《高中数学解题》(精美word版)

《高中数学解题思维与思想》
导 读
数学家G . 波利亚在 《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培
养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策
略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性
根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
二、数学思维的反思性
提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性
考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性
对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题
目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《
思维与思想
》的即时性、针对性 、实用性，已在教学实践中得到了
全面验证。


一、高中数学解题思维策略

第一讲 数学思维的变通性
一、概念 < br>数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，
必须具有思维的变通 性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将 着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是 认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高
级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是 认识事物最基本的途径，
它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包 含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目
的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻 的观察，然后认真思考，透过表面现
象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

1

例如，求和
1111
.
???
??
1?22?33?4n(n?1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数 的积的倒数，且
111111
111
?1?
，因此，原式等于
1?? ??
?
??
问题很快就
??
223nn?1n?1
n(n? 1)nn?1
解决了。
（2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题 和基础知识的联系，都是不明显的、
间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由 观察到的特征，
灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
?
x?y?2
例如，解方程组
?
.
?
xy??3
这个方程指明两个数的和为
2
，这两个数的积为
?3
。由此联想到韦 达定理，
x
、
y
是一元二次方程
t
2
?2t?3?0
的两个根，
?
x??1
?< br>x?3
所以
?
或
?
.可见，联想可使问题变得简单。
?
y?3
?
y??1
（3）善于将问题进行转化

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，
解题过程是 通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方
法。那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化
成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时， 观察具体特征，联想有关问题
之后，就要寻求转化关系。
1111
例如，已知
???
,
(abc?0,a?b?c?0)
,
abca?b?c
求证
a
、
b
、
c
三数中必有两个互为相反数。
恰 当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
(a?b)(b?c)(c?a)?0
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一
种思维方 法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就
是记类型、记方法、套公式， 使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，
必须加以克服。
综上所述，善于观察、 善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体
体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维 训练。

2

二、思维训练实例
（1） 观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，
采用特殊方法来 解题。
例1 已知
a,b,c,d
都是实数，求证
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?(a?c)
2
?( b?d)
2
.

思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设
A(a,b),B(c,d)
如图1－2－1所示，
O
y
A(a,b)
B(c,d)
图
1
－
2
x
则
AB?(a?c)
2
?(b?d)
2
.

OA?a
2
?b
2
,OB?c
2
?d
2
,

在
?OAB
中，由三角形三边之间的关系知：

OA?OB?AB
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此，
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?(a?c)< br>2
?(b?d)
2
.

思维障碍 很多学生看到 这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，
而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形 式上观察到它与平面上两点间距离
公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不 牢固。因此，
平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
例2 已知
3x
2
?2y
2
?6x
，试求
x
2
?y
2
的最大值。
解 由
3x
2
?2y
2
?6x
得
3
y
2
??x
2
?3x.
2

3
?
y
2
?0,??x
2
?3x?0,?0?x?2.
2
又
x
2
?y
2
?x
2
?
3< br>2
19
x?3x??(x?3)
2
?,

22219
?
当
x?2
时，
x
2
?y
2有最大值，最大值为
?(2?3)
2
??4.

22

3

思路分析 要求
x
2
?y
2
的最大值，由已知条件很快将
x
2
?y
2
变为一元二次函数
19
f(x)??(x?3)
2
?,
然后求极值点的
x
值， 联系到
y
2
?0
，这一条件，既快又准地
22
求出最大值。 上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：
3
由
3x
2
?2y
2
?6x
得
y
2
??x
2
?3x,

2
319
?x
2
?y
2
?x
2
?x
2
?3x?? (x?3)
2
?,

222
9
?
当
x?3
时，
x
2
?y
2
取最大值，最大值为
2
这种解法由于忽略了
y
2
?0
这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注 意审
题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注
意主要 的已知条件，
又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c?0(a?0),
满足关系 f(2?x)?f(2?x)
，试比较
f(0.5)
与
f(
?< br>)
的大小。
思路分析 由已知条件
f(2?x)?f(2?x)
可 知，在与
x?2
左右等距离的点的函
数值相等，说明该函数的图像关于直线
x ?2
对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由
f(2?x)?f(2?x)
，
知
f(x)
是以直线
x?2
为对称轴，开口向上的抛物线
它与
x?2
距离越近的点，函数值越小。
O
2 x
y
?2?0.5?2?
?
?f(0.5)?f(
?
)

图
1
－
2
－
思维障碍 有些同学对比较
f(0. 5)
与
f(
?
)
的大小，只想到求出它们的值。而此题
函数
f(x)
的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充
分 挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条
件都要仔细推敲，找出 它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。

4

（2） 联想能力的训练
例4 在
?ABC
中，若
?C
为钝角，则
tgA?tgB
的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在
?ABC
中确定三角函数
tgA? tgB
的值。因此，联想到三角函数
正切的两角和公式
tg(A?B)?
tg A?tgB
可得下面解法。
1?tgA?tgB
解
??C
为钝 角，
?tgC?0
.在
?ABC
中
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

且
A、B均为锐角，

tgA?tgB
?0.
1?tgA?tgB

?tgA?0,tgB ?0,?1?tgA?tgB?0.即tgA?tgB?1.
?tgC?tg
?
??(A?B)
?
??tg(A?B)??
故应选择（B）
思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基
本公式掌握得不牢固，不能准确把握 公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若
(z?x)
2
?4(x?y)(y?z)?0,证明：2y?x?z.

思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，
不难发现它 与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知
识来证题。
证明 当
x?y?0
时，等式
(z?x)
2
?4(x?y)(y?z)?0

可看作是关于t
的一元二次方程
(x?y)t
2
?(z?x)t?(y?z)?0有等根的条件，在
进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：

y?z
?1
即
2y?x?z

x?y
若
x?y?0
，由已知条件易得
z?x?0,
即
x?y?z
,显然也有
2y?x?z
.
例6 已知
a、 b、c
均为正实数,满足关系式
a
2
?b
2
?c
2
,又
n
为不小于
3
的自然
数，求证:
a
n
?b
n
?c
n
.


5

思路分析 由条件
a
2
?b
2
?c
2
联想到勾股定理,
a、b、c
可构成直角三角形的三
边，进一步联想到三 角函数的定义可得如下证法。
证明 设
a、b、c
所对的角分别为
A、
B
、
C.
则
C
是直角，
A
为锐角， 于是
ab

sinA?,cosA?,
且
0?sinA?1,0?cosA?1,
cc
当
n?3
时，有
sin
n
A?sin
2< br>A,cos
n
A?cos
2
A

于是有
si n
n
A?cos
n
A?sin
2
A?cos
2A?1

ab
即
()
n
?()
n
?1,

cc
从而就有
a
n
?b
n
?c
n
.

思维阻碍 由于这是一个关于自然数
n
的命题，一些学生都会想到用数学归纳法
来证明，难以进行 数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学
代数，学几何，因而不能将题目条件的 数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是 生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，
联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的 ，简单的问题来解。恰当的转化，
往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
1 转化成容易解决的明显题目
○
111
???1,
求证
a
、
b
、
c
中至少有一个等于1。
abc
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表
示，转化成我们熟悉的形式。
a
、
b
、
c
中至少有一个为 1，也就是说
a?1、b?1、c?1
中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
111
证明
????1,?bc?ac?ab?abc.

abc
例11 已知
a?b?c?
于是
(a?1)( b?1)(c?1)?abc?(ab?ac?bc?1)?(a?b?c)?0.

?

a?1、b?1、c?1
中至少有一个为零，即
a
、
b
、
c
中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上 下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者
中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数 学式子，把陌生问题变
为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
pp
例12 直线
L
的方程为
x??
，其中
p?0
；椭圆
E
的中心为
O
?
(2?,0)
，焦点
22
p
在
X
轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为
A( ,0)
，问
p
在什么范围内取
2

6

值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点
A
的距离等于该点到直线
L< br>的距
离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y
2
?2px
（1）
是，又从已知条件可得椭圆
E
的方程为
[x?(2?
4< br>p
2
)]
2
?y
2
?1
（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求
p
的取 值范
围。将（2）代入（1）得：
p
2
?2p?0.
（3）
x?(7p?4)x?

4
2
确定
p
的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
?
p
2
2
?2p)?0
?
(7p?4)?4(
4?
2
?
p

?
?2 p?0
?
4
?
?
?
7p?4?0
在
p?0
的条件下，得
0?p?13.


本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。
2 逆向思维的训练
○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思 维方
式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数
f(x)?2x
2
?mx?n
，求证
f (1)
、
f(2)
、
f(3)
中至少有一个不
小于1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的
解题方法。当 要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用
反证法。
证明 （反 证法）假设原命题不成立，即
f(1)
、
f(2)
、
f(3)
都小于1。

7

?
f(1)?1
①
?
?1?2?m?n?1
?
?3?m?n??1
?
??
则?
f(2)?1?
?
?1?8?2m?n?1?
?
?9?2m? n??7

②

??
?1?18?3m ?n?1
?
?19?3m?n??17
③
f(3)?1
??
?
①＋③得
?11?2m?n??9
，
与②矛盾，所以 假设不成立，即
f(1)
、
f(2)
、
f(3)
中至少有一 个不小于1。

○
3 一题多解训练
由于每个学生在观 察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题
可能得到几种不同的解法，这就是“一题多 解”。通过一题多解训练，可使学生认真
观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数
z
的模为2，求
z?i
的最大值。
解法一（代数法）设
z?x?yi(x、y?R)，

则x
2
?y
2
＝4.z?i?x
2
?(y?1)
2
?5?2y.

?y?2,?当y??2时，z?i
max
?3.

解法 二（三角法）设
z?2(cos
?
?isin
?
),

则
z?i?4cos
2
?
＋（2sin
?
?1)
2
?5?4sin
?
.

?当sin
?
??1时，z?i
max
?3.

解法三（几何法）
?
z?2,?点z是圆x
2
?y
2
?4上的点，

z?i表示z与i所对应的点之间的距离。
y
O
．i
．
-2i
Z
x
如图1－2－3 所示，可知当
z??2i
时，
z?i
max
?3.

解法四（运用模的性质）
?z?i?z??i?2?1?3

而当
z??2i
时，
z?i?3.?z?i
max
?3.

解法五（运用模的性质）
?z?i?(z?i)(z?i)?zz?(z?z)i?1


8
2
图
1
－
2
－
3

?5?2I(z),(I(z)表z的虚部）.

又
?I(z)?2,?z? i
max
?9,?z?i
max
?3.

第二讲 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地 检查思维过程，不盲
从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法 ，
它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们
的创造性 思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
x
例1 已知
f(x)?ax?
，若
?3?f(1)?0 ,3?f(2)?6,
求
f(3)
的范围。
b
错误解法 由条件得
①
?
?3?a?b?0
?

