【教学案例】第二课时：如何进行教学活动的设计(《直线与平面的位置关系》)

第二课时：如何进行教学活动的设计
xxx：各位老师，大家好！欢迎大家参加高中数 学新课程远程研修！
我们这一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。
我先 来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五
中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘 华老师，那边那位是大家熟悉
的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场！
从上一讲我们已经了解到了教学设计是什么？教学设计关注的问题
有哪些？我们 这一讲就比较具体的来进行进一步的讨论，我们讨论的主
题是如何进行教学活动的设计，我们希望深入到 课堂的角度里。
我们首先来看几个案例，我们想从这些案例里，看一看课堂活动设
计里有哪些 要点。我们先来观摩两节“直线与平面平行”的课堂教学片
断，并听一听上课老师自己做的分析和点评。

课堂实录片段：T——教师，S——学生。
T：今天这节课我们来研究一下直线和平面的位置关系有多少种？
首先我们来看这样一个问题 ，这是一个足球门的图片，请大家观察
一下组成足球门的每根柱子和地面之间的位置关系有哪些？只需要 直观
的感知一下有几种？
S：有垂直，平行，还有相交。
T：一条直线和一个平面的位置关系，有且只有以下三种：直线在平

1

面内；直线和平面相交以及直线和平面平行。
在这三种位置关系里，直线在平 面内那么直线和平面有无数个公共
点。而直线和平面相交，直线和平面平行这两种位置关系，我们把它统
一的称作为直线在平面外。
直线在平面外的符号的记法大家想想应该记作什么？
S：直线在平面内，是
a?
?
。
T：那么在平面内外呢？
S：不包含。
T：对，记作：
a?
?
。
接下来 我们还是回到足球门这个问题上，刚才大家说了在这个足球
门里面，AD和地面是平行关系。那么在造足 球门的时候我如何去判断造
完以后门放在这个足球场上，上面这个门框就和地面平行的呢？
也就是说我如何去判断一条直线和一个平面平行呢？
为了研究这个问题，我们把足球门抽象一 下，抽象成在一个长方体
AC
1
内。在这个长方体里面，大家应该很直观的看到A′B ′和下底面是平行
关系。
那么它们为什么是平行的呢？我们从直线和平面平行的定义出发，它
的定义是什么？是线面没有公共点。那么我们怎么说明它们是没有公共
点的呢？
请同学们看图，从这张图上我们看到：直线A′B′和谁没有公共点？
S：AB。
T：因为A′B′和AB是平行的。而下底面可以看成是由AB这条直线平

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移所构成的，在平移过程当中的每条直线与A′B′都没有公共点，因此直
线A′B ′就与下底面没有公共点了。
现在请大家来归纳一下，如何判断直线和平面平行？
S：直线和平面的一条边平行且不在平面内，则直线和平面平行。
T：我们调整一下这句话， 就是说：如果平面外一条直线和这个平面
内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。
从图形上来叙述的话，（看幻灯片）只要说
a
和
b
这两条直线平行，
那么
a
就和平面
?
平行。我们简单一点来说：就是由线线平行这个条件，< br>可以得到线面平行的结论。但是这两条线要分清楚，一条是在平面外的，
一条是在平面内的。
……

xxx的说课：我说课的课题是《直线与平面的位置关系》（第一课
时）。本节课是高中数学新课程必修二中的内容。我的说课分四部分进
行：
（1）教材分析目 标定位。首先，从新老教材的对比上，我们可以看
到，新教材有非常明显的变化。老教材是一次完成教学 ，而新教材中文
科在高一完成立体几何教学后就已经结束了；理科则是分两次完成，一
次是在必 修二当中，一次是在选修系列2中。其次，新教材强调：直观
感知，操作确认，思辨论证，度量计算是探 索和认识空间图形及其性质
的主要方法。在高一阶段立体几何的学习中更加注重直观感知，操作确
认，并适度进行思辨论证。再次，本小节在教材当中前后联系非常紧密，

