物理频率的计算公式2019春湘教版七年级数学下册(XJ)教案3.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解

第1课时 利用平方差公式进行因式分解

1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)
2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难
点)

一、情境导入
1．同学们，你能很快知道99
2
－1是100的 倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．
2．你能将a
2
－b
2
分解因式吗？你是如何思考的？
二、合作探究
探究点一：用平方差公式因式分解
【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a
2
＋(－b)
2
B．5m
2
－20mn
C．－x
2
－y
2
D．－x
2
＋9
解析：A中a
2
＋(－b)
2
符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误； B中5m
2
－20mn
两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－ x
2
－y
2
符号相同，不能用平
方差公式分解因式，错误；D中－x
2
＋9＝－x
2
＋3
2
，两项符号相反，能用平方差公式分 解因
式，正确．故选D.
方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两 项都能写成平方的
形式，且符号相反．
【类型二】 利用平方差公式分解因式
分解因式：
1
(1)a
4
－b
4
；(2)x
3< br>y
2
－xy
4
.
16
11
解析：(1)a
4
－
b
4
可以写成(a
2
)
2
－ (
b
2
)
2
的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而
1 64
1
其中有一个因式a
2
－
b
2
仍可以继续用平 方差公式分解因式；(2)x
3
y
2
－xy
4
有公因式xy
2
，应
4
先提公因式再进一步分解因式．
11111
解： (1)原式＝(a
2
＋b
2
)(a
2
－b
2
)＝(a
2
＋b
2
)(a－b)(a＋b)；
44422
(2)原式＝xy
2
(x
2
－y
2
)＝xy
2< br>(x＋y)(x－y)．
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方法总结：分解因式前 应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因
式必须进行到每一个多项式都不能再分解 因式为止．
【类型三】 利用因式分解整体代换求值
1
已知x
2
－y
2
＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
2
解 析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y
的值．
1
解：∵x
2
－y
2
＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴ x－y＝－2.
2
方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字 母的值，但
有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算< br>简便．
探究点二：用平方差公式因式分解的应用
【类型一】 利用因式分解解决整除问题
2
48
－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
解：2
48
－ 1＝(2
24
＋1)(2
24
－1)＝(2
24
＋1)(2
12
＋1)(2
12
－1)＝(2
24
＋1)(2
12
＋1)(2
6
＋1)(2
6
－
1)．∵2
6< br>＝64，∴2
6
－1＝63，2
6
＋1＝65，∴这两个数是65和6 3.
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数
或 式子整除．
【类型二】 利用平方差公式进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)101
2
－99
2
；
11
(2)572
2
×－428
2
×.
44解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计
算即可 ．
解：(1)101
2
－99
2
＝(101＋99)(101－9 9)＝400；
11111
(2)572
2
×－428
2
×＝(572
2
－428
2
)×＝(572＋428)(572－428)× ＝1000×144×＝
44444
36000.
方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，则可以使
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运算简便．
【类型三】 因式分解的实际应用
如图 ，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小
正方形没有画阴影，最外面 一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，
98cm，…，1cm，那么 在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？

解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴 影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，
所以能用平方差公式进行因式分解．
解：每一 块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的
平方，这样就可以逆用平方 差公式计算了．则S
阴影
＝(100
2
－99
2
)＋(98
2
－97
2
)＋…＋4
2
－3
2
＋22
－1
2
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm
2
)．
答：所有阴影部分的面积和是5050cm
2
.
方法总结： 首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析
找到各部分的变化规律后直接 利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来
解决这类问题．
三、板书设计
1．平方差公式：a
2
－b
2
＝(a＋b)(a－b)；
2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都
能写成平方的形式 ，且符号相反．

运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数 和项数，然后再
确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提 ，
应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分
解 因式时，每个因式都要分解彻底
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