?

b
3?2a??6
?
②
2
?
2
②×2－① 得
6?a?15

③

8b2
???

④

333
10b431043
,即?f(3)?.

③
+
④
得
?3a??
33333
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
x
f(x)?ax?
，其值 是同时受
a和b
制约的。当
a
取最大（小）值时，
b
不一定 取最大
b
（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有
①×2－②得
?
?
f(1)?a?b
?
?
b

f(2) ?2a?
?
2
?
12
解得：
a?[2f(2)?f(1)] ,b?[2f(1)?f(2)],

33
b165
?f(3)?3a??f(2)?f(1).

399
1637
把
f(1)
和
f(2)
的范围代入得
?f(3)?.

33

9

在本题中能够 检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思 性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在
?ABC
中，
?C?90?，求证
c
2
?a
2
?b
2
.

错误证法 在
Rt?ABC
中，
sinA?
ab
?()< br>2
?()
2
?1
，即
c
2
?a
2< br>?b
2
.

cc
ab
,cosA?,
而sin
2
A?cos
2
A?1
，
cc
错误分析 在现行的中学体系中，
sin
2
A?cos
2
A?1
这个公式本身是从勾股定理
推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理 的前提条件，叫循环论证。循环论证
的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所 学的每个公式、
法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体
现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的 正确性，
增强思维的反思性。
例3 已知数列
?
a
n
?< br>的前
n
项和
S
n
?2
n
?1
，求< br>a
n
.

错误解法
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2
n
?1)?(2
n?1
?1)? 2
n
?2
n?1
?2
n?1
.

错误分析 显然，当
n?1
时，
a
1
?S
1
?3?2
1?1
?1
，错误原因，没有注意公式
a
n
?S
n
?S
n?1
成立的条件是
n?2(n?N).
因此在运用
a
n
?S
n
?S
n?1
时，必须检验
n?1
?
S
1
(n?1)
时的情形。即：
a
n
?
?

S(n?2,n?N)
?
n
例4 实数
a
为何值时，圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?1?0
与抛 物线
y
2
?
点。
错误解法 将圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?1?0
与抛物线
y
2< br>?
1
x
有两个公共
2
1
x
联立，消去
y
，
2
1
得
x
2
?(2a?)x?a
2
?1?0(x?0).
①
2

10

?
??0
?
1?
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得
?
2a??0

2
?
2
?
?
a?1?0.
17
.

8
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当
a?0
时，圆与抛物线有两个公共
点。


y y




O O

x x



图
2
－
2
－
1
图
2
－
2
－
2
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相
等正根。
解之，得
a?
?
??0
当方程①有一正根、一负根时，得
?
2
解之，得
?1?a?1.

?
a?1?0.
因此，当
a?
个公共点。
思考题：实数< br>a
为何值时，圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?1?0
与抛物线
y
2
?
1
x
，
2
171
或
?1?a?1
时，圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?1?0
与抛物线
y
2
?x< br>有两
82
（1） 有一个公共点；
（2） 有三个公共点；
（3） 有四个公共点；
（4） 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如： 在解无理方程、无理不等式；
对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可 能会发生
变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不 能提出自己的看法，这不利
于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目 解法发
表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。

11

例5 30支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？
解 因为每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应
安排29场比赛。
思 路 分 析 传统的思维方法是：30支队比赛，每次出两支队，应有15＋7＋4
＋2 ＋1＝29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰1个队，要
淘汰29支队，那么 必有29场比赛。
例6 解方程
x
2
?2x?3?cosx.
< br>考察方程两端相应的函数
y?(x?1)
2
?2,y?cosx
，它们 的图象无交点。
所以此方程无解。
例7 设
?
、
?
是 方程
x
2
?2kx?k?6?0
的两个实根，则
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小
值是（ ）
49
(A)?;(B)8;(C)18;(D)不存在

4
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次 方程根与系数的关系易得：
?
?
?
?2k,
??
?k?6,

?(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?
2
?2
?
?1
?(
?
?
?
)
2
?2??
?2(
?
?
?
)?2

349
? 4(k?)
2
?.
44
49
，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和 。这正是思维缺乏
4
反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间 的区别，
就能从中选出正确答案。
有的学生一看到
?
原方程有两个实根
?
、
?
，
?

???4k
2
?4(k?6)?0,
?k??2或k?3.

当
k?3
时，
(
?
?1)
2
?(
??1)
2
的最小值是8；当
k??2
时，
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最
小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。




12

第三讲 数学思维的严密性

二、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严
格、准确，进行运算 和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的
科学，论证的严密性是数学的根本特点之 一。但是，由于认知水平和心里特征等因素
的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在 以下几个方面：
概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素 。
因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容
易陷入思 维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种 思维
形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。
1< br>例如，“函数
y?()
?x
是一个减函数”就是一个错误判断。
3
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联
合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
1
例如，解不等式
x?.

x
1
?x
2
?1,
解
?x?,
x
1

?x?1,
或
x? ?1.
这个推理是错误的。在由
x?
推导
x
2
?1
时，没有讨论
x
的
x
正、负，理由不充分，所以出错。
二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概 念是掌握数学基础
知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案）
例1、 不等式 < br>log
(x
2
?2)
(3x
2
?2x?4)?log
(x
2
?2)
(x
2
?3x?2).

错误解法
?x
2
?2?1,

?3x
2
?2x?4?x
2
?3x?2,

?2x
2
?x?6?0,?x?
3
或x??2.

2
3
），说
2
明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真 数大于零”这一条件
造成解法错误，表现出思维的不严密性。
错误分析 当
x?2
时，真数
x
2
?3x?2?0
且
x?2
在所求的范 围内（因
2?

13

正确解法
?x
2
?2?1

?
1?131?13
x?或x?
?
?
3x?2x?4?0
33
?
?
2
?< br>
?
?
x?2或x?1

?
?
x?3 x?2?0
?
?
3x
2
?2x?4?x
2
?3x? 2
3
?
?
x?或x??2
?2
?
2
?x? 2或x??2.

例2、 求过点
(0,1)
的直线，使它与抛物线
y
2
?2x
仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1
，则它与抛物线的交点为 < br>?
y?kx?1
，消去
y
得：
(kx?1)
2
?2x?0.

?
2
?
y?2x
整理得
k< br>2
x
2
?(2k?2)x?1?0.
?
直线与抛物线仅有一个 交点，
???0,
解得
k?
11
.?
所求直线为
y?x?1.

22
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直 线为
y?kx?1
时，没有考虑
k?0
与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个 交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解
法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直 线与抛物线“相切”和“只
有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联 立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所
以它的二次项系数不能为零，即
k?0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直< br>x
轴，因为过点
(0,1)
，所以
x?0,
即
y轴，它正好与抛物线
y
2
?2x
相切。
当所求直线斜率为零时 ，直线为
y?1,
平行
x
轴，它正好与抛物线
y
2
?2x
只有一个交
点。
设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1(k?0)
则

14

?
y?kx?1
1
22
k ?.?
所求直线为， 令解得
??0,
kx?(2k?2)x?1?0.
?
?
2
2
?
y?2x
1
x?1.

2
综上，满足条件的直线为：
1
y?1,x?0,y?x?1.

2
(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中
难免出现错误。
y?
例3、 实数
m
，使方程
x
2
?(m?4i) x?1?2mi?0
至少有一个实根。
错误解法
?
方程至少有一个实根，
???(m?4i)
2
?4(1?2mi )?m
2
?20?0.

?m?25,
或
m??25.

错误分析 实数集合是复数集合的 真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在
复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用 。一元二次方程根的判别式是
对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次 方程中，
造成解法错误。
正确解法 设
a
是方程的实数根，则
a
2
?(m?4i)a?1?2mi?0,
?a?ma?1?(4a?2m)i?0.
由于
a、m
都是实数，
?
?
a
2
?ma?1?0

?
4a?2m?0
?
2

解得
m??2.

例4 已知双曲线的右准线为
x?4
，右焦点
F(10,0)
,离心率
e?2
,求双曲线方程。
a
2
?4,c?10,?a
2
?40,?b
2
?c
2
?a
2
?60.
错解1
?x?
c
故所求的双曲线方程为

15

x
2
y
2
??1.

4060
错解2 由焦点
F(10,0)
知
c?10,

?e?
c
?2,?a?5,b
2
?c
2
?a
2
?75.

a
故所求的双曲线方程为
x
2
y
2
??1.

2575
错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心
在原点这个条件。由于判断错误，而 造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会
产生错误解法。
正解1 设
P(x ,y)
为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为
x?4
，右焦点
F(10 ,0)
，离心率
e?2
，由双曲线的定义知
(x?10)
2
?y
2
?2.

|x?4|
(x?2)
2
y
2
??1.
整理得
1648
正解2 依题意，设双曲线的中心为
(m,0)

?a
2
?
?m?4
?
a?4
c
?
??
则
?
c?m?10
解得
?
c?8

?
m?2.
?
c
?
?
?2.
?
?
a
所以
b
2
?c
2
?a
2
?64?16?48,

(x?2)
2
y
2
??1.
故所求双曲线方程为
1648
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道： < br>如果
A
成立，那么
B
成立，即
A?B
，则称
A
是
B
的充分条件。

16

如果
B
成立，那么
A
成立，即
B?A
，则称
A
是B
的必要条件。
如果
A?B
，则称
A
是
B
的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点
的轨迹等等。但 充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式
x?1?x?3.

错误解法 要使原不等式成立，只需
?
x?1?0
?
,
解得
3?x?5.
< br>?
x?3?0
?
x?1?(x?3)
2
?
?
A?0
?
A?0
?
错误分析 不等式
A?B
成立的充分必要条件是：
?
B?0
或
?

?
B?0
?
A?B
2
?
?< br>x?1?0
?
x?1?0
?
原不等式的解法只考虑了一种情况
?
x?3?0
，而忽视了另一种情况
?
，
x?3?0
??
x?1?(x?3)
2
?
所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件， 而不是充分必要条件，其错误解法的实
质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
?
x?1?0
?
x?1?0
?
或
?
?
x?3?0
x?3?0
?
x?1?(x?3)
2
?< br>?
?3?x?5
，或
1?x?3.

y
?
原不等式的解集为
{x|1?x?5}

例6（轨迹问题）求与
y
轴相切于右侧，并与
⊙
C:x
2
?y
2
?6x?0
也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示，
已知⊙C的方程为
(x?3)
2
?y
2
?9.

M
?P
N
?
C(3,0)
O
x
图
3
－
2
－
1
设点
P(x,y)(x ?0)
为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与
y
轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得

17

|CP|?| PM|?3
，即
(x?3)
2
?y
2
?x?3.