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线面位置关系的分类和它之前的线线位置关系以及之后的面面的位置关
系的分类标准都是一致 的，都是从有没有公共点，有多少个公共点出发
进行分类。线面位置关系的研究顺序也和之后的面面位置 关系的研究顺
序一致，都是先进行分类，然后讨论两种特殊的位置关系：平行和垂直。
因此本小 节在教材当中是起到了一个承上启下的作用。
所以本节课我的目标定位是：第一，能够直观感知直线与 平面的位
置关系并会用符号语言表示；第二，能通过直观感知、操作确认，归纳
并理解线面平行 的判定定理并能运用它证明一些简单的问题。第三，能
够通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳并证 明线面平行的性质定
理并能运用它证明一些简单命题。
（2）创设问题情境。我认为问题情境 应该能够引起学生的学习兴趣，
并且能够反映本节课的中心内容，而且本节课的教学也应该围绕着这个< br>问题展开。因此本节课我设计了这样一个问题情境：就是有关足球门的
例子，用它来引入直线和平 面的位置关系，并且引入直线和平面平行的
判定定理。
（3）本节课的问题串设计。在第一部 分直线和平面的位置关系上，
首先是问这样一个问题：观察组成足球门的每根柱子与地面的位置关系；< br>接着抛出第二个问题：直线和平面可能有哪几种位置关系；最后要求学
生不看图从直线和平面公共 点个数来划分，归纳出直线和平面的位置关
系应该有怎样几种。这三个问题由直观到抽象，引导学生归纳 得到线面
的三种位置关系。第二在直线和平面平行的判定定理的教学当中，还是
从足球门的问题 情境出发，问在足球门的图片当中如何保持球门的门框

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和地面是 平行关系；接着抽象到长方体模型当中，询问这样两个子问题：
首先是在直线AB的平移过程当中询问学 生是否每一个位置都和直线
A′B′平行；接下来一个子问题就是询问他们直线A′B′和平面AC是否 有公
共点。那么通过这样两个子问题，以问题的形式引导学生自己归纳得出
判定定理。接下来在 线面平行的性质定理的教学当中，我问了这样几个
问题：第一，如果直线和平面平行那么这条直线是否和 这个平面任意一
条直线平行；第二，如果直线和平面平行那么这条直线和平面内多少条
直线平行 ；第三，在平面当中怎样找出和已知直线平行的直线。通过这
三个问题引出线面平行的性质定理，同时让 学生辨析了这样几个概念，
就是无数条直线和任意一条直线和所有直线的区别。
（4）教学模 具的运用。运用教学模具在立体几何的教学当中是非常
普遍的，因为运用教学模具讲解非常直观能够使学 生容易理解。但是教
学模具并不一定非要是教学模型，比如说长方体、正方体或者棱柱、棱
锥、 棱台等模型。身边的各个具体的事物都可以用来作为模具。我在本
节课当中讲解思考练习二，辨析命题“ 过直线外一点有无数个平面与这
条直线平行”是否成立的时候，我利用教室的门作为模具演示开关门的< br>过程，在这个过程当中让学生发现教室的门框与门在转动过程当中每一
个所在平面都是平行的，从 而判断出该命题的真假。设计这样一个演示
过程我还有另外的一个想法，就是这时候课上了大概有一半了 ，可能有
学生的注意力有所分散，通过这个演示可以再次提高学生的兴奋点，继
续吸引学生的注 意力。同时，我希望通过这样慢慢的渗透能够使得学生
学会观察身边的各种事物从中发现数学的奥妙。

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……

课堂实录片段：T——教师，S——学生。
T：同学们，前面我们刚刚学过空间两条直线的位 置关系，请问空间
两条直线的位置关系有哪些？
S：平行，相交或者异面。
T： 非常棒，请坐下。请问这三种位置关系从公共点的角度来判断，
两条直线平行公共点有多少个？ S：如果两条直线平行那么这两条直线没有公共点；两条直线是异面
直线那么它们也没有公共点；当 两条直线相交的时候它们有一个公共点。
T：回答得非常棒！同学们，今天我们就是从公共点的角度来 研究直
线与平面的位置关系。请大家以笔代直线，以桌面代平面来比划一下直
线跟平面公共点的 情况。好，我请个同学来讲一讲，这位女同学。
S：（拿笔比画演示）……
T：她刚才讲得 非常好。（演示）直线与平面没有公共点；直线跟平
面只有唯一的公共点；还有整条直线在平面上。前面 我们在公理一中已
经讲到，如果说一条直线上有两个点在平面内，那么这条直线就在平面
内。我 们给出三个定义：第一种情况，如果直线跟平面有无数个公共点
就称直线在平面内；如果说只有一个公共 点我们称直线跟平面相交；如
果说没有公共点就称直线与平面平行。它们的记号依次是：如果线面平行，我们模仿两条直线平行的写法
a
?
，读作直线a平行平面α；相交
怎 么表示呢？直线
a
交平面
?
于点A，
a
?
?A；表示直线
a
在平面
?
内，

