加法函数公式2019版八年级数学下册第四章因式分解试题(新版)北师大版

第四章 因式分解
1.因式分解的方法
名称
公式
=m(a+b+c)
项数 最少两项 两项
平方差形式
完全平方形式(1)三项.
适用
有公因式
条件 (2)每项都是平方的形
(3)另一项是两数乘积的二倍
式.(3)两项符号相反
【例1】分解因式：2x-6x=________.
【标准解答】两项中都含有公因式2x，提取公因式2x得2x-6x=2x(x-3).
答案：2x(x-3)
【例2】分解因式：4x-1=________.
【标准解答】4x-1=(2x)-1=(2x+1)(2x-1).
答案：(2x+1)(2x-1)
【例3】分解因式：(a+b)-4(a+b)=________.
【标准解答】(a+b)-4(a+b)
=(a+b)
3
3
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2
2
提公因式法
ma+mb+mc
2
平方差公式
a-b=(a+b)(a-b)
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完全平方公式
a±2ab+b=(a±b)
三项
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(1)两项.
(2)两项是平方的形式.
=(a+b)(a+b+2)(a+b-2).
答案：(a+b)(a+b+2)(a+b-2)
【例4】分解因式：a-10a+25a=________.
【标准解答】a-10a+25a=a(a-10a+25)=a(a-5).
答案：a(a-5)
【例5】分解因式：(2a-b)+8ab =________.
【标准解答】(2a-b)+8ab=4a-4ab+b+8ab=4a+4ab+b=(2a+b).
答案：(2a+b)

1.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
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2
2
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32

A.x+1
C.x+x+1
2
2



2
B.x+2x-1
2
D.x+4x+4
2
2.分解因式：(x+3)-(x+3)=________.
3.在实数范围内因式分解x-4=________.
4.因式分解：xy-x=________.
5.分解因式：-a+ab- ab=________.
6.给出三个多项式x+x-1，x+3x+1，x-x，请你选择其中两 个进行加法运算，并把结果因式分解.






2.分解因式与整体代入求值
(1)利用平方差公式分解因式，再整体代入求值
通过对已知条件或对所求代数式利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求值.
【例1】若m-n=6，且m-n=2，则m+n=________.
【标准解答】m-n=(m+n)(m-n)
=2(m+n)=6，∴m+n=3.
答案：3
(2)利用完全平方公式分解因式，再整体代入求值
通过对已知条件利用 完全平方公式分解因式，对所求代数式化简分解因式，找出已知条件与所求代数
式之间的关系，然后整体 代入求值.
【例2】已知a+2ab+b=0，求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.
【标准解答】∵a+2ab+b=0，∴a+b=0，
又∵a(a+4b)-(a+2b)( a-2b)=a+4ab-(a-4b)=4ab+4b=4b(a+b).
∴原式=4×b×0=0.

1.若m-n=2，m+n=5，则m- n的值为________.
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4

2.已知m+n=3，求2m+4mn+2n-6的值.




3.因式分解的解题技巧
(1)通过加减变形，进行因式分解
分解某些多项式，有 时需要加上并减去一个适当的项，从而在多项式的值保持不变的前提下达到因式
分解的目的.
【例1】分解因式：4a+1.
【标准解答】本题只需在原式中加上并减去4a，即能运用完全平方公式和平方差公式进行分解.
原式=4a+1+4a-4a=(4a+4a+1)-4a
=(2a+1)-(2a)=(2a+2a+1)(2a-2a+1).
(2)通过拆项变形，进行因式分解
当多项式的因式分解遇到困难时，有时也可考虑采用拆项 的方法，将多项式中的某一项进行拆分，然
后将新得到的多项式进行适当组合，同样可以实现因式分解.
【例2】分解因式：2x+3x-1.
【标准解答】将3x拆成2x+x，再将2x与2x组 合，x与-1组合，则能运用提取公因式法与平方差公式
进行分解.
原式=2x+2x+x-1
=(2x+2x)+(x-1)
=2x(x+1)+(x+1)(x-1)
=(x+1)(2x+x-1).
(3)通过换元变形，进行因式分解
当多项式的次数较高，且其中含有相同的多项式因子时， 采用换元法就能降低原多项式的次数，从而
简化因式分解操作.
【例3】分解因式：(a+2a)(a+2a+4)+4.
【标准解答】设y=a+2a，则原式=y(y+4)+4=y+4y+4=(y+2)，
∴(a+2a)(a+2a+4)+4=(a+2a+2).
(4)由整式的乘法可知，(x +p)(x+q)=x+(p+q)x+pq，根据因式分解与整式乘法的关系可得，
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x+ (p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.
例如，将式子x+3x+2分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2 ，
因此这是一个符合x+(p+q)x+pq型的式子，利用这个关系可得x+3x+2=(x+1)( x+2).
【例4】利用这种方法，将下列多项式分解因式.
(1)x+9x+20. (2)x-7x+12.
【标准解答】(1)x+9x+20=(x+4)(x+5).
(2)x-7x+12=(x-3)(x-4).

1.分解因式：
(1)x-7x-8.
(2)x+3x-18.
(3)a+7ab+12b.
(4)(a+b)-5(a+b)-14.













2.先阅读以下材料，然后解答问题.
分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+ (my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)；也可以mx+nx+my+ny=(m x+my)+(nx
+ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).
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以上分解因式的方法称为分组分解法.请用分组分解法分解因式：a-b+ab-ab.







3.观察下列分解因式的过程：
x+2ax-3a
=x+2ax+a-4a(先加上a，再减去a)
=(x+a)-4a(运用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面这样通 过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法.请你用配方法分解
因式：x-4 xy+3y.



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跟踪训练答案解析
1.因式分解的方法
【跟踪训练】
1.【解析】 选D.根据完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行
分解因式，D选项x+4x+4=(x+2).
2.【解析】(x+3)-(x+3)
=(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2).
答案：(x+3)(x+2)
3.【解析】x-4=(x+2)(x-2)=
(x+2)(x+
2
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2
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)(x-).
)(x-)
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答案：(x+2)(x+
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4.【解析】xy-x=x(y-x)=x(y-x) (y+x).
答案：x(y-x)(y+x)
5.【解析】原式=-a
=-a答案：-a
6.【解析】如：
=x+4x=x(x+4).
又如：+=x+2x+1=(x+1).
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2
3
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.

+=+(x+3x)+(-1+1)
2.分解因式与整体代入求值
【跟踪训练】
1.【解析】m-n=(m+n)(m-n)=5×2=10.
答案：10
2.【解析】2m+4mn+2n-6=2(m+n)-6.
∵m+n=3，∴2(m+n)-6=2×3-6=12.
3.因式分解的解题技巧
【跟踪训练】
1.【解析】(1)x-7x-8=(x-8)(x+1).
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(2)x+3x-18=(x+6)(x-3).
(3)a+7ab+12b=(a+3b)(a+4b).
(4)(a+b)-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2).
2.【解析】a-b+ab- ab=(a+ab)-(b+ab)=a(a+b)-b(b+a)=(a+b)(a-b)
=(a+b)(a-b).
3.【解析】x-4xy+3y=x-4xy+3y+y-y
=x-4xy+4y-y=(x-2y)-y
=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]
=(x-y)(x-3y).
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