化简得
y
2
?12x(x?0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），
而没有考虑所求轨迹的完备性（即 满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合
题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与 已知圆内切，可以发现以
x
轴
正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等 于3）的圆也符合条件，所
以
y?0(x?0且x?3)
也是所求的方程。即动圆圆心 的轨迹方程是
y
2
?12x(x?0)和

y?0(x?0且x?3 )
。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，
这样，才能保证所求轨迹的 纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解 答不完全，不能给出问题的全
部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3
?S
6
?2S
9
，求数列的公比
q
.
错误解法
?S
3
?S
6
?2S
9
,

a< br>1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)

???2?
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3
?1）＝0.
由q?0得方程2q
6
?q
3
?1?0.?(2q
3
? 1)(q
3
?1)?0,
?
4
q??或q?1
2
3

a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
错误分析 在错解中，由 ??2?
1?q1?q1?q
应有
a
1
?0和q?1.
在等比数列中，
a
1
?0
是显然的，
整理得q
3
( 2q
6
?q
3
?1）＝0.
时，
但公比
q
完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比
q?1
的情况，再在
q?1
的情 况
下，对式子进行整理变形。
正确解法 若
q?1
，则有
S3
?3a
1
,S
6
?6a
1
,S
9< br>?9a
1
.


18

但
a
1
?0
，即得
S
3
?S
6
?2S
9
,
与题设矛盾，故
q?1
.
又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
,

a1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
可得
??2?
1?q 1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3
?1）＝ 0.
即
(2q
3
?1)(q
3
?1)?0,
因为
q?1
，所以
q
3
?1?0,
所以
2q< br>3
?1?0.

3
所以
q??
4
.

2
说明 此题为1996年全国高考文史类 数学试题第（21）题，不少考生的解法同错
误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直 观联系
为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具 有公共
y
轴的两个直角坐标平面
?
和
?
所成的二面角
求曲线
C
?
在
?
内
?
?y轴－
?
等于
60?
.已知
?
内的曲线
C
?
的方程是y
2
?2px
?
(p?0)
，
的射影的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线
C
?
是抛物线，
p
在?
内的焦点坐标是
F
?
(,0),p?0.

2
因为二面角
?
?y轴－
?
等于
60?
，
且
x
?
轴?y轴，x轴?y轴，
所以
?xox
?< br>?60?.

图
3
x
?
y
O
F< br>?
设焦点
F
?
在
?
内的射影是
F(x,y)
，那么，
F
位于
x
轴上，
从而
y?0,?F?
OF?60?,?F
?
FO?90?,

p1pp
? ?.
所以点
F(,0)
是所求射影的焦点。依题意，射影
2244
是 一条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以
OF?OF
?
?cos60??
所以曲线
C
?
在
?
内的射影的曲线方程是
y
2
?px.


19

错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为
F是射影(曲线）的焦点，

其次，未经证 明
默认C
?
在
?
内的射影（曲线）是一条抛物线
。
正确解法 在
?
内，设点
M(x
?
,y
?
)
是曲线上任意一点
（如图3－2－3）过点
M
作
MN?
?
，垂足为
N
，
过
N
作
NH?y
轴， 垂足为
H.
连接
MH
，
则
MH?y
轴。所以
?MHN
是二面角
y
F
?
M
N
x
?
O
H
?
?y轴－
?
的平面角，依题意，
?MHN?60?
. < br>在
Rt?MNH中,HN?HM?cos60??
又知
HMx
?
轴（或
M
与
O
重合），
HNx
轴（或
H
与
O
重合），设
N(x,y)
，
1
x
?
.

2
图
3
1
?
x?x
?
?
则
?
2
?
?
y?y
?
?
x
?
?2x

?
?
?
?
y?y.
因为点
M( x
?
,y
?
)
在曲线
y
2
?2px
?
(p?0)
上，所以
y
2
?2p(2x).

即所求射影的方程为
y
2
?4px(p?0).

(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解 的核
心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题
方法， 达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用
的命题之间的相互关系（充 分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x
在轴上，离心率
e?
这个椭圆上的最远距离是
7
，求这个椭圆 的方程。
x
2
y
2
错误解法 依题意可设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab

20
3
3
，已知点
P(0,)
到
2
2

c
2
a
2
?b
2b
2
3
?1?
2
?
， 则
e?
2
?
4
aa
2
a
2
b
2
1所以
2
?
，即
a?2b.

4
a
设椭圆上的点
(x,y)
到点
P
的距离为
d
，
3
则
d
2
?x
2
?(y?)
2

2
y
2
9
?a(1?
2
)?y
2
?3y?
4< br>
b

1
??3(y?)
2
?4b
2
?3.
2
2
所以当
y??
1
时，
d
2
有最大值，从而
d
也有最大值。
2
所以 < br>4b
2
?3?(7)
2
，由此解得：
b
2
? 1,a
2
?4.

x
2
?y
2
?1.
于是所求椭圆的方程为
4
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误 的。结果正
1
确只是碰巧而已。由当
y??
时，
d
2
有最大值，这步推理是错误的，没有考虑
y
到
2
的取值范围。事实上，由于 点
(x,y)
在椭圆上，所以有
?b?y?b
，因此在求
d
2
的最
大值时，应分类讨论。即：
1
若
b?
，则当
y??b
时，
d
2
（从而
d
）有最大值。
2< br>3311
于是
(7)
2
?(b?)
2
,
从而 解得
b?7??,与b?矛盾。

2222
11
所以必有
b ?
，此时当
y??
时，
d
2
（从而
d
）有 最大值，
22
所以
4b
2
?3?(7)
2
，解得
b
2
?1,a
2
?4.

x
2
?y
2
?1.
于是所求椭圆的方程为
4

21

例10 求
y?
错解1
y?
28
?
的最小值
22
sinxcosx
28288

??2???
2222
sinxcosxsinxcosx
|sinxcosx|
16
?16,.? y
min
?16.

|sin2x|

?
28
22
?sinx)?(?cosx)?1?22?28?1??1?62.

22
sinxcosx
28
且|sin2x|?1.
错误分析 在解法1中，
y?16
的充要条件是
2
?
sinxcos
2
x
1
即
|tgx|?且|sinx|?1.
这是自相矛盾的。
?y
min
?16.

2
错解2
y?(
在解法2中，
y??1?62
的充要条件是
28
2
?sinx且?cos
2
x，即sin
2
x?2，cos
2
x?22,
这是不可能的。
22
sinxcosx
正确解法1
y?2csc
2
x?8sec
2
x

?2(1?ctg
2
x)?8(1?tg
2
x)

?10?2(ctg
2
x?4tg
2
x)
?10?2?2c tgx?4tgx
?18.
22

其中，当
ctg
2
x?4tg
2
x，即ctg
2
x?2时，y?18.
?y
min
?18.

正 确 解 法2 取正常数
k
，易得
28
y?(
2
?ksin
2
x)?(?kcos
2
x)?k

2
sinxcosx
?2?2k?2?8k?k?6?2k?k.

其中“
?
”取“＝”的充要条件是
281
222
?ksinx且?kcosx，即tgx?且k?18.
22
2
sinxcosx
1
因此，当
tg
2
x ?时，y?6?2k?k?18,
?y
min
?18.

2

第四讲 数学思维的开拓性

22

一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；
对一个题目能想出多 种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们 在学习
每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融
会贯 通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解
决同一道数学题，既可以 开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和
积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力 的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于 发现解题规律，从
中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在：
(1) 一题的多种解法
例如 已知复数
z
满足
|z|?1
，求
|z?i|
的最大值。
我们可以考虑用下面几种方法来解决：
①运用复数的代数形式；
②运用复数的三角形式；
③运用复数的几何意义；
④运用复数模的性质（三角不等 式）
||z
1
|?|z
2
||?|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
；
⑤运用复数的模与共轭复数的关系
|z|
2
?z?z
；
⑥ （数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆
|z|?1
与
|z?i|?r
有
公共点时，
r
的最大值。
(2) 一题的多种解释
1
例如，函数式
y?ax
2
可以有以下几种解释：
2
1
①可以看成自由落体公式
s?gt
2
.

2
1
②可以看成动能公式
E?mv
2
.

2
1
③可以看成热量公式
Q?RI
2
.

2
又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”
x
可以变换为：
log
a
a,,sin
2
x?cos
2x,(log
a
b)?(log
b
a),sec
2
x? tg
2
x
，等等。
x
1． 思维训练实例
例1 已知
a
2
?b
2
?1,x
2
?y
2
? 1.
求证：
ax?by?1.


23

分析1 用比较法。本题只要证
1?(ax?by)?0.
为了同时 利用两个已知条件，只
需要观察到两式相加等于2便不难解决。
1
证法1
?1?(ax?by)?(1?1)?(ax?by)

2
1
?(a
2
?b
2
?x
2
?y
2
)?(ax?by )

2
1
?[(a
2
?2ax?x
2
)? (b
2
?2by?y
2
)]
2

1
?[( a?x)
2
?(b?y)
2
]?0,
2
所以
ax?by?1.

分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条 件、定理和性质
等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。
．．．．
证法2 要证
ax?by?1.

只需证
1?(ax?by)?0,

即
2?2(ax?by)?0,

因为
a?b?1,x?y?1.

所以只需证
(a?b?x?y)?2(ax?by)?0,

即
(a?x)
2
?(b?y)
2
?0.

因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用 不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是
平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的 不等式成立的方法）
a
2
?x
2
b
2
?y
2
a
2
?x
2
b
2
?y
2
,b y?.?ax?by???1.
证法3
?ax?
2222
图
4
－
2
－
1
2222
2222
l

y
M?
d
O
x
即
ax?by?1.

分析4 三角换元法：由于已 知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数
同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能 ，从而可以把原不等式中的代
数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

24

证法4
?a
2
?b
2
? 1,x
2
?y
2
?1,
?
可设
?
a?s in
?
,b?cos
?
.x?sin
?
,y?cos
?

?
ax?by?sin
?
sin
?
?co s
?
cos
?
?cos(
?
?
?
)?1,

分析5 数形结合法：由于条件
x
2
?y
2
? 1
可看作是以原点为圆心，半径为1的单
位圆，而
ax?by?
ax?by< br>a?b
22
.
联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线
l:ax?by?0
经过
圆
x
2?y
2
?1
的圆心O，所以圆上任意一点
M(x,y)

到直线
ax?by?0
的距离都小于或等于圆半径1，
即 d?
|ax?by|
a?b
22
?|ax?by|?1?ax?by?1 .

简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了
证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在
具体应用过程中，根 据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果
(z?x)
2
?4(x? y)(y?z)?0,
求证：
x、y、z
成等差数列。
分析1 要证x、y、z
，必须有
x?y?y?z
成立才行。此条件应从已知条件中得
出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1
?
(z?x)
2
?4(x?y)(y?z)?0,

?z< br>2
?2xz?x
2
?4xy?4xz?4y
2
?4yz?0,
(x?z)
2
?2?2y(x?z)?(2y)
2
?0,
?
(x?z?2y)?0,
x?z?2y?0,
2

故
x?y?y?z
，即
x、y、z
成等差数列。
分析2 由于已知条件具有
x?y,y?z,z?x
轮换对称特点，此特点的充分利用就
是以换 元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。

25

证法2 设
x?y?a,y?z?b,
则
x?z?a?b.