6

a?
?
；相对于直线在平面内，直线
a
与平面
?
相交以 及平行这两种统称直
线
a
在平面
?
外,它的记号:
a??
.
这就是今天给大家抛出的直线与平面的三种位置关系.
那么我们今天首先 来研究直线跟平面平行这样一种特殊的位置关系.
同学们，我们现在已经知道直线跟平面平行它的定义是 没有公共点.那
么，接下来就要判断直线跟平面是不是平行？定义当然是一种重要的方
法，除这 之外到底有没有其他办法？我们先来看一个做法：直线
a
跟
b
现
在重 合在一块，都在平面
?
里面，我现在把这条直线
a
放在平面
?
内，保
持
a
，
b
平行，往上移动从面内移到面外，这里面具备哪些 条件？
S：
a
跟
b
平行，
b
在
?
内，
a
不在
?
内。我们猜想一下。
T：我们猜想一下
a
跟
?
的位置关系是什么？
S：平行。
T：同学们的猜想完全正确。直线
a
在平面
?
外，直线
b< br>在平面
?
内，
a
，
b
为两条平行直线，这三个条件， 我们能推出a跟平面α平行。
……

xxx说课：今天我说课的课题是《直线与平 面的位置关系》，它是
高中数学新课程必修二中的内容。
点、直线与平面是立体几何的三个基 本对象。直线与平面的位置关
系是立体几何的重点与难点。根据新教材的教学目标和教学内容，教师存在的两大难点：
第一个难点，课时减少、容量增加。旧教材中直线与平面平行的判

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定和性质安排了三课时，而新教材中的相关内容仅安排了一课时，原教材中的练习三在新教材中变成了例题三，还增加了一个思考题。因此本
节课相比原教材而言，课时数 是原来的三分之一，而教学内容比原来反
而增多了。与原教材相比，新教材对直线与平面平行的判定定理 的证明
虽然不做要求，但教学时要通过观察动手或多媒体演示等等手段让学生
感知直线与平面中 一条直线平行可以得到线面平行。虽然对定理证明的
要求降低了，但实践能力要求增加了。新教材对例题 习题的推理要求并
未降低，教学时间显得更为紧迫。
教学中，直线与平面平行的判定是一个难 点，学生比较难理解。在新
教材中它的证明不作要求，但是让学生体验这个定理的演示过程显得非
常重要，在这个过程中，让学生体会到线和平面没有公共点，由此导出
判定定理。
第二个难 点，性质定理内容的生成难以下手。由于性质定理的引入
不太自然，要求又比较高，学生不太容易理解， 因此我在此处设计了大
量的问题，通过问题串来解决线面平行的性质定理的引入。等例题一结
束 以后，我是这样设问的：EF跟平面BCD是平行的，那么EF除了跟
BD平行以外，还有没有其他直线 和EF平行？学生不难发现三角形BCD
的中位线等一系列平行直线。我继续发问：直线EF与平面BC D中的直
线是不是都平行？同学也很容易得到BC跟EF是不平行的。那么EF与
平面BCD中 的直线除了平行还有什么其他关系？显然是异面的。那么
EF与平面BCD中的直线除了平行异面之外有 没有其他可能？事实上只
有两种：要么异面要么平行。我继续追问：线面平行线跟平面内的直线

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怎样前提下才能保证线线平行？这就导出来线面平行的性质定理。通过这样的设问学生很自然的就得到了它的证明。
讲完性质定理之后，教材给出了例题二。例题二是一 个长方体木块，
要经过平面A
1
C
1
内一点和棱BC将木块锯开，应 该怎样画线？当性质定
理和判定定理得以充分解决以后，由于担心学生的直观理解还不够，因
此 我在教学过程中带了小木块给每个同学，让他们自己刻画、自己操作，
最后同学基本上都能比较自然的画 出该画的线。应该说线画好本题已经
解决，由于本节课的课时比较紧，内容比较多，经过反复推敲，例题 二
跟例题三其本质是一样的，例题三要求三个平面两两相交，交于三条直
线，其中两条线平行， 那么第三条线一定平行。我就抓住例题二这样的
结论，把上面看成其中一个面，右边看成第二个面，现在 的截面看成第
三个面，其本质就是三个平面两两相交，其中满足BC跟BC
1
平行，那
么把它锯开就得到了例三所要的。例题三就通过例题二的充分分析，两
者通过巧妙的整合完成了 例题三所提出的要求，最后给出严格的证明。
……

xxx：两位老师给我们提供 了研究数学教学活动设计的很好的案例，
下面我们听听罗强老师和刘华老师对“直线与平面平行”这个案 例的分
析。
xx：好，我们就以“直线与平面平行”这堂课，来探讨数学教学活
动的 设计。“直线与平面平行”这堂课，我觉得是新教材“立体几何初
步”中非常典型的一堂课，这堂课的典 型性，主要体现在它反映了研究

