此，一堂好课不是讲完了就完了，而是 词已尽意无穷。
x
2
?3x?2
?0
时，一位教师先利用学生已 有的知识如在解不等式
2
x?2x?3
解决这个问题，即采用解两个不等式组来解决， 接着，又用如下的解
法：
(x
2
?3x?2)(x
2
?2 x?3)?0
即
(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)?0
，原不等式可化为：
所以原不等式解集为：
?
x|?1?x?1或2?x?3
?
，学生会 惊疑，唉!这是
怎么解的，解法这么好!这位教师说道：“你想知道解法吗?我们下节
课再深入 具体地探究”.这样就激起了学生的求知欲望，为下节课的
教学作好了充分的心理准备。
当然 ，教师提出的问题必须转化为学生自己思维的矛盾。只有把
客观矛盾转化为学生自身的思维矛盾，才能产 生激疑效应。

(2).设
l,m
是两条异面直线,在
l
上有 三点
A,B,C
且
AB?BC

过
A,B,C
分别 作
m
的垂线
AD
,
BE,
CF
,垂足分别为
D,E,F

7
已知
AD?15

BE?

CF?10
,求
l
与
m
的距离
2


















(3)正四棱锥V-AB C底面边长为2,侧棱长为3,过底面AB的截面交侧棱VC于
P,(1)若P为VC中点,求截面面积 (2)求截面PAB面积的最小值.

－５－