于是，已知条件可化为：
(a?b)
2
?4ab?0?(a?b)
2
?0?a?b?x?y?y?z.

所以
x、y、z
成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式
??b
2
?4ac
的结构特 点引人注目，提供了
构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当< br>x?y?0
时，由已知条件知
z?x?0,?x?y?z,
即
x、y、 z
成等差数列。
当
x?y?0
时，关于
t
的一元二次方程 ：
(x?y)t
2
?(z?x)t?(y?z)?0,

其判别式< br>??
(z?x)
2
?4(x?y)(y?z)?0,
故方程有等根，显 然
t
＝1为方程的一个根，
从而方程的两根均为1，
由韦达定理知
t
1
?t
2
?
y?z
?1?x?y?y?z.即
x、y、z
成等差数列。
x?y
简评：证法1是常用方法，略嫌 呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的
解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助 方程的方法，技巧性强，给
人以新鲜的感受和启发。
例3 已知
x?y?1
，求
x
2
?y
2
的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母
x、y
，但已知条件恰有
x、 y
的关系
式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1
?x?y?1,?y?1?x.

设
z?x
2< br>?y
2
，则
z?x
2
?(1?x)
2
?2x
2
?2x?1.

二次项系数为
2?0,
故
z
有最小值。
?
2
?21
4?2?1－（－2）1
?
时，
z
最小值＝＝.
当
x??
?

2?22
4?22
1
?

x
2
?y
2
的最小值为
.

2

26

分析2 已知的一次式
x?y?1
两边平方后与所求 的二次式
x
2
?y
2
有密切关联，
于是所求的最小值可由等 式转换成不等式而求得。
解法2
?x?y?1,?(x?y)
2
?1,
即
x
2
?y
2
?1?2xy.

?

2
xy?x
2
?y
2
,
?x
2
?y
2
?
1
?
(
x
2
?y
2
).

111
,
当且仅当
x?y?
时取等号。
?

x
2
?y
2
的最小值为
.

222
分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
即
x
2
?y
2
?
解法3 设
z?x
2
?y
2
.

1111
?x?y ?1,?z?x
2
?y
2
?x?y?1?(x?)
2
?(y ?)
2
??.

2222
111
?
当
x?y?
时，
z
最小
＝.
即
x
2
?y2
的最小值为
.

222
分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到
用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，
x?y?1
表示直线
l,
x
2
?y
2

表示原点到直线
l
上的点
P(x,y)
的距离的平方。
显然其中以原点到直线
l
的距离最短。
此时，
d?
2
y
l

1
P(x,y)

O
1
x
|0?0?1|
2< br>2
?
2
2
,
即
(x
2
?y
2
)
最小
＝.

2
2
1
所以
x?y
的最小值为
.

2
图
4
－
2
－
2
注 如果设
x
2
?y
2
?z,
则问题还可转化为直线
x?y?1
与圆
x
2
?y
2
?z
有交点
时，半径
z
的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧 地抓住
题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，
形象 直观，值得效仿。
z
?R.
求证：
|z|?1.
例4 设
z?R,
1?z
2
z
分析1 由已知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，
1?z
2

27

在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理 可以探求证
题途径。
z
?a(a?R),
当
a?0
时，可 得
z?0
与
z?R
条件不合。 证法1 设
1?z
2
?a?0.
于是有
az
2
?z?a?0.

?z?R,?
该方程有一对共轭虚 根，设为
z
1
,z
2
，于是
z
1
?z2
,?|z
1
|
2
?|z
2
|
2.

又由韦达定理知
z
1
?z
2
?
a
?1,?z
1
?z
1
?z
2
?z
2?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?1.? |z|?1.

a
分析2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以 建立复数方程，
注意到
zz?|z|
2
这一重要性质，即可求出
|z |
的值。
z
?a(a?R),
当
a?0
时，可得
z?0
与
z?R
条件不合，
?a?0.

2
1?z
zzz
?a?a,??.
则有
a?
，
222
1?z1?z1?z
证法2 设
即 z(1?z
2
)?z(1?z
2
)?z?z(z?z)?z?z(z?z ).

但
z?z?|z|
2
,?z?z?|z|
2?z?z?|z|
2
,?(z?z)(1?|z|
2
)?0.

而
z?z?R,?|z|
2
?1.
即
|z|?1.

分析3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运
算的形式。再 运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。
11
z1?z
2
z??z??z?R.

?R,??R,
证法3 即
zz?z
z
1?z
2
从而必有
z?z?1.?|z|?1.

简评 设出复数的代数形式或三角形式，代 入已知条件化简求证，一般也能够证
明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁 。现在的三种证
法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。
例5 由圆
x
2
?y
2
?9
外一点
P(5,12)
引圆的割线交圆于A、B
两点，求弦
AB
的中
点
M
的轨迹方程。
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为
代数等式，从 而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和
弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法 。

28

解法1 如图4－2－3，设弦
AB
的中点
M
的坐标为
M(x,y)
，连接
OP、OM
，
则
OM?AB
，在
?OMP
中，由两点间的距离公式和勾股定理有
x
2
?y
2
?(x?5)
2
?(y?12)
2
?169.

整理，得
x
2
?y
2
?5x?12y?0.
其中
?3?x?3.

分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的
曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。
解法2 因为
M
是
AB
的中点，所以
OM?AB
，
5所以点
M
的轨迹是以
|OP|
为直径的圆，圆心为
(,6),
2
|OP|13
?,?
该圆的方程为： 半径为
22
513
(x?)
2
?(y?6)
2
?()
2

22
化简，得
x?y?5x?12y?0.
其中
?3?x?3.

分析3 （交 轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点
M
可看作
直线
OM< br>与割线
PM
的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。
解法3 设过
P
点的割线的斜率为
k,
则过
P
点的割线方程为：
y?12?k(x?5)
.
1
?

OM?AB
且过原点，
?OM
的方程为
y??x
.
这两条直线的交点就是
M
点
k
22
y
P
A
O
B
M
x
图
4
的轨迹。两方程相乘消去< br>k,
化简，得：
x
2
?y
2
?5x?12y?0.< br>其中
?3?x?3.

分析4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（ 参数）的函数，再设法消
去参数。由于动点
M
随直线的斜率变化而发生变化，所以动点
M
的坐标是直线斜率
的函数，从而可得如下解法。
解法4 设过
P
点的割线方程为：
y?12?k(x?5)

它与圆
x
2
?y
2
?9
的两个交点为
A、B
，
A B
的中点为
M
.
?
y?k(x?5)?12
解方程组
?
2

2
?
x?y?9,
利用韦达定理和中点坐标 公式，可求得
M
点的轨迹方程为：
x
2
?y
2
? 5x?12y?0.
其中
?3?x?3.

分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方

29

程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点
M
的坐标
( x,y)
与
A、B
构成4点共线的两交点
A(x
1
,y1
)、B(x
2
,y
2
)
通过中点公式联系起来，又点
P、M、
和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。
解法5 设
M(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
?x
2
?2x,y
1
?y
2
?2y.

22
?x
1
2
?y< br>1
2
?9,x
2
?y
2
?9.

两式相减，整理，得
(x
2
?x
1
)(x
2< br>?x
1
)?(y
2
?y
1
)(y
1
?y
2
)?0.

所以
y
2
?y
1< br>x?x
2
x
??
1
??,

x
2< br>?x
1
y
1
?y
2
y
12?y
12 ?yx
,
???,

5?x
5?xy
即为
AB的斜率，而
AB
对斜率又可表示为
化简并整理，得
x
2?y
2
?5x?12y?0.
其中
?3?x?3.

简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线
是圆的条件 ，而解法4、5适用于一般的过定点
P
且与二次曲线
C
交于
A、B< br>两点，求
AB
中点
M
的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法 5通常利用
k
PM
?k
AB
可
较简捷地求出轨迹方程，比解 法4计算量要小，要简捷得多。

二、《解密数学思维的内核》

数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至 解决
问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了 四个阶段*（见附录），即弄清问题、
拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用 下列八个字加以概
括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是 探索解题方向和途径的积极的尝试发
现过程，是思维策略的选择和调整过程。

30

第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和 基本技能的
灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反 思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是
一个思维活动过程的结束包含另一 个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路 更加活泼，进一步提高探索的成
效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出 发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几
道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题 的解题思路，最终达到解决原题
的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单 化、直观化、特殊化、一
般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化 策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设
法把它化为曾经解过的或比较熟悉的 题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模
式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的 熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构
上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论 （或问题）两个方面。因此，要把陌
生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它 们的联系方式上
多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联 想和回忆与原有问题相同
或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决< br>现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同 的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知
识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把 握题意，找到自己熟悉的解题
方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材 的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）
之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当 构造辅助元素，有助于改变题目的形式，
沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为 熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、
体） ，构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列
式，构造等价性命题，构 造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略

31

所 谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设
法把转化为一道或几道比较 简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解
题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容
易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不
同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考
察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若 干比较简单的基本题，
经过适当组合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手， 寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成
一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重 要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问 题）包含多种不易
识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简< br>单题，有助于实现复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽 象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已
知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题 。这样简单化了的问题，对于解答
原题，常常能起到穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，
这时，不妨猜想 一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出
原题。
三、直观化策略
：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的 题目时，要设
法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对
象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关 系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的
抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。 < br>对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形
象化，复杂关系条 理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些 涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，
不妨借助图形直观，给题中 有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、
合理的解题途径。

32

（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活 运用图象的直观性，常
常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所 谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从
一般退到特殊，先考察包含 在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问
题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方 向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在 联系不甚明显的特殊
问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方
法、技巧或结果，顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面 临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或
计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有 机整体，从整体入手，对整
体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问 题的途
径和办法。
七、间接化策略

所谓间接化策略，就是当我们面临的是 一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合
甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（ 或问题）的反面进行
思考，以便化难为易解出原题。

数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决
问题，进行回顾的全过程 的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题 的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，
在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件 、结论与知识和经验之间
的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径 。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已
知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后 作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知 条件所
选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题
的各种方法，研究特殊情况 与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整

