串联谐振计算公式《因式分解》复习资料

15．5因式分解的复习

新课指南
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1.知识与技能：掌握运用 提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x+(p+q)x+pq的多项式
因式分解，培养学 生应用因式分解解决问题的能力.
2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题 的方法，通过猜测、推理、验证、
归纳等步骤，得出因式分解的方法.
3.情感态度与价值观 ：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，
并体会整体数学思想和转 化的数学思想.
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4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解 法和形如x+(p+q)x+pq的多
项式的因式分解.
教材解读 精华要义
数学与生活
630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.
思考讨论 在小学我们 知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=2×
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3×5× 7.
类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式 分
解.那么如何进行因式分解呢？
知识详解
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式
分 解因式.
【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.
例如：
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
知识点2 提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因
式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的 公因式m，另
一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
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例如：x-x=x(x-1)，8ab-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么，
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(1)3xy- xy+y=y(3x-x)；
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(2)x-2x+3=(x-1)+2；
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(3)xy+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
n2n+2n+1n
(4)x(x-x+1)=x-x+x.
点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)不是因式分解，是整式乘法.
知识点3 公式法
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(1)平方差公式：a-b=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
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例如：4x-9=(2x)-3=(2x+3)(2x-3).
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(2)完全平方公式：a
±2ab+b
=(a±b).
其中，a
±2ab+b
叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
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例如：4x-12xy+9y=(2x)-2·2x·3y+(3y)=(2x-3y).
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
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(1)x-3y=(x+3y)(x-3y)；
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(2)4x-6xy+9y=(2x-3y)；
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(3)x-2x-1=(x-1).
点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
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(2)不正确，4x-6xy+9y不是完全平方式，不能进行分解.
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(3)不正确，x-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分< br>解.
知识点4 分组分解法
(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
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(2)形如：x-y+2x+1=(x+2x+1)-y
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=(x+1)-y
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.
例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：
方法1：am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
方法2 ：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a +b).
(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.
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例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x-y+2x+1分组后能运用公式.
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
(1)按字母分组；
(2)按次数分组；
(3)按系数分组.
例如：把下列各式因式分解.
(1) am+bm+an+bn；
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(2)x-y+x+y；
(3)2ax-5by+2ay-5bx.
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知识点5 关于x+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解
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x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
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事实上：x+(p+q)x+pq
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=x+px+qx+pq
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=(x+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
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∴x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
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利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x+2px+ p或x+2qx+q，是完
全平方式，可以运用公式分解因式.
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例如：把x+3x+2分解因式.
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