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空间元素位置关系的一个全流程 。我们研究空间元素位置关系，首先要
先建构位置关系，通过建构了位置关系之后，得到了位置关系的一 些定
义，然后把其中的第一种位置关系线面平行拿出来，对线面平行进行研
究，研究它的判定定 理以及它的性质定理。因此这是一个完整的研究空
间元素位置关系的一节课。
我觉得它的典型 性还体现在就是我们在教学设计的过程中间，一定
要从整体把握和单元设计的角度来进行设计。我们现在 新课程的立体几
何分成两块，一块是必修二，叫立体几何初步；然后选修2?1是空间向
量与立 体几何。我们现在教的“直线与平面平行”是立体几何初步中的
一个内容。因此，我觉得在本节课的教学 设计中，一定要突出初步这个
关键词，把握好新教材对于立体几何这样一种分段教学、螺旋上升的要求。从单元设计的角度来看，就是说我们现在研究的直线与平面平行的
位置关系，实际上就是一个立 体几何中间研究空间元素与元素位置关系
的一个缩影，这样一种课堂教学的流程应该可以移植到研究其他 比如说
面与面的位置关系，线与线的位置关系中。所以，我觉得这堂课还是非
常典型的一堂课。
xx：我觉得这堂课的教学活动也是非常典型的，这个典型性首先反
映在要让学生独立地面对问 题。比如，这节课我们总共要提出三个主导
问题：一个是直线和平面可能有几种位置关系？我们如何用公 共点的数
量来进行分类？这是第一个问题，通过这个问题，教师是希望指导学生
建构直线和平面 位置关系的几种情况，从而得出定义，也为我们进一步
地研究提供一个基础。第二个主导问题是我们在研 究直线和平面平行的

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判定的时候需要提出：如何判定线面平行 ？我们可能会在解决这个问题
的过程当中需要学生主动地参与问题解决的这样一个过程。从而使得他们能够自主地建构线面平行的这个判定定理。第三个主导的问题是如果
直线和平面已经平行了，那么 这条直线是否和这个平面内的任意一条直
线都平行？当然学生在解决问题的过程当中通过自己的理性思考 ，通过
自己的这种思辨的过程，能够认识到直线并非和平面内的任意直线都平
行。这样，我们的 子问题就可以接踵而来，比如说可以问：那么这条直
线是不是能够和这个平面内的一条直线平行呢？和哪 条直线平行呢？和
这个平面内平行的直线之间有什么样的关系呢？这样，我们可以从关系
的角度 能够逐层地展开我们的教学活动，因此说这堂课的一个典型性是
学生需要独立地面对问题。
其 次，这堂课的教学需要强调学生要主动参与问题解决的一个过程，
从而使得我们数学的教学过程成为学生 主动进行意义建构的一个过程，
我想这也是这堂课教学中典型性的一个体现。我觉得这堂课的教学活动< br>设置的流程非常清楚，这个流程就是从位置关系到定义到判定到性质到
应用，这个流程在接下来研 究其他位置关系的时候也是这样的，具有一
种全息性。
xx：我觉得在这堂课的教学设计中间 一定要突出初步这个关键词，
《课程标准》提出立体几何初步的教学应该突出直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算，这样一种要求跟教材的设计次序是吻合的。那么
在这堂课里，我觉得教师在教 学活动设计中应该突出让学生直观感知，
在直观感知的基础上进行理性思维。王新民老师和黄骁健这两位 老师在

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教学中间都借用了门这个道具，展示了门打开过程中门 和门框的位置关
系，这就充分借助了我们身边的实物让学生来感知。再比如说黄骁健老
师和王新 民老师都使用了多媒体课件，让学生体会直线与平面判定定理
的合理性。所以我觉得在立体几何教学中， 我们一定要突出让学生通过
实物，通过多媒体课件来进行直观感知，在直观感知的基础上进行理性
思维。
再比如例题二，应该怎样画线把木块切割开来？这个问题本身就包
含了对前面知识和 后面知识一种前后联系，所以这个问题，虽然它放在
这个部分侧重研究的是线面平行这种关系，但实际上 ，它还包含了研究
线线位置关系以及其他的内容，它最后也可以看作是面面平行的一个性
质定理 。所以我们在教这个内容的过程中间，要更多地从整体上来理解
这个内容，为后续的教学打下伏笔，为前 面的教学做一个延伸。
xx：打个比方，比如说我们教师可能看作是泥水匠，你在砌墙的时
候 知道这块砖头可能不是很规则，但是你需要知道它放在什么地方，然
后我们才能够砌出一个完整的、比较 漂亮的建筑出来。
xx：这个比喻很好，就是说我们教师在教的时候，实际上从行为上
来讲是 砌砖，但是从整体上来看我们是在砌一幢楼，这幢楼的形象要在
脑海里有一个比较深刻的认识。
xxx：大家看过了这个两个案例以后，也听了两位老师的点评，我想
大家会有一定的感受，下面，我 们想就教学设计来采访一下江苏省教研
室的李善良老师，听一听李善良老师对教学设计的想法。
李善良：每套教材都集中了大量的智慧和经验，教师在进行教学时，

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