33

理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极
的尝试发现过程，是思维策 略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题 往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要
方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的 思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1）研究问题的条件时，在需 要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思
考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体 的了解。
（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已
知的，哪些是所求的，即未知的。
（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从 中找出习题的重
要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题
目 中（或图中）各元素的位臵，看看能否有重要发现。
（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题
目。 （5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？
是否还缺少条 件？
（6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有
联系。 < br>（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示
题的元素，以 利于解题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在< br>制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1）设法将题目与你会解的某一类题联 系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合
已知条件的解题方法。
（2）记住：题的目标是寻 求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你
熟悉的方法去解题。
（3）解了几步 后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查
解题途径是否合理，以便及时进行修 正或调整。
（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编
拟条件简化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般
的题目），并将与题有关 的概念用它的定义加以替代。
（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8）改变题的 一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些
部分所出现的结果，尝试能否对题的 目标作出一个“展望”。

34

（9）万一用尽方法还是解不出来 ，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，
研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。
********************************************** ***************
附录：
波利亚 给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句
与建议，来表示思维过程的 正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，
连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的 过程，即最终归结为熟悉的基本问题
加以解决。

怎样解题
G . 波 利 亚
第一：你必须弄清问题
弄清问题：
未知数是什么？已知数据是什么 ？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，
条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？ 或者是矛盾的？把条件的各部
分分开。你能否把它们写下来？
第二：找出已知数与未知数之间 的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不
考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。
拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗 ？你能利用它的方法吗？为了利用它，
你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如 果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出
一个更容易着手的有关问题？ 一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的
问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件 的一部分而舍去其余部分，这样
对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出 某些有用
的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未
知 数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是 否利用了整个条件？你是否考虑了包含在
问题中的所有必要的概念？
第三：实现你的计划

35

实现计划：
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四：验证所得的解
回顾：
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出
来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？

数学解题方法
一、换元法
“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助
于数量 关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。
在解题过程中，把题中某一式子如 f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如
x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f( x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到
结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代 换法。
用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代
换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，
根式 代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，
宜在解题实践中不断总结 经验，掌握有关的技巧。
例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原 则：（1）
全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，
使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全
面考虑以上原则， 才能谋取恰当的三角代换。
换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化 简计算，恒等
式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，
函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与
参数方程、极坐标 方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。
二、消元法

对于含有多个变数 的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等
式或三角恒等式），通过适当的变形，消去 一部分变数，使问题得以解决，这种解题
方法，通常称为消元法，又称消去法。
消元 法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问
题中，也有着重要的应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的
消元方法。

36

三、待定系数法

按照一定规律，先写出问题 的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），
其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问 题的解。这种解题方法，通常称
为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
（一）比较系数法
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数
的若干关系式（通常是多 元方程组），由此求得待定系数的值。
比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多 项式恒等的充分必要条件
是对应项系数相等，即a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+ …+a
n
≡b
0
x
n< br>+b
1
x
n-1
+… +b
n
的充分必要条件是 a
0
=b
0
,
a
1
=b
1
,…… a
n
=b
n
。
（二）特殊值法
特殊 值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等
得到关于待定系数的若干关系 式，由此求得待定系数的值。
特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等， 是指用字母容许
值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。
待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如
分解因式、证明恒等式、 解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥
曲线的方程等。
四、判别式法

实系数一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0) ①
的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根
△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；
＜0，当且仅当方程②没有实数根。
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c (a≠0)②它的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；
△ ＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；
＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。
利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求 某些实变数之间的关系，研究方
程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方 面，都有着
广泛的应用。
在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。
从总体上说，解答数学题，即需要富 有普适性的策略作宏观指导，也需要各种
具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐 地结合起来，创造性
地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。

37

五、 分析法与综合法

分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程
中具有十分重要的作用。
在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而
综合被看成是从 原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分
析法，后者称为综合法。
具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，
最后达到题设的已知条件 ；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，
最后达到待证的结论或需求问题。
六、 数学模型法

数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应 的数学模型，通过
对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。
利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：
（1） 建模。根据实 际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本
手段，是数学抽象方法。建模的具体过程 ，大体包括以下几个步骤：
1
o
考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关 系，弄清哪些是常量，哪些是
变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性， 确定问题
所及的具体系统。
o
2分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体 要求出发，根据有关学科理论，
抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。
3
o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符
号和表达式去刻画 事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情
况，建立新的数学概念和数学方法去表 现数学模型。
（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的
数学结果。
（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来
的实际问 题中去，形成最终的解答。
七、试验法

解答数学题，需要多方面的信息 。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信
息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。
用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，
恰当选择试验的对象和范 围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，
不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试 验技巧，充分利用各次试验所提供的信
息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。
任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试
验法， 必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。

38

八、分类法

分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有
十分重要的意义。
不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所
确定的 集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，
直到获得完满的结果。这 种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，
通常称为分类或分域法。
用分类法解题，大体包含以下几个步骤：
第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；
第二步：寻求恰当的分类 根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解
的非空真子集A
1
，A
2
，?A
n
;
第三步：在子集A
1
，A
2
，?A
n
内逐类讨论；
第四步：综合子集内的解答，归纳结论。
以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根 据，是其中的一项关键性的工作。
从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则 ，具有分类讨
论位臵关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解
题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特
别要善于发掘题中 隐含的分类条件。
九、数形结合法

数形结合，是研究数学的一个 基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联
系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助 于增强人们的数学素养，提
高分析问题和解决问题的能力。
数和形这两个基本概念 ，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起
来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一 起，在内容上互相联系，在方法上
互相渗透，在一定条件下可以互相转化。
数形结 合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，
斟酌问题的具体情形，把图形性质 的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的
问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象 问题具体化，化难为易，获得
简便易行的成功方案。
中学数学中，数形结合法包含 两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通
过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几 何知识，通过对图形性质的
研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、 三角法、
复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。
十、反证法与同一法

反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。
（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和
适用范围。

39

反证法的解题步骤：
第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。
第二步：归谬。由反设和已 知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾
结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与 已知公理、定义、定理、公式矛
盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。
反证法的三个步 骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确
地作出反设，合乎逻辑地进行推导， 才能间接地证出原题。
十一、同一法

互逆的两个命题未必等效。但是，当 一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指
的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理 通常称为同一原理。
对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆 命题，
只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。
同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几
个步骤：
第一步：作出符合命题结论的图形。
第二步：证明所作图形符合已知条件。
第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。
第四步：断定原命题的真实性。

三、《高考数学解题专项训练》
（选择题）
（一）数学选择题的解题思路

要想确保在有限的时间内，对10多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思
路是十分必要的。一 般说来， 数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下：
1、仔细审题，吃透题意
审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料—
—已知条件，弄清题目要求 。
审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。
凡在题中出现 的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也
是我们在解选择题时首先需要回忆的对 象。
审题的第二个关键在于：发现题材中的“机关”——— 题目中的一些隐含条
件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”。
除此而外， 审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使
我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我 们事半功倍。
2、反复析题，去伪存真

40

析题 就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，
从而为正确解题寻得路径。因此， 析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思
路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点，有时“真作 假时假亦真”，对于
一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比较，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。
3、抓往关键，全面分析
在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关
键处入手，找突破口，联系知 识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化
难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。
4、反复检查，认真核对
在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失 根”、“增
根”等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步
骤之 一。
（二）数学选择题的解题方法

当然，仅仅有思路还是不够的，“解题 思路”在某种程度上来说，属于理论
上的“定性”，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法 。
有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，
现选择部分实 用性较强的方法，供参考：
1、 直接法
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题 改编而成的。这类题
型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，
通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支
的方法。
2、 筛选法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，
找到符合题意 的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，
以缩小选择的范围，再从其余的结论中求 得正确的答案。如筛去不合题意的以
后，结论只有一个，则为应选项。
3、 特殊值法 有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信
息，选择某些特殊情况进行分 析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数
换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判 断往往十分简单。
4、 验证法
通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入 题干中，进行验
证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的
方 法。
5、 图象法
在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作< br>法、形状、位臵、性质，综合图象的特征，得出结论。

41

6、 试探法
对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以 根据题意建
立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述
多种方 法。
（三）数学经典选择题点评
1、同时满足①
M
?
{1, 2, 3, 4, 5}; ② 若
a
∈
M
，则(6-
a
)∈
M
, 的非空集合
M
有
（
C
）。
（
A
）16个 （
B
）15个 （
C
）7个 （
D
）8个
点评：着重理解“∈”的意义，对M中元素的情况进行讨论，一定要 强调如果“
a
在M中，那么(6-
a
)也在
M
中”这一特点 ，分别讨论“一个、两个、三个、四个、五
个元素”等几种情况，得出相应结论。
2、函数
y
=
f
(
x
)是
R
上 的增函数，则
a
+
b
>0是
f
(
a
)+
f
(
b
)>
f
(-
a
)+
f
(-
b
)的（
C
）
条件。
（
A
）充分不必要 （
B
）必要不充分 （
C
）充要 （
D
）不充分不必要
点评：由
a
+
b
>0可知，a> -b ，b >-a， 又 y = f ( x )在R上为增函数，故f ( a ) >
f ( b ) ，f ( b ) > f ( - a )，反过来，由增函数的概念也可推出，
a
+
b
>（-
a
）
+（-
b
）。
1
??
1
3、函数
g
(
x
)=
x
2
?
x
?
?
，若
a
≠0且
a
∈
R
, 则下列点一定 在函数
y
=
g
(
x
)的图象
?
2?12
?
上的是（
D
）。
（
A
）(-
a
, -
g
(-
a
)) （
B
）(
a
,
g
(-
a
)) （
C
）(
a
, -
g
(
a
)) （
D
）(-
a
, -
g
(
a
))
点评：本题从函数的奇偶性入手，先看括号内函数的奇偶性为奇函数，得到该复合
函数为奇 函数，再根据
g
(-
x
)=-g(x)，取x=a 和x=-a加以验证。
4、数列{
a
n
}满足
a
1
=1,
a
2
=
2
112
，且 (
n
≥2)，则
a
n
等于（
A
）。
??
3
a
n?1
a
n?1
a
n
（
A
）
2
n
-1
22
2
n
（
B
）() （
C
）() （
D
）
3
n?1n?2
3
点评：先代入求得
a
3
的值，再对照给出的选择支，用验证法即可得出结论。
5、由1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{
a
n
}，
其中
a
18
等于（
B
）。
（
A
）1243 （
B
）3421 （
C
）4123 （
D
）3412
点评：先写出以1开头、2开头、3开头的各6个数，再按由小到大顺序排列。
?
44a4a
n?1
?
?
6、若
lim
?
??
??
?
?
=9，则实数
a
等于（
B
）。
n??
?
1?a1?a1?a
??

42

55
11
（
A
） （
B
） （
C
）- （
D
）-
3333
点评：通过观察可知a<1（如a>1，则数值为负），且求和的各项成等比，因此
可 以运用无穷递缩等比数列求和公式（其中q=a，a
1
=4）。
7、已知圆锥内 有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知
圆锥的体积分成小、大两部分的比是（
D
）。
（
A
）1:1 （
B
）1:2 （
C
）1:8 （
D
）1:7
点评：通过平面展开图，达到“ 降维”之目的，促使立体图形平面化，再在相
似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比为1：2，由 此可见，小的与全体体积之
比为1：8，从而得出小、大两部分之比（特别提醒：小、大之比并非高之比 的立方）。
8、下列命题中，正确的是（
D
）。
（
A
）
y
=
arc
cos
x
是偶函数 （
B
）
arc
sin(sin
x
)=
x
,
x
∈
R

???
（
C
）sin(
arc
sin)= （
D
）若-1<
x
<0, 则-<
arc
sin
x
<0
332
点评：反三角函 数的概念、公式的理解与运用。注意：
arc
cos（-
x
）=Π
??
x (当 - 22
-
arc
cos
x
，
arc
sin(sin
x
)=
??
x’ 且sin
x
=sin
x
’ ( 当- 22
1?2x
-1
9、函数
y
=
f
(
x
)的反函数
f
(
x
)= (
x
∈< br>R
且
x
≠-3)，则
y
=
f
(
x
)的图象（
B
）。
3?x
（
A
）关于点(2, 3)对称 （
B
）关于点(-2, -3)对称
（
C
）关于直线
y
=3对称 （
D
）关于直线
x
=-2对称
点评：主要考核反函数的概念与对称性的知识。
10、两条曲线|
y
|=
?x
与
x
= -
?y
的交点坐标是（
B
）。
（
A
）(-1, -1) （
B
）(0, 0)和(-1, -1)
（
C
）(-1, 1)和(0, 0) （
D
）(1, -1)和(0, 0)
点评：从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。
11、已知
a
,
b
∈
R
,
m
=
6
a
36
a?1
?1
,
n
=
5
1
-
b
+
b
2
，则下列结论 正确的是（
D
）。
3
6
（
A
）
m
<
n
（
B
）
m
≥
n
（
C
）
m
>
n
（
D
）
m
≤
n

11
1
点评：由题意可知
m
≤、 n=(b-1)
2
+。
3
22
12、正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
EF
是异面直线
AC
、
A
1
D
的公垂线，则
EF
和
BD
1
的关 系是
（
B
）。
（
A
）垂直 （
B
）平行 （
C
） 异面 （
D
）相交但不垂直

43

点评：理解公垂线的概念，通过平行作图可知。
13、直线4
x
+6
y
-9=0夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是< br>l
，则
l
的方程是（
B
）。
（
A
）24
x
-16
y
+15=0 （
B
）24
x
-16
y
-15=0 （
C
）24
x
+16
y
+15=0 （
D
）24
x
+16
y
-15=0
点评：通过两线垂直与斜率的关系，以及中点坐标公式。
14、函数
f
(
x
)=log
a
(
ax
2
-
x
)在
x
∈[2, 4]上是增函数，则
a
的取值范围是（
A
）。
（
A
）
a
>1 （
B
）
a
>0且
a
≠1 （
C
）0<
a
<1 （
D
）
a
∈
?
?

点评：分类讨论，考虑对称轴与单调区间的位臵关系，运用特殊值进行验证。
??
15、函数
y
=cos
2
(
x
-)+sin
2
(x
+)-1是（
C
）。
1212
（
A
）周期为2π的奇函数 （
B
）周期为π的偶函数
（
C
）周期为π的奇函数 （
D
）周期为2π的偶函数
点评：用倍角公式降次，判断周期性，根据和差化积的结果来求奇偶性。
11
16、若
a
,
b
∈
R
，那么
?
成立的一个充分非必要条件是（
C
）。
ab
（
A
）
a
>
b
（
B
）
ab
(
a
-
b
)<0 （
C
）
a
<
b
<0 （
D
）
a
<
b

点评：理解条件语句，用不等式的性质解题。
17、函数
y
=cos
4x
-sin
4
x
图象的一条对称轴方程是（
A
）。
?
???
（
A
）
x
=- （
B
）
x
=- （
C
）
x
= （
D
）
x
=
244
8
点评：先降次，后找最值点。
18、已知
l
、
m
、
n为两两垂直且异面的三条直线，过
l
作平面α与
m
垂直，则直线
n
与平面α的关系是（
A
）。
（
A
）
n
α （
B
）
n
α或
n
?
α
（
C
）
n
?
α或
n
不平行于α （
D
）
n
?
α
点评：画草图，运用线面垂直的有关知识。
19、若z
1
, z
2
∈
C
，|z
1
|=|z
2
|=1且arg(z
1< br>)=150°, arg(z
2
)=300°，那么arg(z
1
+z
2
)为
（
B
）。
（
A
）450° （
B
）225° （
C
）150° （
D
）45°
点评：旋转与辐角主值的概念。
20、已知
a
、
b
、
c< br>成等比数列，
a
、
x
、
b
和
b
、< br>y
、
c
都成等差数列，且
xy
≠0，那么
的值为（
B
）。
（
A
）1 （
B
）2 （
C
）3 （
D
）4
点评：运用等比、差中项概念，通分求解。
21、如果在区间[1, 3]上，函数
f
(
x
)=
x
2
+
px< br>+
q
与
g
(
x
)=
x
+
小 值，那么下列说法不对的是（
C
）。
．．

44
a c
?
xy
1
在同一点取得相同的最
2
x

（
A
）
f
(
x
)≥3 (
x
∈[1, 2]) （
B
）
f
(
x
)≤4 (
x
∈[1, 2])
（
C
）
f
(
x
)在
x
∈[1, 2]上单调递增 （
D
）
f
(
x
)在
x
∈[1, 2]上是减函数
点评：通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出p 、q，再行分析。
22、在(2+
4
3
)
100
展开式中，有理数的项共有（
D
）。
（
A
）4项 （
B
）6项 （
C
）25项 （
D
）26项
点评：借助二项式展开的通项公式来分析。
23、在正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
为
AD
中点，
O
为侧面
AA
1
B
1
B
的中心，
P
为侧棱
CC
1
上任意一点，那么异面直线< br>OP
与
BM
所成的角是（
A
）。
（
A
）90° （
B
）60° （
C
）45° （
D
）30°
点评：运用平行和垂直的有关知识。
24、等比数列{
a
n
}的公比
q
<0，前
n
项和为
Sn
,
T
n
=
S
n
，则有（
A
）。
a
n
（
A
）
T
1
<
T
9
（
B
）
T
1
=
T
9
（
C
）
T
1
>
T
9
（
D
）大小不定
点评：
T
1
=1，用等比数列前n项和公式求
T
9

25、设集合
A
＝
?
?
，集合
B
＝{0}，则下 列关系中正确的是（ C ）
（
A
）
A
＝
B
（
B
）
A
?
B
（
C
）
A
?
B
（
D
）
A
?
B

点评：主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。
26、已知直线
l
过点
M
（－1，0），并且斜率为1，则直线
l
的方程是（ B ）
（A） x
＋
y
＋1＝0 （
B
）
x
－
y
＋1＝0
（
C
）
x
＋
y
－1＝0 （
D
）
x
―
y
―1＝0
点评：直线方程的点斜式。
?
27、已知α－β＝,tgα=3
m
, tgβ=3
－m
, 则
m
的值是（ D ）。
6
1
1
（
A
）2 （
B
）－ （
C
）－2 （
D
）
3
2
点评：通过tanαtanβ= 1，以及tan（α－β）的公式进行求解。
28、已知集合
A
＝{整数}，
B
＝{非负整数}，
f
是从集合
A
到集合
B
的映射，且
f
：
x
?

y＝
x
2
（
x
∈
A
，
y
∈B
），那么在
f
的作用下象是4的原象是（ D ）
（
A
）16 （
B
）±16 （
C
）2 （
D
）±2
点评：主要考核象和原象的概念。
33
29、有不等式① cos0.5
0.72
；③ 0.5
0.7
<2
1.5
；④
22
3
1
arctg22
（
A
）仅①② （
B
）仅②③ （
C
）仅③④ （
D
）①②③④
点评：主要考核三角函数、对数、指数函数、反三角函数的知识。

45

x
,那么（ A ）
x?1
（
A
）当
x
∈（－≦，1）或
x
∈（1，＋≦）时，函数单调递减
（
B
）当
x
∈（－≦，1）∪（1，＋≦）时，函数单调递增
（
C
）当
x
∈（－≦，－1）∪（－1，＋≦）时，函数单调递减
（
D
）当
x
∈（－≦，－1）∪（－1，＋≦）时，函数单调递增
点评：先对函数式进行变形，再运用有关大小比较的知识解题。
30、已知函数
y
＝
33
112
31、若－π≤2α≤π,那么三角函数式
＋cos?
化简为（ C ）
223
22
（
A
）sin
??
?
?
（
B
）－sin （
C
）cos （
D
）－cos
3333
点评：主要运用半角公式及三角函数单调性等知识。
32、如图，在直三棱 柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，底 面
ABC
是等腰直角三角形，斜边
AB
C
1
A
1< br>D
C
B
1
＝
2
a
，侧棱
AA
1
=2
a
,点
D
是
AA
1
的中点，那么 截面
DBC
与底
面
ABC
所成二面角的大小是（ B ）
（
A
）30° （
B
）45° （
C
）60° （
D
）非以上答案
B
点评：实际上是要求角DCA的大小。 A
33、加工某一机械零件，需要经过两个工序，完成第一个工序有
3种不同的方法，完成 第二个工序有4种不同的方法，那么加工这一零件不同的方法
种数有（ A ）
（
A
）12种 （
B
）7种 （
C
）4种 （
D
）3种
点评：运用乘法原理解题。
34、在(2－
x
)
8
的展开式中，第七项是（ A ）
（
A
）112
x
3
（
B
）－112
x
3
（
C
）16
x
3
x
（
D
）－16
x
3
x

点评：运用二项展开式的通项公式，注意：r =6。
35、在－8，－6，－4，－2，0，1，3 ，5，7，9这十个数中，任取两个作为虚数
a
＋
b
i
的实部和虚部 （
a
,
b
∈
R
,
a
≠
b
），则能组成模大于5的不同虚数的个数有（ A ）。
（
A
）64个 （
B
）65个 （
C
）72个 （
D
）73个
点评：虚部不能为0，模大于5，最好用“树图”来讨论。 < br>36、直线
x
－
ay
＋
2a
＝0（
a
>0且
a
≠1）与圆
x
2
＋
y
2
＝1的 位臵关系是（ A ）
（
A
）相交 （
B
）相切 （
C
）相离 （
D
）不能确定
点评：运用点到直线的距离公式，比较半径与距离的大小。
37、在正方体
AC1
中，过与顶点
A
相邻的三个顶点作平面α，过与顶点
C
1相邻的三个
顶点作平面β，那么平面α与平面β的位臵关系是（ B ）
（
A
）垂直 （
B
）平行 （
C
）斜交 （
D
）斜交或平行

46

点评：作图后，找线线关系，由线线平行得出线面平行，从而求得面面平行。
38、有下列三个对应： ①
A
＝
R
＋
，
B
＝
R
，对应法则 是“取平方根”；②
A
＝{矩形},
B
＝
R
＋
，对 应法则是“求矩形的面积”；③
A
＝{非负实数}，
B
＝（0，1），对应法 则是
“平方后与1的和的倒数”，其中从
A
到
B
的对应中是映射的是 （ A ）。
（
A
）② （
B
）②，③ （
C
）①，②，③ （
D
）①，②
点评：映射的概念。
39、设
A
＝{
x
|
x
2
＋
p x
＋
q
＝0},
B
＝{
x
|
x
2
＋(
p
－1)
x
＋2
q
＝0},若
A< br>∩
B
＝{1}，则（ A ）。
（A） A
?
B
（
B
）
A
?
B

（
C
）
A
∪
B
＝{1, 1, 2} （
D
）
A
∪
B
＝(1,－2)
点评：考察集合与集合的关系。
40、能够使得sin
x
>0和tg
x>0同时成立的角
x
的集合是（ D ）。
??
3
?
（
A
）{
x
|0<
x
<} （
B
）{
x
|0<
x
<或
?
<
x
<}
2
22
?
?
（
C
）{< br>x
|
k
?
<
x
<
k
?
＋,
k
∈
Z
} （
D
）{
x
|2k
?
<
x
<2
k
?
＋,
k
∈
Z
}
22
点评：通过不同象限，三角函数值的正负不同的特点，进行分析。
1
?
?
13
?
41. 已知函数
y
＝|＋cos(2
x
＋)|, (≤
x
≤), 下列关于此函数的最值及
224
624
相应的
x
的取值的结论中正确 的是（ B ）。
（
A
）
y
max
＝
13
?
?
1?21?2
，
x
＝ （
B
）
y
max
＝，
x
＝
24
24
22
15
?
5
?
（
C
）
y
min
＝，
x
＝ （
D
）
y
min
＝0，
x
＝
2126
点评：对余弦函数最值进行分析。
42、已知函数
f
（
x
）在定义域
R
内是减函数且
f
（
x
）< 0，则函数
g
(
x
)＝
x
2

f
（
x
）
的单调情况一定是（ C ）。
（
A
）在
R
上递减 （
B
）在
R
上递增
（
C
）在（0，＋≦）上递减 （
D
）在（0，＋≦）上递增
点评：先选定区间（0，＋≦）分析其增减性，再结合筛选法，对余下的部分，
取特殊值进行验证。 < br>43、α，β是两个不重合的平面，在α上取4个点，在β上取3个点，则由这些点最
多可以确定 平面（ C ）。
（
A
）35个 （
B
）30个 （
C
）32个 （
D
）40个
点评：运用排列组合以及平面的性质进行分析。
44、已知定点
P
1
（3， 5），
P
2
（－1，1），
Q
（4，0），点
P
分 有向线段
P
1
P
2
所成的
比为3，则直线
PQ的方程是（ A ）。

47

（A） x
＋2
y
－4＝0 （
B
）2
x
＋
y
－8＝0
（
C
）
x
－2
y
－4＝0 （
D
）2
x
－
y
－8＝0
点评：用定比分点坐标公式求P点坐标，再考察PQ的斜率。
45、函数
y
=
x
在[－1, 1]上是（
A
）。
（
A
）增函数且是奇函数 （
B
）增函数且是偶函数
（
C
）减函数且是奇函数 （
D
）减函数且是偶函数 点评：运用函数奇偶性的定义，以及奇函数在不同区间上增减性一致，偶函数在
不同区间上不一致的 特点，进行分析。
?
46、下列函数中，在[,π]上是增函数的是（
D
）。
2
（
A
）
y
=sin
x
（
B
）
y
=cos
x
（
C
）
y
=sin2
x
（
D
）
y
=cos2
x

点评：用图象法解题。
47、与函数
y
=sin(arcsin
x
)的图象相同的的是（
D
）。
（
A
）
y
=
x
（
B
）
y
=arcsin(sin
x
)
（
C
）
y
=arccos(cos
x
) （
D
）
y
=cos(arccos
x
)
点评：考虑函数的定义域与值域。
48、方程cos
x
=lg
x
的实根的个数是（
C
）。
（
A
）1个 （
B
）2个 （
C
）3个 （
D
）4个
点评：用图象法解题。
49、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负
数，则它的公差是 （
C
）。
（
A
）－2 （
B
）－3 （
C
）－4 （
D
）－5
点评：分析前6项为正，第7项起为负数。列出不等式解题。
50、已知复数
z
满足|2
z
－
i
|=2，则|
z
＋2
i< br>|的最小值是（
B
）。
3
1
（
A
） （
B
） （
C
）1 （
D
）2
22
点评：数形结合，通过图象解题。
51、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是（
D
）。
（
A
）[
33
, ＋≦] （
B
）(, ＋≦)
66
33
, ＋≦] （
D
）(, ＋≦)
333
5
（
C
）[
点评：画图形，侧棱应比底边三角形的外接圆的半 径大。
3
x
2
y
2
52、已知椭圆
2
?
2
?1
(
a
>
b
>0)的离心率等于，若将这个 椭圆绕着它的右焦点按
5
ab

48

逆时针方向旋转
（
C
）。
16
?后，所得的新椭圆的一条准线的方程
y
=，则原来的椭圆方程是
2
3x
2
y
2
x
2
y
2
x
2y
2
x
2
y
2
??1
（
B
）
??1
（
C
）
??1
（
D
）
??1
（
A
）
1294810064
2516169
点评：旋转的过程中，焦点到准线的距离没有变，先找焦点。
53、直线
x
－
y
－1=0与实轴在
y
轴上的双曲线
x
2
－
y< br>2
=
m
(
m
≠0)的交点在以原点为中心，
边长为 2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则
m
的取值范围是（
C
）。
（
A
）0<
m
<1 （
B
）
m
<0 （
C
）－1<
m
<0 （
D
）
m
<－1
点评：通过极限位臵，找出相关范围。
54、已知直线
l
1
与
l
2
的夹角的平分线为
y< br>=
x
，如果
l
1
的方程是
ax
＋
b y
＋
c
=0(
ab
>0)，
那么
l
2的方程是（
A
）。
（
A
）
bx
＋
ay
＋
c
=0 （
B
）
ax
－
by
＋
c
=0
（
C
）
bx
＋
ay
－
c
=0 （
D
）
bx
－
ay
＋
c
=0
点评：联系反函数的概念。
2
55、函数
F
(
x
)=(1 ＋
x
)
f
(
x
) (
x
≠0)是偶函数，且
f
(
x
)不恒等于零，则
f
(
x
)
2?1
（
A
）。
（
A
）是奇函数 （
B
）是偶函数
（
C
）可能是奇函数，也可能是偶函数 （
D
）非奇、非偶函数
2
点评：先讨论y=(1＋
x
)的奇偶性，再结合题目中的已知内容分析。
2?1e
x
?e
?x
56、函数
y
=的反函数（
C
）。
2
（
A
） 是奇函数，它在(0, ＋≦)上是减函数
（
B
）是偶函数，它在(0, ＋≦)上是减函数
（
C
）是奇函数，它在(0, ＋≦)上是增函数
（
D
）是偶函数，它在(0, ＋≦)上是增函数
点评：先对给出函数进行分析，再运用反函数的概念解题。
57、若
a
,
b
是任意实数，且
a
>
b
，则（
D
）。
b
11
（
A
）
a
2
>
b
2
（
B
）<1 （
C
）lg(
a
－
b
)>0 （
D
）()
a
<()
b

2
a2
点评：运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。
58、若log
a
2b
2<0，则（
B
）。
（
A
）0<
a
<
b
<1 （
B
）0<
b
<
a
<1 （
C
）
a
>
b
>1 （
D
）
b
>
a
>1
点评：先确定对数符号（ 即真数和底数与1的关系一致时（同时大于或同时小于），
为正，不一致时，为负。）再用换底公式。

49

59、已知等差数列{
a
n
}的公 差
d
≠0，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，则
a
1
?a
3
?a
9< br>的值是
a
2
?a
4
?a
10
（
C
）。
15121315
（
A
） （
B
） （
C
） （
D
）
14131616
点评：先求
a
1
和公比的关系，再化简。
?
60、如果α, β∈(, π)，且tgαC
）。
2
3?3?
（
A
）α<β （
B
）β<α （
C
）α＋β< （
D
）α＋β>
22
点评：先用诱导公式化成同名函数，再借助函数图象解题。
61、已知集合
Z
={θ| cosθF
={θ| tgθZ
∩
F
的区间（
A
）。
3?3?5?
??
3?
（
A
）(, π) （
B
）(, ) （
C
）(π, ) （
D
）(, )
24
4244
点评：用图象法解题。
62、如果直线
y< br>=
ax
＋2与直线
y
=3
x
＋
b
关 于直线
y
=
x
对称，那么（
B
）。
11
（
A
）
a
=,
b
=6 （
B
）
a
=,
b
=－6
33
（
C
）
a
=3,
b
=－2 （
D
）
a
=3,
b
=6
点评：运用反函数的知识。
1?x
x
2
?11
63、已知
f
()=
2
?
，则
f
(
x
)=（
C
）。
x
x
x
（
A
）(
x
＋1)
2
（
B
）(
x
－1)
2
（
C
）
x
2
－
x
＋1 （
D
）
x
2
＋
x
＋1
点评：用换元法。
kx?7
64、若函数
f
(
x
)=< br>2
的定义域是
R
，则实数
k
的取值范围是（
A
）。
kx?4kx?3
33
（
A
）[0, ] （
B
）(－≦, 0)∪(, ＋≦)
44
33
（
C
）[0, ] （
D
）[, ＋≦]
44
点评：分母不为0，用根的判别式。
65、设
P
是棱长相等的四面体内任意一点，则
P
到各个面的距离之和是一个定值，这
个定值等于 （
C
）。
（
A
）四面体的棱长 （
B
）四面体的斜高
（
C
）四面体的高 （
D
）四面体两对棱间的距离

50

点评：用体积求。
66、若正四棱柱的底面积为
P
，过相对两侧棱的截面面积是Q
，则该四棱柱的体积是
（
A
）。
（
A
）
22
Q
P
（
B
）
P
Q
（
C
）
Q
P
（
D
）
P
Q

22
点评：化面积为边。
67、过定点(1, 3)可作两条直线与圆
x
2
＋
y
2
＋ 2
kx
＋2
y
＋
k
2
－24=0相切，则
k
的取值
范围是（
C
）。
（
A
）
k
>2 （
B
）
k
<－4 （
C
）
k
>2或
k
<－4 （
D
）－4<
k
<2
点评：画定点、平移圆、定区域。 ?
68、适合|
z
－2|=1且arg
z
=的复数
z< br>的个数是（
B
）。
6
（
A
）0 （
B
）1 （
C
）2 （
D
）3
点评：在直角坐标系中画圆，找出适合条件的复数。
69、已知{
a
n
}是等比数列，且
a
n
>0,
a
2
a
4
＋2
a
3
a
5
＋
a
4
a
6
=25，那么
a
3
＋
a
5
的值为（
A
）。
（
A
）5 （
B
）10 （
C
）15 （
D
）20
点评：用等比的性质：若数列为等比数列，m+m=k+l时，
a
m
a
n=
a
k
a
l
。
70、设
a
,
b
是满足
ab
<0的实数，那么（
B
）。
（
A
）|
a
＋
b|>|
a
－
b
| （
B
）|
a＋
b
|<|
a
－
b
|
（
C
）|
a
－
b
|<||
a
|－|
b
|| （
D
）|
a
－
b
|<|
a
| ＋|
b
|
点评：从符号出发，取特殊值代入。
71、如果
AC
<0且
BC
<0, 那么直线
Ax
＋
By
＋
C
=0不通过（
C
）。
（
A
）第一象限 （
B
）第二象限 （
C
）第三象限 （
D
）第四象限
点评：分析符号，找斜率和截距。
?
x?tsin20??3
72、直线
?
的倾斜角是（
C
）。
?
y??tcos20?
（
A
）20° （
B
）70° （
C
）110° （
D
）160°
点评：化参数方程为普通方程。
73、函数
y
=sin
x
cos
x
＋sin
x
＋cos
x
的最大值是（
D
）。
1
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）1＋
2
（
D
）＋
2

2
点评：用倍角公式和（sin
x
＋cos
x
）的公式。
74、函数
y
=0.2
x
＋1的反函数是（
C
）。

51

（A） y
=log
5
x
＋1 （
B
）
y
=log
x
5＋1
（
C）
y
=－log
5
(
x
－1) （
D
）
y
=－log
5
x
－1
点评：反函数的定义，结合定义域、值域的变换情况进行讨论。
75、设α、β都是第二象限的角，若sinα>sinβ，则（
C
）。
（A）
tgα>tgβ （
B
）ctgα（
C
）cosα>cosβ （
D
）
sec
α>
sec
β
点评：结合特殊值，找出α、β在[0，2π]上的大小关系。
76、下列命题：① 函数
y
=tg
x
是增函数；② 函数
y
=sin
x
在第一象限是增函数；③ 函
2?
数y
=3sin(2
x
＋5θ)的图象关于
y
轴对称的充要条件是 θ=
k??
,
k
∈
Z
；④ 若角
510
α是第二象限的角，则角2α一定是第四象限的角。其中正确命题的个数是（
A
）。
（
A
）0个 （
B
）1个 （
C
）2个 （
D
）3个
点评：紧扣定义，逐个分析。
77、在△
ABC
中，
A
>
B
是cos2
B
>cos2
C
的（
A
）。
（
A
）非充分非必要条件 （
B
）充分非必要条件
（
C
）必要非充分条件 （
D
）充要条件
点评：分若三种情况，取特殊值验证。
78、若0<
a
<
b
<1，则下列不等式成立的是（
A
）。
（
A
）log
1
b
<a
b
b
a
（
B
）log
1
b
b
a
<
a
b

aa
（
C
）log
b
a
< log
1
b
<
a
b
（
D
）
a
b
< log
1
b
b
a

aa
点评：运用对数符号确定的有关知识，先讨论两个对数值，然后用指数。
4m? 6
79、要使sinα－
3
cosα=有意义，则
m
的取值范围是（
C
）。
4?m
7
（A） m
≤ （
B
）
m
≥－1
3
77
（
C
）－1≤
m
≤ （
D
）
m
≤－1或
m
≥
33
点评：先对等式左边进行变形，再对分数变形。
80、直线
x
cosθ－
y
＋1=0的倾斜角的范围是（
D
）。
???
3?
（
A
）[－, ] （
B
）[, ]
444
4
3?3?
??
（
C
）(0, )∪(, π) （
D
）[0, ]∪[, π]
44
44
点评：先讨论斜率，再用三角函数的知识。

52

123n?1n
81、设
n
≥2时，数列
C
n
, ?2C
n
, 3C
n
, -4C
4
,??,(?1)nC
nn
的和是（
A
）。
2
n
（
A
）0 （
B
）(－1)2 （
C
）1 （
D
）
n?1
nn
点评：特殊值法。
82、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（
D
）。
（
A
）1个 （
B
）2个 （
C
）3个 （
D
）4个
点评：用图形来验证。
83、当
z
=< br>1?i
2
时，
z
＋
z
＋1的值等于（
D
）。
10050
（
A
）1 （
B
）－1 （
C
）
i
（
D
）－
I
点评：先化Z为三角形式，然后用棣莫佛定理。
8 4、函数
y
=
|sinx|cosx|tgx|ctgx
???
的值 域是（
B
）。
sinx|cosx|tgx|ctgx|
（
A
）{－2, 4} （
B
）{－2, 0, 4}
（
C
）{－2, 0, 2, 4} （
D
）{－4, －2, 0, 4}
点评：分象限讨论。
85、正三棱锥
S
－
ABC< br>的侧棱与底面边长相等，如果
E
、
F
分别是
SC
、< br>AB
的中点，那
么异面直线
EF
、
SA
所成的角为（
C
）。
（
A
）90° （
B
）60° （
C
）45° （
D
）30°
点评：巧用中位线平行于底边。
86、若正棱锥的底面边长与侧棱相等，则该棱锥一定不是（
D
）。
（
A
）三棱锥 （
B
）四棱锥 （
C
）五棱锥 （
D
）六棱锥
点评：用射影和直角三角形的知识。
87、四边形ABCD
是边长为1的正方形，
E
、
F
为
BC
、
CD
的中点，沿
AE
、
EF
、
AF
折成
一个四面体，使
B
、
C
、
D
三点重合，这个四面体 的体积为（
B
）。
11
35
（
A
） （
B
） （
C
） （
D
）
824
2448
点评：分析图形的折叠与边角关系。
88、一束光线从点
A
(－1, 1)出发经
x
轴反射，到达圆C
：(
x
－2)
2
＋(
y
－3)
2< br>=1上一点
的最短路程是（
A
）。

53

（
A
）4 （
B
）5 （
C
）3
2
－1 （
D
）2
6

点评：用对称性，找关于X轴对称的圆心位臵，用两点间距离减半径。
89、设地球半径 为
R
，当人造地球卫星距离地面的高度为
h
1
与
h
2
时，可以直射到地表
1
1
面的面积分别是地球表面面积的与，则
h
1
－
h
2
等于（
B
）。
3
4
3
1
（
A
）
R
（
B
）
R
（
C
）
R
（
D
）2
R

22
点评：用球冠公式。
90、函数
f
(
x
)=|
x
|－|
x
－3|在定义域内（
A
）。
（
A
）最大值为3，最小值为－3 （
B
）最大值为4，最小值为0
（
C
）最大值为1，最小值为1 （
D
）最大值为3，最小值为－1
点评：用区间分析法。
91、如果sinαsinβ=1，那么cos(α＋β)等于（
A
）。
（
A
）－1 （
B
）0 （
C
）1 （
D
）±1
点评：用公式。
92、已知α=arg(2＋
i
), β=arg(－3＋
i
)，则α－β为（
D
）。
5?3?
?
3?
（
A
） （
B
） （
C
）－ （
D
）－
4
44
4
点评：用旋转的方法，进行向量合成。
93、若双曲线
x
2
－
y
2
=1右支上一点
P
(
a
,
b
)到直线
y
=
x
的距离为
2，则
a
＋
b
的值
是（
B
）。
1111
（
A
）－ （
B
） （
C
）－或 （
D
）2或－2
2222
点评：先确定P点在坐标系中的位臵，然后用筛选法。
94、一球内切于一圆台，若此圆台的上、下底面半径分别是
a
,
b
，则此圆台的体积是
（
B
）。
2?
2(
a
＋
ab
＋
b
2
)
ab

3
?
1
（
C
）(
a
2
＋ab
＋
b
2
)
ab
（
D
） (
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
ab
33
点评：画轴截面，分析平面图形。
（
A
）π(a
2
＋
ab
＋
b
2
)
ab
（
B
）
95、若全集
I
＝
R
，
A
＝{
x
|
x?1
≤0}，
B
＝{
x
| lg(
x
2
－2)>lg
x
}，则
A
∩
B
＝（
B
）。
（
A
）{2} （
B
）{－1} （
C
）{
x
|
x
≤－1} （
D
）
?
?


54

点评：先用筛选法，再用验证法。
96、已知函数
f
(
x
)=
a
－(
b
＋2) (
a
>0,
a
≠1)的图象不在二、四象限，则实数
a
,
b
的取值范围是（
A
）。
（A） a
>1,
b
=－1（
B
）0<
a
<1,
b
=－1
（
C
）
a
>1,
b
=－2 （
D
）0<
a
<1,
b
=－2
点评：先分析b，再考虑a。
2x?13
97、设函数
f
(
x
)=(
x
∈
R
,
x
≠－，)则
f

-1
(2)=（
A
）。
4x?34
522
5
（
A
） － （
B
） （
C
） （
D
）－
655
11
点评：令
f
(
x
)= 2，求x。
?
98、如果α, β∈(, π)，且tgαC
）。
2
3?3?
（
A
）α<β （
B
）β<α （
C
）α＋β< （
D
）α＋β>
22
点评：用诱导公式，取特殊值。
99、函数
y
=sinx
cos
x
＋
3
cos
2
x
－
（
A
）π （
B
）2π （
C
）
x
3
的最小正周期等于（
A
）。
2
??
（
D
）
42
点评：先用倍角公式降次，合并，再用周期公式。
100、函数
y
=－ctg
x
,
x
∈(0, π)的反函数为（
B
）。
??
（
A
）
y
=－arctg
x
（
B
）
y
=＋arctg
x

22
（
C
）
y
=π－arctg
x
（
D
）
y
=π＋arctg
x

点评：运用反三角函数的值域进行分析。
101、设
a
,
b
是满足
ab
<0的实数，那么（
B
）。
（
A
）|
a
＋
b
|>|
a
－
b< br>|（
B
）|
a
＋
b
|<|
a
－b
|
（
C
）|
a
－
b
|<|
a
|－|
b
|（
D
）|
a
－
b
|>|
a
|＋|
b
|
点评：特殊值法。
111
,
b
＋,
c
＋（
D
）。
bca
（
A
）都不大于2 （
B
）都不小于2
（
C
）至少有一个不大于2 （
D
）至少有一个不小于2
102、设
a
,
b
,
c
∈
R
＋
，则三个数
a
＋
点评：反证法。

55